基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)穩(wěn)健波束形成算法

陳明建,龍國(guó)慶,黃中瑞

(合肥電子工程學(xué)院,合肥 230037)

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【專家特稿】

基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)穩(wěn)健波束形成算法

陳明建,龍國(guó)慶,黃中瑞

(合肥電子工程學(xué)院,合肥 230037)

提出了一種新的基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的穩(wěn)健算法。該算法基于最小化輸出期望信號(hào)空間倒譜，利用多項(xiàng)式擬合估計(jì)期望信號(hào)的導(dǎo)向矢量；從數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣中減去期望信號(hào)部分，得到干擾加噪聲協(xié)方差矩陣，通過(guò)修正方法實(shí)現(xiàn)對(duì)干擾加噪聲協(xié)方差矩陣的準(zhǔn)確估計(jì)，解決了低信噪比時(shí)由于信號(hào)子空間發(fā)生纏繞，導(dǎo)致協(xié)方差矩陣估計(jì)存在較大誤差的問(wèn)題；理論分析與仿真實(shí)驗(yàn)表明了該算法的有效性和穩(wěn)健性。

穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成；協(xié)方差矩陣重構(gòu)；導(dǎo)向矢量估計(jì)；信干噪比

傳統(tǒng)自適應(yīng)波束形成在理想情況下能夠獲得良好性能[1]。然而實(shí)際上訓(xùn)練數(shù)據(jù)中不可避免包含期望信號(hào)，且存在指向誤差、陣列幅相誤差、信號(hào)散射等因素導(dǎo)致導(dǎo)向矢量無(wú)法精確獲得，期望信號(hào)有可能被當(dāng)成干擾，從而出現(xiàn)信號(hào)自相消現(xiàn)象。學(xué)者們相繼提出了各類穩(wěn)健自適應(yīng)算法解決該問(wèn)題。主要分為以下4類：對(duì)角加載算法、特征空間算法、不確定集約束算法以及干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法。對(duì)角加載算法是在任意陣列響應(yīng)誤差和小樣本數(shù)據(jù)情況下常用的穩(wěn)健波束形成算法之一，但如何選擇最優(yōu)的對(duì)角加載量，是該算法難題[2-6]。特征空間法是利用期望信號(hào)導(dǎo)向矢量在信號(hào)和干擾子空間內(nèi)的投影代替原導(dǎo)向矢量本身，從而減輕信號(hào)自相消現(xiàn)象，提高輸出信干噪比(SINR)。但該算法在低信噪比時(shí)性能下降甚至完全失效[7-9]。針對(duì)上述傳統(tǒng)方法的不足，基于不確定集約束的穩(wěn)健波束形成方法相繼提出[10-16]，如最差性能最優(yōu)化穩(wěn)健波束形成(WCPO)、穩(wěn)健Capon波束形成(RCB)等。由于不確定集穩(wěn)健算法的陣列接收信號(hào)中包含期望信號(hào)，在高信噪比時(shí)仍然會(huì)出現(xiàn)信號(hào)相消現(xiàn)象，算法性能受限于導(dǎo)向矢量模約束參數(shù)選取，且需要優(yōu)化算法求解權(quán)向量，計(jì)算復(fù)雜度較高，不利于工程應(yīng)用。針對(duì)上述問(wèn)題，最近一些學(xué)者提出了基于干擾和噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)的穩(wěn)健算法[17-21]，如文獻(xiàn)[17]提出基于空間譜的干擾加噪聲協(xié)方差重構(gòu)算法，但需要對(duì)期望方向外所有空域進(jìn)行譜估計(jì)，計(jì)算量較大。文獻(xiàn)[18-19]提出一種新的協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法，避免積分運(yùn)算，但該算法只適用于陣列響應(yīng)模型準(zhǔn)確的情況。若陣列存在幅相誤差、互耦等時(shí)算法性能將下降。文獻(xiàn)[20]分析了特征空間法能夠獲得穩(wěn)健波束形成的機(jī)理，提出了基于信號(hào)子空間重構(gòu)的穩(wěn)健算法，在任意SNR情況下均能獲得穩(wěn)定性能。文獻(xiàn)[21]利用導(dǎo)向矢量的環(huán)面不確定集約束，一定程度上解決了任意陣列模型失配導(dǎo)致波束形成性能下降的問(wèn)題，進(jìn)一步提高了算法的適用性，但該算法導(dǎo)向矢量計(jì)算較為復(fù)雜，且若模約束參數(shù)選擇不當(dāng)，算法穩(wěn)健性能改善有限。

