追根溯源 承前啟后

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》指出：數(shù)學(xué)知識的教學(xué)，要注重知識的“生長點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，把每堂課教學(xué)的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系，處理好局部知識與整體知識的關(guān)系。筆者結(jié)合江蘇省特級教師浦?jǐn)⒌轮鞒值慕K省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃課題“初中數(shù)學(xué)教材“點(diǎn)全·線聯(lián)·面融式”課時(shí)解讀的實(shí)踐研究——以“蘇科版（國標(biāo)）教材為例”，摭談“4.1從問題到方程”課時(shí)解讀與設(shè)計(jì)。

一、從課時(shí)內(nèi)容結(jié)構(gòu)分析

本課時(shí)由五個(gè)部分構(gòu)成：第一部分是情境素材，天平平衡所表示的數(shù)量關(guān)系，讓學(xué)生通過動(dòng)手動(dòng)腦，感受相等所對應(yīng)的生活模型；第二部分是實(shí)際問題，讓學(xué)生通過假設(shè)未知數(shù)，描述數(shù)量的相等關(guān)系；第三部分是古代問題，讓學(xué)生嘗試尋找等量關(guān)系，體驗(yàn)尋找等量關(guān)系的方法，即找到一個(gè)合適的量，用兩種方式加以表達(dá)，等號連接便得方程；第四部分是收集方程，歸納特征，提煉概念；最后是配套練習(xí)與習(xí)題。

二、從“點(diǎn)全·線聯(lián)·面融”視角解讀

1.“點(diǎn)全”視角解讀：梳理來龍去脈，讓知識點(diǎn)水落石出。

“點(diǎn)全”即對“4.1從問題到方程”課時(shí)的知識點(diǎn)進(jìn)行全面解讀，梳理“一元一次方程”的概念從哪里來。一元一次方程的概念有三個(gè)維度，一是等式，教材通過天平的平衡過渡到實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的相等，從而產(chǎn)生等式；二是含有未知數(shù)，建立在小學(xué)已學(xué)過方程的基礎(chǔ)上順?biāo)浦奂纯?，但要通過具體問題讓學(xué)生感悟?qū)W一元一次方程的意義，體會到通過設(shè)未知數(shù)來解決實(shí)際問題的簡便性、優(yōu)越性；三是“次數(shù)”是一次，“次數(shù)”怎么看？學(xué)生在前一章剛學(xué)過代數(shù)式，懂得如何觀察單項(xiàng)式及多項(xiàng)式的“次數(shù)”，相對于觀察方程的次數(shù)，看未知數(shù)的次數(shù)尤為淺顯易懂。

2.“線聯(lián)”視角解讀：串聯(lián)前后知識，讓知識線水到渠成。

“線聯(lián)”即要關(guān)注知識的“生長點(diǎn)”與“延伸點(diǎn)”，追求知識的前后連貫，自然生成，把散落的珍珠串成美麗的項(xiàng)鏈，體現(xiàn)知識的整體性。對于有些可在生活數(shù)學(xué)、知識關(guān)聯(lián)視角兩方面解讀的課時(shí)，則應(yīng)把隱含在知識背后的數(shù)學(xué)思想方法予以揭示，使數(shù)學(xué)知識與思想方法的明暗兩條線組成設(shè)計(jì)與教學(xué)的雙翼。本課時(shí)解讀如下，若按照代數(shù)概念產(chǎn)生的一般方法和規(guī)律，可以按照“列舉問題——得出式子——?dú)w納特征——提煉概念——靈活運(yùn)用”構(gòu)成知識的關(guān)聯(lián)線；若按本課素材明線來看，是由“兩個(gè)情境”引出知識，一是觀察平衡模型，二是尋找數(shù)量相等，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中從具體到抽象的基本思想方法；接著通過古代問題及“試一試”等問題，共得出5個(gè)方程，讓學(xué)生歸納這類方程的特點(diǎn)，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)從一般到特殊的基本思想方法；最后是練習(xí)與習(xí)題。在本課結(jié)束時(shí)，教師可以布置一些發(fā)展性的問題，如今天我們通過設(shè)未知數(shù)來解決相關(guān)問題，但事情只做了一半，我們只得到了方程，如何解這些方程呢？你們能否結(jié)合天平平衡的原理，化繁為簡，找到解方程的方法呢？方程從未知數(shù)的個(gè)數(shù)和次數(shù)而言，有一元一次方程，你認(rèn)為還有什么方程？等等，讓課堂余音繞梁，讓生成源源不斷。

