透過橢圓焦點(diǎn)看物理規(guī)律1)

徐康劉章軍

?(武漢理工大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，武漢430070)

?(三峽大學(xué)土木與建筑學(xué)院，湖北宜昌443002)

透過橢圓焦點(diǎn)看物理規(guī)律1)

徐康?劉章軍?,2)劉章軍,通訊作者，博士,教授,博士生導(dǎo)師,主要從事土木工程的教學(xué)與研究.E-mail:liuzhangjun73@aliyun.com

?(武漢理工大學(xué)土木工程與建筑學(xué)院，武漢430070)

?(三峽大學(xué)土木與建筑學(xué)院，湖北宜昌443002)

介紹了不同學(xué)科領(lǐng)域里與橢圓有關(guān)的3種物理規(guī)律:光線反射規(guī)律、開普勒第二定律、細(xì)桿平衡規(guī)律,并對(duì)其進(jìn)行相互推導(dǎo),得出結(jié)論:這3個(gè)物理規(guī)律是等價(jià)的,它們的本質(zhì)都是橢圓所特有的幾何特征,它們只是這一本質(zhì)在不同領(lǐng)域的不同表現(xiàn).

物理規(guī)律,橢圓,光學(xué),天文學(xué),靜力學(xué)

橢圓是圓錐曲線中的一種,古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯(Apollonius,約公元前262–公元前190年)曾系統(tǒng)地研究過圓錐曲線,他在前人研究的基礎(chǔ)上,加上他自己所獨(dú)創(chuàng)的成果,編寫了經(jīng)典巨著《圓錐曲線論》(Conics)[1].直到今天,在各種學(xué)科領(lǐng)域里與橢圓有關(guān)的研究還在繼續(xù).在研究過程中,人們發(fā)現(xiàn)了與橢圓有關(guān)的幾種物理規(guī)律,在光學(xué)上,從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓壁反射后,反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上.如圖1所示,這是光線在橢圓內(nèi)壁中的反射規(guī)律,以下簡稱光線反射規(guī)律.

圖1 光線反射規(guī)律圖

在天文學(xué)上有開普勒三定律,第一定律為:所有行星繞太陽的軌道都是橢圓,太陽在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上.第二定律為:行星和太陽的連線在相等的時(shí)間間隔內(nèi)掃過相等的面積.如圖2所示.第三定律為:所有行星繞太陽一周的時(shí)間的平方與它們軌道長半軸的立方成比例.

圖2 開普勒第二定律圖

在靜力學(xué)上,將均質(zhì)細(xì)桿過焦點(diǎn)傾斜放入光滑的橢圓內(nèi)壁中,細(xì)桿受力平衡(且該平衡狀態(tài)還是穩(wěn)定平衡狀態(tài))[2],如圖3所示,這是細(xì)桿在光滑橢圓內(nèi)壁中的平衡規(guī)律,以下簡稱細(xì)桿平衡規(guī)律.

下面將對(duì)這3種物理規(guī)律進(jìn)行相互推導(dǎo),探求規(guī)律表象之下的本質(zhì).

圖3 細(xì)桿平衡規(guī)律圖

1 用細(xì)桿平衡規(guī)律推導(dǎo)光線反射規(guī)律

細(xì)桿平衡規(guī)律為:將均質(zhì)細(xì)桿過焦點(diǎn)傾斜放入光滑的橢圓內(nèi)壁中,細(xì)桿受力平衡.

設(shè)橢圓的方程為

式中，a是橢圓的半短軸,b是橢圓的半長軸,c是橢圓的半焦距.

把一根細(xì)桿過橢圓焦點(diǎn)放置于橢圓內(nèi)壁中,此時(shí)細(xì)桿的直線方程為

設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A和B,L1和L2分別為橢圓在點(diǎn)A和B處的法線,點(diǎn)C為橢圓的上焦點(diǎn),連接AC和BC,如圖4所示,設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),點(diǎn)B(x2,y2),點(diǎn)C(x3,y3),有x3=0,y3=c.圖中點(diǎn)Q

圖4 用細(xì)桿平衡規(guī)律推導(dǎo)光學(xué)反射規(guī)律圖

聯(lián)立式(3)～式(6)得

又有三角形的內(nèi)心坐標(biāo)公式[3]

式中A=|BC|,B=|AC|,C=|AB|,由橢圓的第二定義得

聯(lián)立式(3),式(8)和式(9),可得ΔABC內(nèi)心坐標(biāo)為

即Q點(diǎn)橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)都與P點(diǎn)一樣,則Q點(diǎn)與P點(diǎn)重合,則點(diǎn)M,N,Q,P四點(diǎn)重合,又因?yàn)槿切蔚膬?nèi)心只有一個(gè),所以Q點(diǎn)就是ΔABC的內(nèi)心,所以有法線L1平分∠CAB,法線L2平分角∠CBA,即光線反射規(guī)律得證.

2 用光線反射規(guī)律推導(dǎo)細(xì)桿平衡規(guī)律

由光線反射規(guī)律知:從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓壁反射后,反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上.

把一根細(xì)桿過橢圓焦點(diǎn)傾斜放置于光滑橢圓內(nèi)壁中,設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A和B,L1和L2分別為橢圓在點(diǎn)A和B處的法線.點(diǎn)C為橢圓的上焦點(diǎn),如圖5所示,設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),點(diǎn)B(x2,y2),點(diǎn)C(x3,y3),有x3=0,y3=c.由光線反射規(guī)律知,法線L1是∠CAB的角平分線,法線L2是∠CBA的角平分線,所以法線L1和L2的交點(diǎn)是ΔABC的內(nèi)心,設(shè)為點(diǎn)Q,由三角形內(nèi)心的坐標(biāo)公式[3]

式中A=|BC|,B=|AC|,C=|AB|,聯(lián)立式(3)、式(9)、式(11),可得

圖5 用光線反射規(guī)律推導(dǎo)細(xì)桿平衡規(guī)律圖

細(xì)桿在A和B兩處所受的約束力的作用線和自身重力的作用線交于點(diǎn)Q,由三力平衡匯交定理可知,細(xì)桿此時(shí)處于平衡狀態(tài),細(xì)桿平衡規(guī)律得證.