針對(duì)上述問(wèn)題，本文提出了一種新的基于干擾加噪聲協(xié)方差矩陣和導(dǎo)向矢量聯(lián)合估計(jì)的穩(wěn)健算法，該算法基于最小化期望信號(hào)空間倒譜，利用多項(xiàng)式擬合近似求解期望導(dǎo)向矢量和期望信號(hào)功率；然后利用接收信號(hào)的協(xié)方差矩陣中減去期望信號(hào)的協(xié)方差矩陣，得到干擾加噪聲協(xié)方差矩陣。同時(shí)，為了解決低信噪比時(shí)協(xié)方差矩陣存在較大估計(jì)誤差的問(wèn)題，對(duì)干擾加噪聲協(xié)方差矩陣進(jìn)行修正，得到了更為準(zhǔn)確的協(xié)方差矩陣；最后利用Capon算法得到最優(yōu)權(quán)矢量。

1 問(wèn)題描述

1.1 信號(hào)模型

假設(shè)由M元各向同性等距線陣組成接收陣列，遠(yuǎn)場(chǎng)空間的K個(gè)相互獨(dú)立的窄帶平面波信號(hào)以到達(dá)角(DOA)θk入射到該陣列，若x(t)表示M×1維復(fù)采樣接收數(shù)據(jù)，則

(1)

(2)

其中Ri+n表示干擾加噪聲的協(xié)方差矩陣。

利用拉格朗日乘子法可得最優(yōu)權(quán)向量為

(3)

實(shí)際中，協(xié)方差矩陣通常由多次快拍估計(jì)得到，即

(4)

在理想情況下MVDR波束形成器性能理論上能達(dá)到最優(yōu)，但實(shí)際應(yīng)用中存在各種非理想因素(如信號(hào)的DOA失配、信源散射、陣元通道誤差、陣元位置誤差、陣元互藕、短快拍、多徑信號(hào)干擾等)，導(dǎo)致目標(biāo)信號(hào)的導(dǎo)向矢量和數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣估計(jì)出現(xiàn)失配，而基于采樣矩陣求逆的MVDR形成器對(duì)模型失配特別敏感，尤其是當(dāng)訓(xùn)練樣本中出現(xiàn)目標(biāo)信號(hào)時(shí)，導(dǎo)致波束形成器的性能嚴(yán)重下降甚至完全失效。

1.2 各類失配對(duì)算法性能的影響

(5)

(6)

(7)

則可以推導(dǎo)得到輸出SINR為[1]

(8)

其中

(9)

2 典型的穩(wěn)健自適應(yīng)算法

2.1 對(duì)角加載法

對(duì)角加載算法(DL)的核心思想是通過(guò)在常規(guī)Capon算法的代價(jià)函數(shù)式中增加一個(gè)二次項(xiàng)調(diào)整權(quán)重向量，即將約束優(yōu)化問(wèn)題修改為

(10)

(11)

對(duì)角加載算法一定程度上能夠克服模型失配導(dǎo)致算法性能下降的問(wèn)題，但該算法的關(guān)鍵是如何確定最優(yōu)加載量。對(duì)角加載因子γ選擇過(guò)小或者過(guò)大，都無(wú)法達(dá)到穩(wěn)健自適應(yīng)波束形成的目的。

2.2 特征子空間法

基于特征子空間算法是通過(guò)將導(dǎo)向矢量投影到信號(hào)加干擾子空間，得到新的導(dǎo)向矢量：

(12)

將式(12)代入式(3)可得

(13)

對(duì)期望信號(hào)進(jìn)行投影，一方面可以消除噪聲子空間擾動(dòng)帶來(lái)的影響，另一方面進(jìn)一步修正期望信號(hào)導(dǎo)向矢量，減小誤差的影響。但該算法的不足是在低信噪比時(shí)或者信源數(shù)未知時(shí)，由于子空間的纏繞(Subspace Swaps)無(wú)法準(zhǔn)確獲得的信號(hào)加干擾的子空間，從而導(dǎo)致波束器的穩(wěn)健性能下降。

