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    除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法:鞏固算理,初識算法

    2024-10-06 00:00:00姚佳瀅田榮飛鞏子坤

    【摘 要】以“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法”為基礎(chǔ),探索一條基于算理一致性,且學(xué)生易于理解的“除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法”的學(xué)習(xí)路徑,以此凸顯除法運(yùn)算的通性通法。通過承接已有知識,引導(dǎo)學(xué)生將除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法的算理遷移到除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法的計算中,感悟除法運(yùn)算算理的一致性;經(jīng)歷計數(shù)單位細(xì)分的過程,解決除數(shù)是非整十?dāng)?shù)除法的算法難題。學(xué)習(xí)路徑凸顯以理帶法,幫助學(xué)生通過計數(shù)單位的細(xì)分,理解算理,掌握算法,提高運(yùn)算能力。

    【關(guān)鍵詞】除法;計數(shù)單位;單位細(xì)分;學(xué)習(xí)路徑

    一、問題提出

    “除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法”承接“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法”的學(xué)習(xí)內(nèi)容,與其在算理上具有一致性,均是“計數(shù)單位的細(xì)分”。但相較于“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法”,“除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法”更具有一般性。因此,讓學(xué)生在“除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法”的學(xué)習(xí)中繼續(xù)經(jīng)歷計數(shù)單位細(xì)分的過程,有助于凸顯除法運(yùn)算的通性通法。

    現(xiàn)行教材中,除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的三道除法算式84÷21、430÷62和197÷28,它們的商都是一位數(shù),學(xué)生無法充分體會計數(shù)單位細(xì)分的過程。而且由于除數(shù)和被除數(shù)間的差距較小,學(xué)生通過口算即可得出準(zhǔn)確商,也難以體現(xiàn)將除數(shù)估成整十?dāng)?shù)試商的價值。因此,筆者將商是兩位數(shù)和商是一位數(shù)的除法整合在一起進(jìn)行教學(xué),使學(xué)生通過對比深入理解計數(shù)單位細(xì)分的過程,感悟運(yùn)算的一致性。

    本研究將繼續(xù)聚焦“計數(shù)單位的細(xì)分”,以“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法”為基礎(chǔ),探索一條基于算理一致性,且學(xué)生易于理解的“除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法”的學(xué)習(xí)路徑,以此凸顯除法運(yùn)算的通性通法。研究主要圍繞以下兩個子問題展開。

    (1)如何進(jìn)一步經(jīng)歷計數(shù)單位細(xì)分的過程,將“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法”的算理遷移到“除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法”的計算中,以凸顯除法運(yùn)算算理的一致性?

    (2)如何利用計數(shù)單位細(xì)分的過程,解決商的位置和商“0”的算法問題?

    基于此,筆者選取杭州市YHSY小學(xué)四年級兩個平行班(分別記為甲班和乙班)共58名學(xué)生作為研究對象,按照研究設(shè)計的學(xué)習(xí)路徑進(jìn)行教學(xué)。通過比較兩個班級學(xué)生的學(xué)習(xí)情況,檢驗優(yōu)化后的學(xué)習(xí)路徑的教學(xué)效果。學(xué)習(xí)路徑優(yōu)化的具體流程如圖1所示。

    二、路徑優(yōu)化

    圖2是優(yōu)化后的“除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法”的學(xué)習(xí)路徑,分三個任務(wù)逐步推進(jìn)教學(xué)。首先,任務(wù)1借助三道除法算式852÷40、578÷82、976÷28,引導(dǎo)學(xué)生回顧“除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法”的運(yùn)算過程,并將其算理遷移到“除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法”的計算中,使學(xué)生再次經(jīng)歷計數(shù)單位細(xì)分的過程,貫通除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法和除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法算理的一致性。其次,基于除法運(yùn)算的算理,任務(wù)2選用三道除數(shù)是非整十?dāng)?shù)且接近50的除法題目,通過異同比較,引導(dǎo)學(xué)生感受用四舍五入法將除數(shù)估成最接近的整十?dāng)?shù)最為便捷,能夠提高運(yùn)算效率。最后,任務(wù)3圍繞三道改錯題展開,引導(dǎo)學(xué)生以算理解決算法問題,強(qiáng)調(diào)所有算法問題均可通過計數(shù)單位細(xì)分的過程來解決,凸顯除法算理的重要性。

    (一)承續(xù)舊知,貫通算理,從除數(shù)是整十?dāng)?shù)走向除數(shù)是非整十?dāng)?shù)

    任務(wù)1首先引入除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法算式852÷40,通過計數(shù)單位細(xì)分的過程,帶領(lǐng)學(xué)生回顧算理,再由情境自然引出兩道除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法算式578÷82、976÷28,重點討論976÷28的計算過程,遷移除數(shù)是整十?dāng)?shù)除法的算理。教師在書寫豎式的過程中,同時呈現(xiàn)每一步的橫式,與豎式一一對應(yīng),凸顯算理的一致性,即除法就是計數(shù)單位細(xì)分的過程,均從大的計數(shù)單位開始,逐漸分到小的計數(shù)單位。板書設(shè)計如圖3所示。

    【教學(xué)片段1】

    師:同學(xué)們,上一節(jié)課我們學(xué)習(xí)了什么?