3.“面融”視角解讀：提升“四基、四能”，讓知識面水漲船高。

“面融”即把本課時(shí)從“四基、四能”的整體層面進(jìn)行解讀，它包括顯性知識板塊層面，即本課知識處于什么知識線上？處在什么知識板塊下？與相近知識板塊之間有什么內(nèi)在聯(lián)系，及時(shí)進(jìn)行類比和對比；還包括隱性能力層面，需要注重哪些能力的培養(yǎng)？形成哪些數(shù)學(xué)觀念？本課時(shí)“面融”解讀如下：縱觀小學(xué)、初中各個(gè)學(xué)段的學(xué)習(xí)內(nèi)容，發(fā)現(xiàn)“方程”的知識是呈螺旋式上升的，先是小學(xué)教學(xué)中根據(jù)實(shí)際問題，初涉簡單的一元一次方程，讓學(xué)生有一個(gè)朦朧的概念，但不涉及具體解法和應(yīng)用，到七年級上學(xué)期，面對較為復(fù)雜的實(shí)際問題，僅憑小學(xué)的算術(shù)方法很難直接表達(dá)其中的數(shù)量關(guān)系，而通過假設(shè)未知數(shù)，一方面可以更為直接地表述數(shù)量關(guān)系，思維較為順暢，另一方面，在表述數(shù)量關(guān)系時(shí)，實(shí)際上是兵分兩路，各表同量，難度降半，事半功倍，即設(shè)法從兩個(gè)不同的角度通過未知數(shù)來表示一個(gè)恰當(dāng)?shù)闹虚g量，從而構(gòu)建等量關(guān)系，得到一元一次方程。若依此類推，舉一反三，有一元一次方程便有二元一次方程、三元一次方程、一元二次方程等等，也為學(xué)生后繼學(xué)習(xí)更為復(fù)雜的方程提供了方法和依據(jù)。若追根溯源，方程在生活中的原型是天平的平衡，平衡中的天平兩邊同時(shí)加減相同的量，天平仍然平衡，類似地，也為化簡方程找到了思路。

三、基于教材解讀的教學(xué)設(shè)計(jì)

基于以上的教材解讀與分析，筆者進(jìn)行了如下的教學(xué)設(shè)計(jì)：

1.創(chuàng)設(shè)情境，難則思變。

師：有一根鐵絲，第一次用了它的一半少1米，第二次用去了剩余的一半多1米，結(jié)果還剩2.5米，問這根鐵絲原有多長？

很多學(xué)生感覺較難下手，部分學(xué)優(yōu)生嘗試用算術(shù)方法解答。

師：如果用小學(xué)里的算術(shù)方法解答，的確比較難下手，知識的發(fā)展源于問題，今天我們嘗試換一個(gè)角度，來一次革命。

2.開放問題，玩味平衡。

師：如圖，天平的左盤中有兩個(gè)相同的小球和一個(gè)質(zhì)量為1g的小球，右盤中有一個(gè)5g的砝碼。怎樣描述天平平衡時(shí)所表示的數(shù)量之間的相等關(guān)系？你還可以怎樣改變條件并描述天平平衡時(shí)所表示的數(shù)量之間的相等關(guān)系？