3 用開普勒第二定律推導(dǎo)光線反射規(guī)律

設(shè)橢圓的極坐標(biāo)方程為

式中r為極徑,θ為極角,p為橢圓的半通徑,e為橢圓的離心率.如圖6所示,圖中A點(diǎn)為太陽所在位置,是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn),B點(diǎn)為行星的位置,是橢圓上任意一點(diǎn),此時(shí)行星的速度設(shè)為v.直線BH為橢圓在點(diǎn)B處的法線,作直線BD使得∠DBH=∠ABH,并交極軸于點(diǎn)D.

圖6 用開普勒第二定律推導(dǎo)光線反射規(guī)律圖

由開普勒第二定律可知:太陽到行星所在位置的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相同的面積,即

設(shè)a為橢圓的半長軸,b為橢圓的半短軸,c為橢圓的半焦距,行星在近日點(diǎn)速度為v1,在遠(yuǎn)日點(diǎn)速度為v2,太陽的質(zhì)量為M,行星質(zhì)量為m,萬有引力常數(shù)為G,由能量守恒定律有

由開普勒第二定律有

聯(lián)立式(15)和式(16),可得

將式(17)代入式(15),可得總能量為

聯(lián)立式(14)、式(16)、式(17),可得

又由能量守恒定律求得行星在橢圓軌道上任意一點(diǎn)處的速度為

將式(13),式(20)代入式(19),并整理得

設(shè)D點(diǎn)到A點(diǎn)之間的距離為I,由正弦定理,有

由圖中幾何關(guān)系可得

將式(23)代入式(22),整理可得

即D和A兩點(diǎn)之間的距離為焦距2c,所以D點(diǎn)為另一個(gè)焦點(diǎn),因?yàn)橹本€BH既是橢圓在點(diǎn)B處的法線,又是∠ABD的角平分線,所以光線反射規(guī)律得證.

4 用光線反射規(guī)律推導(dǎo)開普勒第二定律

光線反射規(guī)律為:從橢圓一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓壁反射后,反射光線都匯聚到橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)上.如圖7所示,光線AB經(jīng)橢圓壁反射后,反射光線BC通過橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn),該焦點(diǎn)設(shè)為點(diǎn)C.

圖7 用光線反射規(guī)律推導(dǎo)開普勒第二定律圖

對(duì)圖中ΔABC,由余弦定理,有

又可得

由極坐標(biāo)下的曲率半徑公式

將式(13)求導(dǎo)并代入式(27),整理得

由萬有引力定律和牛頓第二定律,有

解之得

聯(lián)立式(26)、式(30)得

即開普勒第二定律得證.綜上所述,可知光線反射規(guī)律、開普勒第二定律、細(xì)桿平衡規(guī)律三者是等價(jià)的.

5 結(jié)論

物理規(guī)律是物理現(xiàn)象、物理過程在一定條件下必然發(fā)生、發(fā)展和變化的規(guī)律,它反映了物質(zhì)運(yùn)動(dòng)變化的各個(gè)因素之間的本質(zhì)聯(lián)系,揭露了事物本質(zhì)屬性之間的內(nèi)在聯(lián)系,任何客觀規(guī)律只能被發(fā)現(xiàn),不能被創(chuàng)造,但不同學(xué)科的規(guī)律被認(rèn)識(shí)與發(fā)現(xiàn)的途徑又是不盡相同的,本文所提到的3個(gè)物理規(guī)律,它們雖屬于不同的學(xué)科范疇,但是這3個(gè)物理規(guī)律的本質(zhì)都是橢圓所特有的幾何特征(形狀),它們只是這一本質(zhì)在不同領(lǐng)域的不同表現(xiàn),正如電場與磁場一樣,它們都是電磁場在不同環(huán)境下的不同表現(xiàn),又如微觀粒子的波動(dòng)性與粒子性,它們只不過是微觀粒子在不同條件下的不同表現(xiàn)罷了,真是“如云表象千般變,尋得源頭終歸一”.

致謝感謝本刊多位編委老師對(duì)本文題目和相應(yīng)內(nèi)容提出的修改建議.

1阿波羅尼奧斯.圓錐曲線論.朱恩寬等譯.陜西：陜西科學(xué)技術(shù)出版社,2007

2徐康.圓錐曲線的靜力學(xué)性質(zhì).力學(xué)與實(shí)踐,2014,36(5):639-646

3黃漢生,張述松.計(jì)算三角形五心坐標(biāo)的統(tǒng)一公式,數(shù)學(xué)教學(xué)研究,1991,10(4):23-25

(責(zé)任編輯:胡漫)

O31

A

10.6052/1000-0879-16-265

2016–08–15收到第1稿，2016–10–06收到修改稿.

1)2014年湖北省高等學(xué)校省級(jí)教學(xué)研究資助項(xiàng)目(2014241).

徐康,劉章軍.透過橢圓焦點(diǎn)看物理規(guī)律.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(2):210-214 Xu Kang,Liu Zhangjun.Comprehending the laws of physics through elliptical focus.Mechanics in Engineering, 2017,39(2):210-214