2.3 最差性能最優(yōu)法

最差性能最優(yōu)法(WCPO)主要思想是設(shè)計(jì)權(quán)值，使導(dǎo)向矢量在已知的不確定集A內(nèi)的最差情況下的陣列響應(yīng)都大于1，即

(14)

式(14)是一個(gè)二階錐優(yōu)化問(wèn)題，可以使用內(nèi)點(diǎn)法求解。最差性能最優(yōu)算法性能的好壞取決于不確定集的ε取值，這在實(shí)際應(yīng)用中很難準(zhǔn)確獲得，因此ε取值不當(dāng)將造成算法性能嚴(yán)重下降。

2.4 協(xié)方差矩陣重構(gòu)法

該算法的主要思想是通過(guò)矩陣重構(gòu)剔除協(xié)方差矩陣中期望信號(hào)，得到干擾加噪聲協(xié)方差矩陣估計(jì)值，其可以通過(guò)空間譜積分得到，即

(15)

(16)

(17)

3 本文算法

3.1 導(dǎo)向矢量估計(jì)

式(16)約束優(yōu)化問(wèn)題是M維搜索優(yōu)化問(wèn)題，算法復(fù)雜度較高，不利于工程應(yīng)用。本文提出了最小化期望信號(hào)空間倒譜，利用多項(xiàng)式擬合得到期望信號(hào)的導(dǎo)向矢量。算法模型可描述為

(18)

其中Θ=[θ1,θ2]屬于期望信號(hào)的預(yù)估計(jì)方向區(qū)域，Θ可以通過(guò)常規(guī)Capon算法在期望信號(hào)來(lái)波方向波束圖的3 dB寬度來(lái)確定。

式(18)是一維約束優(yōu)化問(wèn)題，可利用多項(xiàng)式擬合思想求解該問(wèn)題[16]，即

(19)

其中Q為多項(xiàng)式階數(shù)，ci為多項(xiàng)式系數(shù)。若定義向量c=[c0,c1,…,cQ-1]T， ψ=[1,θ1,…,θQ-1]T，則式(19)可以通過(guò)最小二乘算法求解，即

(20)

易得最優(yōu)解為

(21)

其中

(22)

(23)

(24)

需要說(shuō)明的是，當(dāng)信號(hào)來(lái)波方向估計(jì)存在失配時(shí)，上述方法可以獲得準(zhǔn)確的導(dǎo)向矢量；若存在其他陣列誤差，如陣列幅相誤差、位置誤差、陣元互耦等。雖然沒(méi)法獲得準(zhǔn)確的導(dǎo)向矢量，但估計(jì)的非“真實(shí)”導(dǎo)向矢量能夠獲得最大輸出信干噪比。

3.2 干擾加噪聲協(xié)方差矩陣估計(jì)

期望信號(hào)的功率可用下式估計(jì)得到

(25)

(26)

(27)

(28)

綜上所述，本文算法步驟歸納如下：

4 仿真實(shí)驗(yàn)

考慮10元均勻線陣，陣元間距為半波長(zhǎng)；假設(shè)空間存在1個(gè)目標(biāo)信號(hào)和2個(gè)不相關(guān)的干擾信號(hào)，其中目標(biāo)的來(lái)波方向?yàn)?°，信噪比為10 dB；2個(gè)干擾信號(hào)的來(lái)波方向分別為-25° 和45°，干噪比均為30 dB。采樣快拍數(shù)為100，陣元各通道噪聲均為復(fù)高斯白噪聲。

為了驗(yàn)證本文算法的有效性，分別對(duì)固定對(duì)角加載算法、特征空間法算法、最差性能最優(yōu)算法、文獻(xiàn)[17,21]算法以及本文算法進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，其中對(duì)角加載算法對(duì)角加載量取10倍白噪聲功率；最差性能最優(yōu)算法參數(shù)設(shè)置與文獻(xiàn)[10]相同。

