廣義變分原理在求解桿系裝配應(yīng)力中的應(yīng)用1)

譚鄒卿楊云瀾田玉祥蔣學(xué)東

(常州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇常州213164)

(江蘇省綠色過(guò)程裝備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，常州大學(xué)，江蘇常州213164)

廣義變分原理在求解桿系裝配應(yīng)力中的應(yīng)用1)

譚鄒卿2)譚鄒卿，博士，講師，主要從事固體力學(xué)的教學(xué)和應(yīng)用研究.E-mail:zqtan@cczu.edu.cn楊云瀾田玉祥蔣學(xué)東3)蔣學(xué)東，碩士，副教授，主要從事固體力學(xué)的教學(xué)和應(yīng)用研究.E-mail:jxd3290294@cczu.edu.cn

(常州大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院，江蘇常州213164)

(江蘇省綠色過(guò)程裝備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，常州大學(xué)，江蘇常州213164)

利用拉格朗日乘數(shù)法建立廣義變分原理以求解有誤差桿件結(jié)構(gòu)裝配應(yīng)力.引入拉格朗日乘數(shù)并結(jié)合靜力平衡方程，構(gòu)造無(wú)條件廣義變分原理的新泛函，求解新泛函的極值問(wèn)題，獲得超靜定的變形協(xié)調(diào)方程，從而計(jì)算有誤差桿件結(jié)構(gòu)的裝配應(yīng)力.結(jié)果表明：該方法求解裝配應(yīng)力的通用性較強(qiáng)，不但克服傳統(tǒng)幾何方法建立變形協(xié)調(diào)方程的缺陷，而且具有計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)潔以及便于掌握等優(yōu)點(diǎn).

超靜定，裝配應(yīng)力，廣義變分原理，拉格朗日乘數(shù)法

加工構(gòu)件時(shí)，構(gòu)件的尺寸不可避免地存在微小誤差.對(duì)靜定結(jié)構(gòu)，構(gòu)件的加工誤差只會(huì)造成幾何形狀的變化，不會(huì)產(chǎn)生內(nèi)力.但在超靜定結(jié)構(gòu)中，若構(gòu)件存在加工誤差，在裝配過(guò)程中將產(chǎn)生變形，從而存在附加應(yīng)力，即所謂的裝配應(yīng)力.裝配應(yīng)力影響結(jié)構(gòu)的承載能力，對(duì)于有誤差桿系進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算需考慮裝配應(yīng)力.材料力學(xué)教材[1]主要采用靜力平衡方程、變形協(xié)調(diào)方程以及物理方程聯(lián)立求解超靜定問(wèn)題.其難點(diǎn)在于如何補(bǔ)充變形協(xié)調(diào)方程.常用幾何法分析超靜定結(jié)構(gòu)的變形，從而給出變形協(xié)調(diào)方程.但對(duì)于多桿系問(wèn)題難以用幾何法得出桿系變形的幾何關(guān)系.為了解決這一困難，已有微分法[2]、節(jié)點(diǎn)位移法[3]、解析幾何法[4]、矢量法[5]、力法[6]、功能原理[7]等對(duì)桿系超靜定問(wèn)題進(jìn)行了探索.目前，少量文獻(xiàn)基于廣義變分原理研究了外載荷作用下超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力[89]或庫(kù)侖摩擦問(wèn)題[10].然而，以上方法主要針對(duì)有外載荷情況下超靜定問(wèn)題的分析，對(duì)含誤差桿系的超靜定問(wèn)題研究相對(duì)較少.另外，含誤差桿系在裝配完成后只有內(nèi)力間的平衡，屬于無(wú)外載情況下的超靜定問(wèn)題.因此，現(xiàn)有廣義變分原理[810]不能直接求解桿系的裝配應(yīng)力.本文采用拉格朗日乘數(shù)法，建立有誤差桿件結(jié)構(gòu)的廣義變分原理，構(gòu)造相應(yīng)的新泛函，以分析各桿的裝配應(yīng)力.

1 含誤差桿件結(jié)構(gòu)的廣義變分原理

考慮有n+m個(gè)桿件的線性超靜定桁架結(jié)構(gòu)，各桿的彈性模量分別為Ei(i=1,2,···,n+m)，橫截面面積分別為Ai(i=1,2,···,n+m)，桿件名義長(zhǎng)度分別為li(i=1,2,···,n+m).假設(shè)超靜定桁架中有一根桿尺寸相比名義尺寸存在加工誤差，其誤差長(zhǎng)度為Δ.假設(shè)在裝配后各桿的內(nèi)力分別為Ni(i=1,2,···,n+m).為了便于討論，令Ne為有誤差桿的裝配內(nèi)力.

對(duì)n+m個(gè)桿件系統(tǒng)列出m個(gè)靜力平衡方程

上式平衡方程僅與各桿的最終內(nèi)力有關(guān)，與裝配方式無(wú)關(guān).

在線彈性范圍內(nèi)，整個(gè)桿系的應(yīng)變能為

值得注意的是，靜力平衡方程式(1)和整個(gè)桿系應(yīng)變能式(2)與加工誤差無(wú)關(guān)，不能直接利用式(1)和(2)分析加工誤差效應(yīng).為了在滿足平衡方程式(1)的條件下引入加工誤差效應(yīng)，本文構(gòu)造一個(gè)無(wú)條件廣義變分原理的新泛函為

其中，λi(i=1,2,···,m)為拉格朗日乘子.等式右邊的第2項(xiàng)±ΔNe為考慮加工誤差的勢(shì)能，反映了加工誤差效應(yīng)的影響.計(jì)算時(shí)若取Ne為拉力，桿件加工尺寸比名義尺寸長(zhǎng)時(shí)取“+”號(hào)，短時(shí)取“-”號(hào).反之亦然.當(dāng)Δ=0時(shí)，式(3)可解決無(wú)加工誤差的超靜定問(wèn)題.

