向量組線性相關(guān)性的三種典型判法

【摘要】本文根據(jù)向量組線性相關(guān)性的定義、性質(zhì)以及矩陣的秩、向量組的秩的關(guān)系，給出了向量組線性相關(guān)性的三種典型判法以及求向量組的秩和極大無關(guān)組的方法.

【關(guān)鍵詞】向量組；線性相關(guān)性；典型判法

向量組的線性相關(guān)性，對整個線性代數(shù)理論的建立都非常重要.怎樣準(zhǔn)確快速地判別向量組的線性相關(guān)性？我們給出下列幾種典型判法：

一、定義法

若向量組為α1，α2，…，αm，可令k1α1+k2α2+…+kmαm=0（零向量），代入向量的坐標(biāo)，用向量相等的定義將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于k1，k2，…，km的齊次線性方程組，若它有唯一零解，則k1，k2，…，km全為零，向量組線性無關(guān)；若它有非零解，則k1，k2，…，km不全為零，向量組線性相關(guān).

例1判斷下列向量組的線性相關(guān)性：

α1=（1，-2，…，3），α2=（2，1，…，0），α3=（1，-7，…，9）.

解令k1α1+k2α2+k3α3=0，代入分量得

（k1+2k2+k3，-2k1+k2-7k3，3k1+9k3）=（0，0，0）.

由向量相等的定義得齊次線性方程組

k1+2k2+k3=0，

-2k1+k2-7k3=0，

3k1+9k3=0.

其系數(shù)矩陣實施行初等變換得

A=121

-21-7

309→121

05-5

0-66→121

01-1

000 →103

01-1

000.

秩r（A）=2<3，方程組有無窮非零解，且k1=-3k3，k2=k3（k3為自由未知量），向量組α1，α2，α3線性相關(guān).

本例中方程個數(shù)等于未知量的個數(shù)，也可直接計算系數(shù)行列式得其值為零，從而得方程組有無窮非零解.

二、性質(zhì)法

依據(jù)：部分相關(guān)，則整體相關(guān)；整體無關(guān)，則部分無關(guān).

判法：若向量組為α1，α2，…，αm，先看向量組中是否有零向量，若有，則向量組線性相關(guān)；若無，則第一個向量α1必線性無關(guān)，留下；再看第二個向量α2是否與α1成比例，若是，則α1，α2線性相關(guān)，從而向量組線性相關(guān)，畫去α2；若不是，則α1，α2線性無關(guān)，留下α2；繼續(xù)用同樣的辦法再看第三個向量α3，直至看完最后一個向量為止.不僅可以判斷出向量組的線性相關(guān)性，還可找出向量組的極大無關(guān)組（即：留下的向量組）.

如上例1中，先看α1≠0，必線性無關(guān)，留下α1；再看第二個向量α2，它與α1不成比例，因此，α1，α2線性無關(guān)，留下α2；最后看α3，因為α3=3α1-α2，所以α1，α2，α3必線性相關(guān)，畫去α3.留下的向量組α1，α2即為α1，α2，α3的一個極大無關(guān)組.

三、矩陣判法

依據(jù)：矩陣的秩=矩陣的行秩=矩陣的行向量組的秩=矩陣的列向量組的秩=矩陣的列秩；若向量組的秩=它所含向量的個數(shù)，則向量組線性無關(guān)；否則，向量組線性相關(guān).向量組的秩=向量組的極大無關(guān)組中向量的個數(shù).

判法：若向量組為αi=（αi1，αi2，…，αin）（i=1，2，…，m），要判定其線性相關(guān)性，方法如下：（1）以每個向量為行，作成一個m×n矩陣A，即A=a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn.

（2）對矩陣A施行初等變換，把它化為階梯形矩陣，得出矩陣A的秩r，它既是矩陣的行向量組的秩，也是矩陣的列向量組的秩.

（3）判斷r與向量個數(shù)m的關(guān)系：若r=m，則向量組線性無關(guān)；若r

（4）階梯形矩陣非零行對應(yīng)的A中的向量組就是這個向量組的極大無關(guān)組.

（當(dāng)然也可以每個向量為列，作成一個n×m矩陣A，方法一致.如果向量個數(shù)等于向量的維數(shù)，則矩陣A對應(yīng)的行列式存在，還可直接用|A|是否為零判定向量組線性相關(guān)性.）

上述方法對于坐標(biāo)含參數(shù)的向量組的線性相關(guān)性討論非常方便.

例2設(shè)α1=（1，1，1），α2=（1，2，3），α3=（1，3，t），問t為何值時，向量組α1，α2，α3線性相關(guān)，線性無關(guān)？當(dāng)線性相關(guān)時，將α3表示為α1與α2的線性組合.

解因為A=α1

α2

α3=111

123

13t→111

012

02t-1→111

012

00t-5=B，

所以，當(dāng)t≠5時，r（A）=3=向量個數(shù)，向量組α1，α2，α3線性無關(guān).其本身就是它的極大無關(guān)組；當(dāng)t=5時，r（A）=2<3=向量個數(shù)，向量組α1，α2，α3線性相關(guān)，α1，α2是它的一個極大無關(guān)組.此時α3=（1，3，5）=2α2-α1.

【參考文獻(xiàn)】

[1]何守元，主編.高等代數(shù)[M].北京：現(xiàn)代教育出版社，2015.