仿真1 存在指向誤差時(shí)穩(wěn)健性能

假定來(lái)波方向?yàn)?°，即來(lái)波方向誤差Δθ=5°。圖1為存在指向誤差時(shí)各算法輸出SINR隨輸入SNR變化曲線。圖2為存在指向誤差時(shí)各算法輸出SINR隨快拍數(shù)變化曲線(輸入SNR為10 dB)。

圖1 存在指向誤差時(shí)SINR隨SNR變化曲線

由圖1可知，當(dāng)輸入SNR較小時(shí)，除了特征空間法外，其他穩(wěn)健算法輸出SINR性能大致相同；隨著輸入SNR逐漸增大時(shí)，基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)類的穩(wěn)健算法性能明顯優(yōu)于其他算法。這說(shuō)明當(dāng)陣列模型準(zhǔn)確已知時(shí)，通過(guò)重構(gòu)干擾加噪聲的協(xié)方差矩陣，消除了期望信號(hào)成分，有效避免的各類誤差引起的信號(hào)自相消，此外，通過(guò)對(duì)目標(biāo)信號(hào)導(dǎo)向矢量有效估計(jì)，保證了目標(biāo)信號(hào)波束增益無(wú)損失，進(jìn)一步提高了算法穩(wěn)健性能。

圖2 存在指向誤差時(shí)SINR隨快拍數(shù)N變化曲線

由圖2可知，基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)類穩(wěn)健算法的SINR能夠較快收斂于最優(yōu)值SINR，本文算法收斂速度略慢于文獻(xiàn)[17,21]算法，這主要是因?yàn)楸疚乃惴ǖ膮f(xié)方差矩陣重構(gòu)依賴于期望信號(hào)導(dǎo)向矢量估計(jì)，而導(dǎo)向矢量是通過(guò)多項(xiàng)式擬合求得，當(dāng)快拍數(shù)較小時(shí)，存在一定擬合誤差，因此算法的性能有一定的損失，但當(dāng)快拍數(shù)大于80時(shí)，算法性能基本收斂到接近最優(yōu)值。

需要說(shuō)明的是，本文算法與文獻(xiàn)[17,21]算法性能一致，但協(xié)方差矩陣無(wú)需積分求解，且沒(méi)有通過(guò)優(yōu)化算法求解導(dǎo)向矢量，而是利用多項(xiàng)式擬合思想求解來(lái)波方向，因此算法復(fù)雜度較小。

仿真2 存在幅相誤差時(shí)穩(wěn)健性能

考慮陣列是未精確校準(zhǔn)的，陣列通道的幅度和相位均存在一定誤差，其誤差均服從高斯分布，其中幅度誤差服從CN(1,0.052)，相位誤差服從CN(0,(0.025π)2)，符號(hào)CN(a,σ2)表示隨機(jī)變量服從均值為a、方差為σ2的高斯分布。期望信號(hào)來(lái)波方向準(zhǔn)確已知，其他仿真參數(shù)不變。

圖3、圖4分別為陣列存在幅相誤差時(shí)各算法SINR隨SNR變化曲線、SINR隨快拍數(shù)變化曲線。

由圖3可知，當(dāng)SNR小于0 dB，本文算法與對(duì)角加載、最差性能最優(yōu)法性能相當(dāng)，但當(dāng)SNR大于0 dB，本文算法要優(yōu)于其他類算法，文獻(xiàn)[17]算法性能依賴于陣列模型準(zhǔn)確已知，若陣列存在幅相誤差、互耦、陣列位置誤差等算法性能下降。而文獻(xiàn)[21]提出了基于導(dǎo)向矢量不確定集的修正重構(gòu)算法，雖然一定程度上改善了算法性能，但需要已知導(dǎo)向矢量誤差模值，若該系統(tǒng)參數(shù)設(shè)置不合理，算法性能將受到影響。

圖3 存在幅相誤差時(shí)SINR隨SNR變化曲線

圖4 存在幅相誤差時(shí)SINR隨快拍數(shù)N變化曲線

由圖4可知，本文算法在快拍數(shù)接近100時(shí)，算法性能漸進(jìn)收斂于最優(yōu)值，而其他類穩(wěn)健算法均無(wú)法收斂到最優(yōu)值。

