深刻理解教材 踐行“用教材教”

一、教材分析

“平方根”共2個課時，本節(jié)課是第一課時。由于實際計算中需要引入無理數(shù)，使數(shù)的范圍從有理數(shù)擴(kuò)充到了實數(shù)，從而完成了初中階段對數(shù)的擴(kuò)展。運算方面，在乘方運算的基礎(chǔ)上引入了開方運算，使代數(shù)運算得以完善。因此，本節(jié)課有助于了解n次方根的概念，為今后學(xué)習(xí)二次根式、方程、函數(shù)等做了鋪墊。

二、教學(xué)目標(biāo)

了解平方根的概念，學(xué)會平方根的符號表示；了解開方與乘方互為逆運算，會用平方根運算求一個非負(fù)數(shù)的平方根；理解平方根的性質(zhì)，懂得一個正數(shù)有兩個平方根（它們互為相反數(shù)），0的平方根是0，負(fù)數(shù)沒有平方根。

三、教學(xué)重點

了解開方與乘方互為逆運算，能熟練地用平方根運算求一個非負(fù)數(shù)的平方根。

四、教學(xué)難點

用平方根運算求一個非負(fù)數(shù)的平方根。

五、教學(xué)過程

1. 創(chuàng)設(shè)情景，復(fù)習(xí)舊知。

師：想一想，什么是乘方運算？能舉個例子說說嗎？

生1： 32，（-3）2，52，54……

師：在“54”中，5、4分別叫什么？

生（眾）：5是底數(shù)，4是指數(shù)。

師：54的結(jié)果是多少？它又叫什么？

生（眾）：625，冪。

師：很好，乘方運算就是已知底數(shù)、指數(shù)，求冪的運算。

2. 提出問題，引發(fā)探究。

師：如果知道了指數(shù)、冪，底數(shù)是多少呢？也就是說“已知x4=625，求x”。我們把這種運算稱之為開方運算，就是已知冪、指數(shù)，求底數(shù)的運算。

師：我們研究數(shù)的運算往往是從簡單的開始，你們覺得我們可以先從“開幾次方”開始研究呢？

生2：開1次方。

師：對于一個數(shù)的開1次方，是多少？有沒有必要？

生3：沒有必要，開1次方還是它本身。

師：對的！那從開幾次方開始？

生4：開2次方。

師：到底開幾次方？

生（眾）：開2次方。

師：2次方又稱平方。那我們就從平方運算和對應(yīng)的開平方運算開始。我們知道，22=4，若x2=4，x是多少？

生5：±2。

師：若x2=100呢？或者x2=169呢？

生6：±10、±13。

師：能再舉些例子嗎？

生7舉例。

師：你們有什么發(fā)現(xiàn)？

生8：平方等于同一個數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)。

師：x2=2呢？（學(xué)生討論。）

師：在這里我們沒有找到任何一個整數(shù)或分?jǐn)?shù)的平方等于2，即無法找到一個有理數(shù)，使它的平方等于2。這怎么辦呢？

師：為了確定一個數(shù)，使它的平方等于2，我們在平方數(shù)2的上面放上符號“[]”來表示，記作[2]，即（[2]）2=2。這里的“[]”讀作“根號”，[2]讀作“根號2”。此時，x會是多少？

生9：[±2]。

師：可以看出，使x2=a（a>0）成立的數(shù)有幾個呢？

生（眾）：兩個。

師：它們之間有什么關(guān)系？

生10：它們互為相反數(shù)。

教師接著給出平方根的定義，并板書。

3. 嘗試練習(xí)，鞏固新知。

教師出示例題，讓學(xué)生講解，然后教師點評，鞏固新知。

例1 求下列各數(shù)的平方根：

（1）25； （2）[1681]； （3）15； （4）0.09。

4. 探索交流，發(fā)現(xiàn)性質(zhì)。

師：在下列各括號中能填寫適當(dāng)?shù)臄?shù)使等式成立嗎？如果能，請?zhí)顚懀蝗绻荒?，請說明理由，并與同學(xué)交流。

（ ）2=9，（ ）2=5，（ ）2=[925]，（ ）2=0，（ ）2=-[49]，（ ）2=-8，（ ）2=-36。

生11進(jìn)行了回答。

師：你有什么發(fā)現(xiàn)？

生12、生13、生14給出了自己的見解。教師接著板書平方根的性質(zhì)：一個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒有平方根。

