論計(jì)算機(jī)技術(shù)在數(shù)學(xué)建模領(lǐng)域的應(yīng)用

趙晨浩

【摘要】 數(shù)學(xué)建模是通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言構(gòu)建約束條件，求解實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程。數(shù)學(xué)建模更側(cè)重解決實(shí)際問(wèn)題，模型的設(shè)定具有主觀性，且涉及的學(xué)科領(lǐng)域十分寬泛。正因?yàn)檫@些特點(diǎn)，計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)建模的領(lǐng)域的運(yùn)用有其必要性，計(jì)算機(jī)模擬是數(shù)學(xué)建模中最為重要的運(yùn)用。具體運(yùn)用工具包括數(shù)學(xué)軟件、圖像處理軟件、統(tǒng)計(jì)軟件和編程軟件。

【關(guān)鍵詞】 計(jì)算機(jī) 數(shù)學(xué)建模 應(yīng)用

前言

數(shù)學(xué)的研究是對(duì)模式的研究，而數(shù)學(xué)建模即是通過(guò)數(shù)學(xué)方法對(duì)現(xiàn)實(shí)規(guī)律進(jìn)行抽象概括從而求解的過(guò)程。在自然科學(xué)領(lǐng)域，數(shù)學(xué)建模利用邏輯嚴(yán)密、體系完整的數(shù)學(xué)語(yǔ)言求解出了更為精確的方案。

而近年來(lái)，交叉學(xué)科的發(fā)展使得數(shù)學(xué)建模技術(shù)逐漸運(yùn)用到了金融、經(jīng)濟(jì)、環(huán)境等多個(gè)領(lǐng)域，重要性日益凸顯。而計(jì)算機(jī)本身強(qiáng)大的計(jì)算能力使得復(fù)雜的數(shù)學(xué)建模成為了可能，逐漸成為建模過(guò)程中必不可少的重要工具。

一、數(shù)學(xué)建模的主要特點(diǎn)

數(shù)學(xué)建模的分析流程包括：通過(guò)調(diào)查分析了解現(xiàn)實(shí)對(duì)象，做出研究假設(shè)，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言構(gòu)建約束條件，得出實(shí)際問(wèn)題的解決方案。而數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)研究相比，有著自身的顯著特點(diǎn)。

1.數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)研究不同，更側(cè)重于解決實(shí)際問(wèn)題。以2016年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽為例，四道題目分別為：系泊系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、小區(qū)開(kāi)放對(duì)道路通行的影響、電池剩余放電時(shí)間預(yù)測(cè)、風(fēng)電場(chǎng)運(yùn)行狀況分析及優(yōu)化?？梢钥闯?，數(shù)學(xué)建模主要研究工業(yè)與公共事業(yè)規(guī)劃等應(yīng)用問(wèn)題，比純粹數(shù)學(xué)研究更為實(shí)際，更講究可操作性。

2.數(shù)學(xué)建模中的模型設(shè)定具有主觀性，合理修繕模型能夠得出更為精確的解決方案。對(duì)于同一現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，不同的模型設(shè)定者的思路、角度、約束條件等參數(shù)都有所不同，因而數(shù)學(xué)建模中的模型設(shè)定是具有主觀性的。在實(shí)際運(yùn)用中，完美的模型很難建立，模型的多次修改與完善才能夠更好地達(dá)到預(yù)期的效果。

3.數(shù)學(xué)建模涉及的學(xué)科領(lǐng)域更為寬泛，一般需要運(yùn)用海量數(shù)據(jù)和復(fù)雜計(jì)算。數(shù)學(xué)建模的運(yùn)用領(lǐng)域涉及到工業(yè)規(guī)劃、環(huán)境保護(hù)、經(jīng)濟(jì)管理等交叉學(xué)科，數(shù)據(jù)的種類(lèi)與數(shù)量往往十分龐大，運(yùn)算過(guò)程較為復(fù)雜，一般需要重復(fù)引用并多次計(jì)算。以全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽2015年B題“互聯(lián)網(wǎng)+時(shí)代出租車(chē)資源配置”為例，涉及學(xué)科包括交通規(guī)劃、公共服務(wù)、人口學(xué)等領(lǐng)域，在建模求解中很可能將處理出行周轉(zhuǎn)量、出租車(chē)數(shù)量、人口數(shù)等大量數(shù)據(jù)。