    生:除數(shù)是兩位數(shù)的除法,而且除數(shù)都是整十?dāng)?shù)。

    師:那我們來計算一下852÷40。

    生:8個百除以40,不夠除;85個十除以40等于2個十余5個十,再用52個一除以40等于1個一余12。

    師:我們學(xué)校將開展新勞動教育“勞動最光榮”活動。仔細(xì)觀察,你們能提出哪些用除法解決的問題?

    生:需要租幾輛車?每個人平均要種幾個土豆?

    師:這兩個問題可以用什么方法解決?

    生:列除法算式。第一個是578÷82,第二個是976÷28。(教師板書)

    師:這兩個算式跟我們上節(jié)課學(xué)的內(nèi)容有什么不同的地方?

    生:上節(jié)課我們所學(xué)的除法算式中的除數(shù)都是整十?dāng)?shù),而這節(jié)課的除法算式中的除數(shù)都是非整十?dāng)?shù)。

    (學(xué)生先估算,再進(jìn)行豎式計算,教師反饋總結(jié)976÷28的計算過程)

    師:那么這兩道題有沒有相同的地方?

    生:它們都是從高位算起,一位一位往下除的。

    師:哪個同學(xué)能夠幫我們完整地回顧如何計算976÷28?

    生:先用百位上的9去除,不夠除,百位上商0;再用97個十除以28,把28看成30,得到3個十,十位上商3;最后用136個一除以28,把28看成30,個位上商4,最后余24。

    師:請同桌再互相說說578÷82的計算過程。

    (二)鞏固算理,突破難點,瞄準(zhǔn)商的位置

    在除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法豎式的計算過程中,學(xué)生往往難以找準(zhǔn)商的位置,這是因為他們對除法運(yùn)算的算理理解不夠透徹[1]。因此,在任務(wù)1-5中,筆者借助分析商是一位數(shù)、商是兩位數(shù)的除法的錯例,讓學(xué)生再次經(jīng)歷計數(shù)單位細(xì)分的過程,幫助學(xué)生認(rèn)識到商是幾位數(shù)并不重要,重要的是瞄準(zhǔn)商的位置。

    【教學(xué)片段2】

    (教師出示圖4所示的學(xué)生錯例)

    師:請問這個同學(xué)遇到了什么問題?

    生:他不確定“7”應(yīng)該放在個位上還是十位上。

    師:那應(yīng)該怎么思考呢,誰來幫幫他?

    生:我們可以通過驗算來解決。如果把“7”寫在十位上,表示“7個十”,70×82就遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于578,這樣算顯然是不對的。

    生:我認(rèn)為應(yīng)該把“7”放在個位上。因為這里是用“578個一”除以82,所以結(jié)果應(yīng)該是“7個一”,而不是“7個十”。

    師:大家明白了嗎?我們也可以這樣理解,當(dāng)我們計算到十位時,用57個十除以82,不夠除,這時如果要商,應(yīng)該商幾?

    生:商0。

    師:算個位時才夠除,所以個位上商“7”。我們一起來回顧一下剛才是怎樣計算578÷82的?

    生:先用百位上的5去除,不夠除,商0;再用57個十除以82,仍不夠除,商0;最后用578個一除以82,可以商7,余4。

    (三)應(yīng)用算理,打破壁壘,解密商“0”難題

    任務(wù)3包含三道改錯題,旨在引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷應(yīng)用計數(shù)單位細(xì)分的過程,厘清商“0”現(xiàn)象,理解在什么情況下應(yīng)商“0”。三道改錯題通過精心選擇設(shè)計。第一,選擇了一道被除數(shù)是四位數(shù)且商為三位數(shù)的題目(6416÷61),將本內(nèi)容的算理算法拓展到商是三位數(shù)的除法算式中,凸顯通性通法。第二,三道除法題目的錯誤原因各不相同,第一題涉及部分積問題,第二題是商末尾為0,第三題是商中間有0。教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題,剖析錯誤原因并加以修正。例如,在探討第二道錯題時,須著重引導(dǎo)學(xué)生理解商3表示“3個十”,再用18個“一”除以21,不夠除,因此個位上商“0”。這樣,通過計數(shù)單位細(xì)分的過程,商“0”不再成為難題。