將Nj及λi都當(dāng)作獨(dú)立的變量進(jìn)行變分，則當(dāng)新泛函L達(dá)到極值時(shí)，利用式(2)，則有

由于δNj及δλi都是獨(dú)立的，因此L的極值條件為

其中，式(5)有m個(gè)方程，即為靜力學(xué)平衡方程，而式(6)有n+m個(gè)方程，它等價(jià)于變形協(xié)調(diào)方程，所以總共有n+2m個(gè)方程，可解出n+m個(gè)內(nèi)力Nj和m個(gè)拉格朗日乘子λi，從而可求裝配應(yīng)力.由此可見(jiàn)，基于無(wú)條件廣義變分原理構(gòu)造的新泛函極值問(wèn)題等價(jià)于求解桿系超靜定的三大基本方程.因此，該方法不需要求解變形協(xié)調(diào)的幾何條件，使得計(jì)算過(guò)程變得簡(jiǎn)便且易掌握.

2 算例

算例1如圖1(a)所示1和2兩桿的剛度同為E1A1，3桿為E3A3.3桿的長(zhǎng)度為l+Δ，其中Δ為加工誤差.試求3桿裝入AC位置后，三桿的軸力.

圖1

對(duì)節(jié)點(diǎn)A進(jìn)行受力分析，并假設(shè)各桿軸力均為拉力，如圖1(b)所示.因結(jié)構(gòu)和載荷均對(duì)稱(chēng)，則N1=N2，靜力平衡方程為

由式(3)，注意到桿3的尺寸比名義尺寸長(zhǎng)，可構(gòu)造的新泛函為

由式(6)并注意到l1=l/cosα，可得

由式(9)和式(10)消去λ得

上式即為變形協(xié)調(diào)方程.

由式(7)和式(11)可得各桿的軸力為

其中，負(fù)號(hào)說(shuō)明桿3受壓力.上式與幾何法[1]等計(jì)算結(jié)果完全一致，驗(yàn)證了該方法的正確性.

算例2如圖2(a)所示桿系，桿6比名義長(zhǎng)度略短，誤差為Δ，桿的剛度同為EA.試求將桿6裝配到A,C之間后各桿的內(nèi)力.

圖2

假設(shè)各桿軸力均為拉力，節(jié)點(diǎn)A的受力圖如圖2(b)所示，平衡方程為

因結(jié)構(gòu)和載荷均對(duì)稱(chēng)，所以

由式(3)，注意到桿6的尺寸比名義尺寸短，可構(gòu)造的新泛函為

上式求極值可得

由式(16)和式(17)消去λ得

上式即為變形協(xié)調(diào)方程.

由式(13)、式(14)和式(18)可得各桿的內(nèi)力為

其中，負(fù)號(hào)說(shuō)明桿1～4均受壓力.上式與文獻(xiàn)[1]的計(jì)算結(jié)果完全一致.

以上計(jì)算實(shí)例表明，在求解含誤差桿件的超靜定問(wèn)題時(shí)，該方法求解過(guò)程簡(jiǎn)單方便，避免了建立變形協(xié)調(diào)幾何關(guān)系的困難.

3 結(jié)論

本文構(gòu)造了無(wú)條件廣義變分原理的新泛函，利用求泛函極值問(wèn)題，方便地解決含誤差桿件結(jié)構(gòu)的裝配應(yīng)力問(wèn)題.該方法通用性較強(qiáng)，并且計(jì)算過(guò)程便于程序化，有利于求解復(fù)雜超靜定結(jié)構(gòu)的變形協(xié)調(diào)方程.利用同一思路，還可以解決溫度變化等作用下的超靜定問(wèn)題.

1劉鴻文.材料力學(xué)(I)(第5版).北京:高等教育出版社,2013

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3陳平,陳國(guó)良,楊緒普.載荷作用下多桿匯交問(wèn)題的通解.力學(xué)與實(shí)踐,2014,36(3):348-350+378

4周道祥.解析法解桿系拉(壓)超靜定問(wèn)題.力學(xué)與實(shí)踐,2004, 26(2):66-67

5蘇少卿,王銷(xiāo)鈞.小變形軸力桿件的變形位移方程.力學(xué)與實(shí)踐,2011,33(4):74-77

6王鐘羨.建立超靜定桿系變形協(xié)調(diào)方程的能量方法.力學(xué)與實(shí)踐,1998,20(6):55-56

7李麗柏.拉壓彈性桿系小變形計(jì)算方法研究.力學(xué)與實(shí)踐,2014, 36(4):474-477

8成祥生.結(jié)構(gòu)分析中的廣義變分原理及其應(yīng)用.應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué),1985,6(7):639-646

9吳曉.拉格朗日函數(shù)法在靜不定結(jié)構(gòu)內(nèi)力計(jì)算中的應(yīng)用.空間結(jié)構(gòu),2016,22(1):25-30

10 Steiner W.The use of Castigliano’s theorem in Coulomb friction problems.Acta Mechanica,2014,225(9):2471-2483

(責(zé)任編輯:胡漫)

TB121

A

10.6052/1000-0879-16-208

2016–06–24收到第1稿，2016–10–27收到修改稿.

1)常州大學(xué)?；鹳Y助項(xiàng)目(ZMF14020058).

譚鄒卿,楊云瀾,田玉祥等.廣義變分原理在求解桿系裝配應(yīng)力中的應(yīng)用.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(2):202-205 Tan Zouqing,Yang Yunlan,Tian Yuxiang,et al.Application of generalized variational principle for solving assembly stress of rod system.Mechanics in Engineering,2017,39(2):202-205