二、計(jì)算機(jī)技術(shù)在數(shù)學(xué)建模運(yùn)用中的主要功能

1.計(jì)算機(jī)為數(shù)學(xué)建模提供了海量計(jì)算與存儲(chǔ)的強(qiáng)大支持。自1946年2月世界上第一臺(tái)電子數(shù)字計(jì)算機(jī)ENIAC誕生開(kāi)始，計(jì)算機(jī)的存儲(chǔ)與計(jì)算能力迎來(lái)了飛速發(fā)展。超級(jí)計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，更是使計(jì)算機(jī)的運(yùn)行能力達(dá)到了新的量級(jí)。現(xiàn)如今，計(jì)算機(jī)的大容量智能存儲(chǔ)與超高速的計(jì)算能力，使得氣象分析、航空航天與國(guó)防軍工等尖端研究課題的數(shù)學(xué)建模成為了可能。

2.計(jì)算機(jī)為數(shù)學(xué)建模提供了更為直觀全面的多媒體顯示。目前，以計(jì)算機(jī)為載體的文字、圖像、圖形、動(dòng)畫(huà)、音頻、視頻等數(shù)字化的存儲(chǔ)與顯示方式被大量運(yùn)用，使得交互式的信息交流和傳播變得更加順暢。在數(shù)學(xué)建模中，多學(xué)科的涉及使得建模過(guò)程中的顯示、推斷與監(jiān)測(cè)變得尤為重要，而計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)大幅提高了信息傳遞、顯示、交互的效率。

3.計(jì)算機(jī)自動(dòng)化、智能化的屬性與數(shù)學(xué)建模相輔相成，互相促進(jìn)。在計(jì)算機(jī)的輔助下，程序能夠智能化地進(jìn)行模型建立、模型漏洞的修繕，避免了低效率的計(jì)算過(guò)程。例如，某個(gè)關(guān)鍵數(shù)據(jù)或參數(shù)的修改，對(duì)于整個(gè)模型是“牽一發(fā)而動(dòng)全身”的，計(jì)算機(jī)不僅能夠保存多個(gè)版本的計(jì)算結(jié)果，它的智能引用還能夠使得各項(xiàng)計(jì)算自動(dòng)引用修改后的新數(shù)據(jù)，從而使整個(gè)模型時(shí)刻保持統(tǒng)一。

4.計(jì)算機(jī)模擬能在不確定的條件下模擬現(xiàn)實(shí)生活中難以重復(fù)的試驗(yàn)，大幅降低了實(shí)驗(yàn)成本，縮短了輔助決策的時(shí)間。由于在實(shí)際問(wèn)題中，我們所需參數(shù)的值通常是不確定的，無(wú)法用數(shù)學(xué)分析的方法分析和建立數(shù)學(xué)模型，且通過(guò)大量實(shí)驗(yàn)來(lái)確定參數(shù)的過(guò)程從時(shí)間、人力、物力等因素都要付出昂貴的代價(jià)，甚至從客觀上無(wú)法進(jìn)行。而計(jì)算機(jī)通過(guò)歷史數(shù)據(jù)或者特定函數(shù)或概率關(guān)系能夠建立預(yù)測(cè)模型，得到目標(biāo)值的概率分布從而輔助決策過(guò)程。

下面我們以經(jīng)濟(jì)管理中的項(xiàng)目決策為例，簡(jiǎn)要分析計(jì)算機(jī)模擬的強(qiáng)大功能。

假設(shè)我們要啟動(dòng)某大型商場(chǎng)的建造，目標(biāo)是利潤(rùn)最大化，但項(xiàng)目成本與項(xiàng)目收益都是不確定的，我們便可以建立數(shù)學(xué)模型，輔助我們的投資決策過(guò)程。