    【教學(xué)片段3】

    (教師出示圖5所示的三道錯誤計算題)

    師:請同學(xué)們擔(dān)任小老師,檢查一下這三道計算題錯在哪里。

    生:第一題錯在沒有使用準(zhǔn)確的數(shù)來進(jìn)行計算。這里的“60”是用30乘2得到的,不是準(zhǔn)確的數(shù)。實際上,應(yīng)該使用原除數(shù)28乘2,等于56余6。

    師:我們繼續(xù)計算下去。計算個位,68個一除以28,可以把28看作30,商2個一,余12。因此結(jié)果是22余12。

    生:第二題的商的個位少了一個0。因為用18個一除以21,商0余18個一,所以個位上商0,最后結(jié)果是30余18。

    師:那么最后一道題呢?

    生:在計算百位時,64個百除以61,應(yīng)該商1個百余3個百,但他把這個1寫在十位上了。

    師:我們一起來計算一下。

    生:6個千除以61等于0個千余6個千,64個百除以61等于1個百余3個百,31個十除以61等于0個十余31個十,最后316個一除以61等于5個一余11個一。

    師:在計算除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法時,我們需要注意什么?

    生:除到哪一位,商就要寫在哪一位上面。即使不夠除,也要寫0占位。

    三、效果檢驗

    為了檢驗優(yōu)化后的學(xué)習(xí)路徑的實施效果,本研究設(shè)計了三道“除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法”的后測題(如圖6),以評價學(xué)生對算理的一致性的理解水平。問卷的Cronbach’s α系數(shù)為0.91,表明該問卷具有較高的信度。后測主要從“知識理解、知識遷移、知識創(chuàng)新”三個水平進(jìn)行檢測[2]。各水平任務(wù)評分標(biāo)準(zhǔn)如下:學(xué)生能運(yùn)用豎式計算正確,說明達(dá)到“知識理解”水平,得1分,回答錯誤或未作答計0分,評價對象為第(1)題、第(2)題,共2題。學(xué)生既能用橫式記錄筆算過程,又能運(yùn)用四舍五入法將除數(shù)由非整十?dāng)?shù)轉(zhuǎn)化為整十?dāng)?shù)進(jìn)行計算,說明達(dá)到“知識遷移”水平,得2分,僅寫出橫式計1分,計算錯誤或未作答計0分,評價對象為第(1)題、第(2)題,共2題。學(xué)生能將算理算法遷移應(yīng)用到商是三位數(shù)的除法中,且能用橫式記錄筆算過程并計算正確,說明達(dá)到“知識創(chuàng)新”水平,得2分,僅列出豎式計1分,計算錯誤或未作答計0分,評價對象為第(3)題。

    基于此,對甲、乙班的后測結(jié)果進(jìn)行定量分析,得出他們在各水平任務(wù)上的平均得分情況(如表1)。從表中數(shù)據(jù)可以看出,乙班學(xué)生有兩個水平上的得分率均高于甲班學(xué)生,尤其是在“知識遷移”上的表現(xiàn),兩個班級存在顯著差異。

    乙班部分學(xué)生的問卷答題情況如表2所示。學(xué)生能利用豎式計算正確(如2號學(xué)生)。他們不僅能用橫式記錄筆算的過程,還能用四舍五入法將除數(shù)由非整十?dāng)?shù)轉(zhuǎn)化為整十?dāng)?shù)進(jìn)行計算(如8號學(xué)生)。另有學(xué)生能將算理算法遷移應(yīng)用到商是三位數(shù)的除法計算中,用橫式記錄筆算的過程,又能計算正確(如4號學(xué)生)。

    由此可見,優(yōu)化后的“除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法”的學(xué)習(xí)路徑,在幫助學(xué)生打通除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法和除數(shù)是非整十?dāng)?shù)的除法的算理,強(qiáng)化計數(shù)單位的細(xì)分,理解算理,掌握算法等方面具有較好的效果。

    參考文獻(xiàn):

    [1]陳雪嬌.錯誤化開 算法自來:“筆算除數(shù)是整十?dāng)?shù)的除法”教學(xué)賞析[J].課程教材教學(xué)研究(小教研究),2023(3/4):76-77.

    [2]喻平.《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》學(xué)業(yè)質(zhì)量解讀及教學(xué)思考[J].課程·教材·教法,2023,43(1):123-130.

    (1.杭州師范大學(xué)經(jīng)亨頤教育學(xué)院

    2.杭州師范大學(xué)中國教育現(xiàn)代化研究院)

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