5. 拓展練習(xí)，深化理解。

教師出示例題。

例2 計算：

（1） [36]；（2） -[214]；（3）±[0.81]。

師：式子[36]是什么意思？

生15：表示36的平方根。

師：再想想，看看黑板上的符號表示。

生16：表示36的正的平方根。

師：正確！等于多少呢？

生17：6。

師：式子-[214]是什么意思？

生18：表示2[14]的負(fù)的平方根。

師：等于多少？

生19：-[32]。

師：很好！那么，±[0.81]呢？

生20：表示0.81的平方根。

師生共同分析后，學(xué)生上臺板演。

6. 梳理小結(jié)，歸納提升。

師：請同學(xué)們圍繞以下幾個問題展開梳理：（1）這節(jié)課你是怎樣學(xué)習(xí)平方根的？（2）你對平方根有哪些認(rèn)識？

生21回答。

師：同學(xué)們，乘方運算是已知底數(shù)、指數(shù)求冪的運算，開方運算是已知冪、指數(shù)求底數(shù)的運算，如果已知冪、底數(shù)，求指數(shù)叫什么運算呢？你們將在高中的學(xué)習(xí)中繼續(xù)探究。

六、教學(xué)反思

1. 立足研究教材，貼近學(xué)生現(xiàn)實。

著名特級教師李庾南認(rèn)為，“教材不等于教學(xué)內(nèi)容，教者應(yīng)該從學(xué)生實際出發(fā)，力求學(xué)生的知識、智力、能力、情感、態(tài)度能達(dá)到各自的‘最近發(fā)展區(qū)’，創(chuàng)造性地用教材，重組教學(xué)內(nèi)容，決不能只是講教材”。本節(jié)課的教材設(shè)計是以運用勾股定理計算直角三角形邊長為實際情境，引導(dǎo)學(xué)生感悟研究“數(shù)的開方”的必要性，激發(fā)學(xué)生的求知欲。顯然，邊長的計算結(jié)果應(yīng)該是算術(shù)平方根，而不是平方根，筆者覺得有值得商榷的地方。所以，筆者放棄了教材上的情境引入，而是從“什么是乘方運算”入手，引入“開方運算”，讓學(xué)生初步感受乘方與開方互為逆運算，然后引導(dǎo)學(xué)生具體研究平方運算和對應(yīng)的開平方運算，再給出平方根的定義，讓學(xué)生學(xué)會平方根的符號表示及求法，并歸納其性質(zhì)。這樣，不僅有利于學(xué)生理解平方根的內(nèi)涵，還能夠更好地揭示開平方運算與平方運算之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)。

2. 深刻理解教材，認(rèn)真理解數(shù)學(xué)。

鐘啟泉教授指出：“唯有‘用教材教’才能反映教學(xué)過程中教材的性質(zhì)。這是因為，教學(xué)過程是一種社會交互作用的過程，知識不是教師通過傳遞信息強制性地灌輸給學(xué)生的，而是學(xué)生自身以及在與教師交互作用之中建構(gòu)的?！闭陆ㄜS教授曾說：“在課堂教學(xué)中，要以數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展過程和理解數(shù)學(xué)知識的心理過程為基本線索，為學(xué)生構(gòu)建前后一致邏輯連貫的學(xué)習(xí)過程，使他們在掌握數(shù)學(xué)知識的過程中學(xué)會思考。”“用教材教”就需要我們深刻理解教材、認(rèn)真理解數(shù)學(xué)，不僅包括本學(xué)段內(nèi)數(shù)學(xué)知識的發(fā)生、發(fā)展可能，還要思考在后續(xù)高中階段會有怎樣的生長可能，也有利于學(xué)生能從整體上理解數(shù)學(xué)，構(gòu)建數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)?！皟纭⒌讛?shù)、指數(shù)”三個量之間的關(guān)系是平方根教學(xué)的生長點，筆者設(shè)計具有思考性的問題串，引發(fā)學(xué)生思維沖突，引導(dǎo)學(xué)生準(zhǔn)確而深刻理解平方根概念，也為學(xué)生學(xué)習(xí)高中的對數(shù)知識做了必要的準(zhǔn)備。