（1）模型建立

建立基本的函數(shù)關(guān)系，構(gòu)建目標(biāo)變量。在本案例中，收入減去支出等于利潤(rùn)為最基本的關(guān)系，而利潤(rùn)最大化即為目標(biāo)。

（2）具體參數(shù)輸入

分析每項(xiàng)變量的影響因素，收集相關(guān)數(shù)據(jù)。在收入中，決定因素包括了消費(fèi)人數(shù)和人均消費(fèi)額，這兩項(xiàng)參數(shù)又可由商圈人流量、地理位置、居民的人均收入、商場(chǎng)的檔次定位幾項(xiàng)參數(shù)決定。在成本中，商品成本、以廣告費(fèi)用為主的銷(xiāo)售費(fèi)用、管理費(fèi)用、財(cái)務(wù)費(fèi)用和非經(jīng)常性項(xiàng)目構(gòu)成了主要成本。值得注意的是，有些指標(biāo)之間是具有相關(guān)性的，例如商圈地理位置將影響到租金，商場(chǎng)的定位將影響所售商品的成本，而銷(xiāo)售費(fèi)用除了直接影響支出以外，在一般情況下也與收入成正相關(guān)關(guān)系。這些復(fù)雜相關(guān)關(guān)系的運(yùn)算量很大，使用計(jì)算機(jī)能夠高效地實(shí)現(xiàn)計(jì)算和模擬。

（3）具體參數(shù)預(yù)測(cè)

分析每項(xiàng)細(xì)分參數(shù)的概率分布，控制輸入?？梢酝ㄟ^(guò)靜態(tài)模擬和動(dòng)態(tài)模擬進(jìn)行預(yù)測(cè)。例如人流量、人均收入等都是不可控變量，可通過(guò)不斷的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)輸入進(jìn)行預(yù)測(cè)，而銷(xiāo)售費(fèi)用等變量可通過(guò)內(nèi)部管理進(jìn)行調(diào)控，可以使用特定比例等方式直接進(jìn)行靜態(tài)預(yù)測(cè)。

（4）結(jié)果分析

根據(jù)各項(xiàng)變量的概率分布，我們可以根據(jù)不同變量的特定值進(jìn)行組合，從而得到特定組合下的利潤(rùn)值，最終得到利潤(rùn)在其值域上的概率分布，從而輔助我們的決策過(guò)程。例如，在利潤(rùn)為負(fù)（即虧損）的概率超過(guò)某個(gè)百分比時(shí)不啟動(dòng)項(xiàng)目，在利潤(rùn)超過(guò)某個(gè)值的概率超過(guò)某個(gè)百分比時(shí)啟動(dòng)項(xiàng)目。

筆者認(rèn)為，計(jì)算機(jī)模擬集合了海量存儲(chǔ)與計(jì)算、仿真與模擬等功能，是數(shù)學(xué)建模中最為強(qiáng)大的運(yùn)用，大幅提高了決策過(guò)程的效率。現(xiàn)如今，計(jì)算機(jī)模擬已經(jīng)在經(jīng)濟(jì)管理決策、自然預(yù)測(cè)等方面起到了重要作用。

三、計(jì)算機(jī)技術(shù)在數(shù)學(xué)建模中的主要運(yùn)用工具

3.1數(shù)學(xué)軟件

MATLAB和Mathematica、Maple并稱(chēng)為三大數(shù)學(xué)軟件，是數(shù)值分析計(jì)算、數(shù)據(jù)可視化等領(lǐng)域的高級(jí)計(jì)算語(yǔ)言，不僅能夠?qū)ξ⒎e分、代數(shù)、概率統(tǒng)計(jì)等領(lǐng)域進(jìn)行常規(guī)求解，還在符號(hào)、矩陣計(jì)算方面各有特長(zhǎng)。這些軟件是數(shù)學(xué)建模中運(yùn)用最為廣泛的工具。