學(xué)生嘗試改變條件，體驗(yàn)等量關(guān)系，初步感知方程。

3.方法比較，體會價(jià)值。

師：籃球聯(lián)賽規(guī)則規(guī)定：勝一場得2分，負(fù)一場得1分。某籃球隊(duì)賽了12場，共得20分。你能提出什么問題？怎樣解決？

學(xué)生提出問題，并思考解決之道，有的用算術(shù)方法，有的開始嘗試用方程解決。學(xué)生初步體驗(yàn)實(shí)際問題中已知量和未知量之間的相等關(guān)系，可以用多種不同的方式描述。并通過比較可以看出，用方程描述這種相等關(guān)系最簡明。

4.提煉特征，理解新知。

教師再出示例題：甲、乙兩同學(xué)學(xué)習(xí)計(jì)算機(jī)打字，甲打一篇3000字的文章與乙打一篇2400字的文章所用的時(shí)間相同。已知甲每分鐘比乙每分鐘多打12個(gè)字，問甲每分鐘打多少個(gè)字？

教師引導(dǎo)學(xué)生通過對實(shí)際問題中數(shù)量關(guān)系的分析，體會如何用方程描述實(shí)際問題中的等量關(guān)系。讓學(xué)生概括這類方程的特點(diǎn)，引出一元一次方程的概念。

接著教師介紹方程史話：人類對方程的研究可以追溯到遠(yuǎn)古時(shí)代，大約3600年前，古代埃及人寫在紙草書上的數(shù)學(xué)問題中就涉及了含有未知數(shù)的等式，中國對方程的研究也有悠久的歷史，著名的中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中，就有專門用“方程”命名的一章。

5.現(xiàn)學(xué)現(xiàn)用，鞏固新知。

（1）概念辨析，加深理解。

師：下列各式中，是方程的有幾個(gè)？是一元一次方程的有幾個(gè)？你能否再舉一些例子？

①2x+3；②2+5=7；③-2x=3x+2；④-3+0.4y=8；⑤x+1>3。

（2）抓住等量，建立方程。

設(shè)某數(shù)為x，根據(jù)下列條件列方程：

①某數(shù)的65%與-2的差等于它的一半；

②某數(shù)的[12]與5的差等于它的相反數(shù)。

（3）我國古代問題。

以繩三折測之，繩多四尺；若將繩四折測之，繩多一尺。繩長、井深各幾何？

學(xué)生解釋：用繩子量井深，把繩三折來量，井外余繩四尺；把繩四折來量，井外余繩一尺。繩長、井深各幾尺？

教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)尋找等量關(guān)系的一些關(guān)鍵字。

6.回顧懸念，柳暗花明。

教師引導(dǎo)學(xué)生解決課首提出的問題，再次體驗(yàn)用方程解決實(shí)際問題的優(yōu)越性，即兵分二路，同表一量，難度降半。

7.議議生慧，明道悟理。

師：通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？你還想了解一元一次方程的什么知識？你認(rèn)為方程還會怎樣發(fā)展？

學(xué)生從數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想、生活哲理等方面總結(jié)。

結(jié)語：從“點(diǎn)全、線聯(lián)、面融”三個(gè)視角進(jìn)行課時(shí)解讀與教學(xué)設(shè)計(jì)，一方面為教師提供了一個(gè)要求規(guī)范、起點(diǎn)較高、操作性強(qiáng)的分析教材、理解教材、吃透教材的方法和工具，讓教師站在系統(tǒng)的高度，俯瞰課堂，整體分析，追根溯源，承前啟后；另一方面，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)另辟蹊徑，教材的解讀不僅停留在尋找知識之間的邏輯順序及知識之間的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系，而且透過現(xiàn)象看本質(zhì)，把隱含在知識背后的數(shù)學(xué)思想方法予以揭示，使數(shù)學(xué)知識與思想方法的明暗兩條線比翼雙飛，讓學(xué)生逐步學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)；用數(shù)學(xué)的思維分析世界，發(fā)展邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)；用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，發(fā)展數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)。

（作者為江蘇省無錫市張涇中學(xué)教師）