仿真3 導(dǎo)向矢量存在隨機(jī)誤差時(shí)穩(wěn)健性能

圖5 導(dǎo)向矢量存在隨機(jī)誤差時(shí)SINR隨SNR變化曲線

圖6 導(dǎo)向矢量存在隨機(jī)誤差時(shí)SINR隨快拍數(shù)N變化曲線

由圖5、圖6可知，在低信噪比時(shí)，本文算法與最差性能最優(yōu)算法接近，而在高信噪比時(shí)，本文算法的優(yōu)勢(shì)逐步顯現(xiàn)，即使導(dǎo)向矢量存在隨機(jī)誤差，算法性能仍然較優(yōu)。

仿真實(shí)驗(yàn)4 導(dǎo)向矢量存在相干局部散射時(shí)穩(wěn)健性能

從圖7、圖8可知基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)算法的性能明顯優(yōu)于其他算法，隨著輸出SNR增大，該類算法的干擾抑制能力優(yōu)勢(shì)更加明顯，SINR能夠較快收斂于最優(yōu)值，且本文算法性能略優(yōu)于文獻(xiàn)[17,21]的重構(gòu)穩(wěn)健算法。

綜上所述：本文提出基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)的穩(wěn)健算法，在導(dǎo)向矢量存在任意失配時(shí)，陣列輸出SINR均能夠收斂于最優(yōu)值，且算法復(fù)雜度較低，便于工程實(shí)現(xiàn)。

圖7 存在相干散射時(shí)SINR隨SNR變化曲線

圖8 存在相干散射時(shí)SINR隨快拍數(shù)N變化曲線

5 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)標(biāo)準(zhǔn)Capon波束形成器存在陣列模型失配時(shí)性能下降的問(wèn)題，本文提出了一種基于干擾加噪聲協(xié)方差矩陣重構(gòu)的穩(wěn)健波束形成算法。該算法利用多項(xiàng)式擬合方法得到導(dǎo)向矢量估計(jì)，再根據(jù)數(shù)據(jù)協(xié)方差矩陣特征分解重構(gòu)得到的干擾加噪聲協(xié)方差矩陣。該算法的主要優(yōu)點(diǎn)：無(wú)需陣列失配程度的先驗(yàn)信息或經(jīng)驗(yàn)參數(shù)的設(shè)置，且適合于任意陣列失配情況；當(dāng)存在導(dǎo)向矢量誤差和局部散射等情況時(shí)，仍能保證在較大信噪比范圍內(nèi)SINR性能均接近理論最優(yōu)；算法求解無(wú)需任何優(yōu)化算法，減小了計(jì)算量，有利于工程實(shí)現(xiàn)。

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(責(zé)任編輯 周江川)

Robust Adaptive Beamforming AlgorithmBased Interference-Plus-Noise Covariance Matrix Reconstruction

CHEN Ming-jian, LONG Guo-qing, HUANG Zhong-rui

(Electronic Engineering Institute, Hefei 230037, China)

A novel robust algorithm was proposed. In contrast to previous works, the true desired signal steering vector was estimated by solving an optimization problem, and a computationally efficient steering vector estimator has been proposed by polynomial function. The interference-plus noise covariance matrix can be reconstruction by subtracting the desired signal component from the sample covariance matrix. However, when the desired signal presented in the training data is weak, the signal subspace will suffer from the high probability of subspace swap, and as a result, the desired power associated with desired signal will deviate from its true value severely. To prevent the absence of the desired signal steering vector in the estimated signal-plus-interferences subspace, we defined the modified interference-plus noise covariance matrix. The main advantage is that the proposed algorithm is robust against unknown arbitrary type mismatches. Theoretical analysis and simulation results demonstrate the effectiveness and robustness of the proposed algorithm.

robust adaptive beamforming; covariance matrix reconstruction; steering vector estimation; signal to interference plus noise ratio

2016-11-18；

2016-12-15

安徽省自然科學(xué)

基金項(xiàng)目(1608085QF140)

陳明建(1983—),男,本刊審稿專家，博士，講師，主要從事光學(xué)工程與電子技術(shù)研究。

10.11809/scbgxb2017.04.001

陳明建,龍國(guó)慶,黃中瑞.基于協(xié)方差矩陣重構(gòu)穩(wěn)健波束形成算法[J].兵器裝備工程學(xué)報(bào)，2017(4):1-7.

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