3.2圖像處理

（1）Photoshop：著名的圖像處理軟件，主要運(yùn)用于平面設(shè)計(jì)與圖像的后期修飾。

（2）CAD：可視化的圖像處理軟件，能夠?qū)崿F(xiàn)三維繪圖，廣泛運(yùn)用于工程設(shè)計(jì)領(lǐng)域。圖像處理軟件能夠滿足部分建模問(wèn)題中精確構(gòu)圖顯示的要求，例如工程設(shè)計(jì)等問(wèn)題，CAD的三維建模能夠有效協(xié)助決策分析。

3.3統(tǒng)計(jì)軟件

（1）R語(yǔ)言：免費(fèi)開(kāi)源的統(tǒng)計(jì)軟件，程序包可以實(shí)現(xiàn)強(qiáng)大的統(tǒng)計(jì)分析功能。

（2）SPSS：入門(mén)級(jí)統(tǒng)計(jì)軟件，能夠完成描述性統(tǒng)計(jì)、相關(guān)分析、回歸分析等基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)功能。

（3）SAS：專(zhuān)業(yè)的數(shù)據(jù)存儲(chǔ)與分析軟件，具備強(qiáng)大的數(shù)據(jù)庫(kù)管理功能，廣泛運(yùn)用于工業(yè)界。統(tǒng)計(jì)軟件能夠滿足數(shù)學(xué)建模中對(duì)于海量數(shù)據(jù)存儲(chǔ)與分析的要求，是建模分析中最為重要的工具。

3.4專(zhuān)業(yè)編程軟件

（1）C++：嚴(yán)謹(jǐn)、精確的程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言，因其通用性與全面性被廣泛運(yùn)用。

（2）Lingo語(yǔ)言：“交互式的線性和通用優(yōu)化求解器”，是一種求解線性與非線性規(guī)劃問(wèn)題的強(qiáng)大工具。專(zhuān)業(yè)的編程語(yǔ)言能夠結(jié)合、輔助其他類(lèi)軟件進(jìn)行程序編寫(xiě)，完成特定情況下的建模、規(guī)劃等問(wèn)題。例如Lingo語(yǔ)言，便能實(shí)現(xiàn)在規(guī)劃類(lèi)問(wèn)題中優(yōu)化分析、模型求解等強(qiáng)大功能。

四、結(jié)束語(yǔ)

數(shù)學(xué)作為研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的基礎(chǔ)科學(xué)，已經(jīng)成為了解決眾多實(shí)際問(wèn)題的重要指導(dǎo)思想之一。而計(jì)算機(jī)作為規(guī)?；⒅悄芑?、自動(dòng)化的計(jì)算工具，將進(jìn)一步擴(kuò)展數(shù)學(xué)思想在眾多領(lǐng)域的基礎(chǔ)實(shí)踐?？梢灶A(yù)見(jiàn)的是，廣泛運(yùn)用計(jì)算機(jī)技術(shù)的數(shù)學(xué)建模理論，將不斷運(yùn)用到社會(huì)發(fā)展各個(gè)方面，協(xié)助人類(lèi)攻堅(jiān)克難，在追求真理的道路上堅(jiān)定前行、永不止步。

參 考 文 獻(xiàn)

[1]高瑾，林園. 淺談?dòng)?jì)算機(jī)技術(shù)在數(shù)學(xué)建模中的重要應(yīng)用[J]. 深圳信息職業(yè)技術(shù)學(xué)院學(xué)報(bào)，2016，（03）：54-57.

[2]夏魁良，李春銳. 計(jì)算機(jī)與數(shù)學(xué)建模的關(guān)系初探[J]. 黑龍江科技信息，2009，（28）：94.

[3]王芳，趙晗，程松. 論計(jì)算機(jī)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用[J]. 科教文匯（下旬刊），2007，（11）：78+88.