函數(shù)可積性教學(xué)的改進(jìn)策略

韓新方，馬 麗*

（1.海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 海口 571158；2.海南省數(shù)學(xué)研究中心 海南師范大學(xué)，海南 ?？?571158）

函數(shù)可積性教學(xué)的改進(jìn)策略

韓新方1，2，馬 麗1，2*

（1.海南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，海南 ?？?571158；2.海南省數(shù)學(xué)研究中心 海南師范大學(xué)，海南 ?？?571158）

文章對(duì)不同數(shù)學(xué)分析教材中函數(shù)可積性內(nèi)容的編排及若干定理的證明進(jìn)行了比較分析，給出了新的教學(xué)內(nèi)容安排.證明了只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)在閉區(qū)間上是可積的.

可積性；教學(xué)安排；新證明

很多《數(shù)學(xué)分析》教材[1-3]在給出函數(shù)可積的定義后，對(duì)隨后內(nèi)容分如下三部分?jǐn)⑹觯海╥）函數(shù)可積的充分必要條件；（ii）幾類可積函數(shù)；（iii）可積函數(shù)的性質(zhì).其中（i）為講解可積函數(shù)類以及可積函數(shù)的性質(zhì)奠定了基礎(chǔ).許多《數(shù)學(xué)分析》教材關(guān)于函數(shù)可積性的論述是在達(dá)布和的基礎(chǔ)上給出函數(shù)可積的充要條件[1-12]，也有教材從函數(shù)可積的定義出發(fā)直接證明函數(shù)可積的柯西準(zhǔn)則[13].這些教材給出函數(shù)可積的定義以后，接著安排函數(shù)可積充要條件的學(xué)習(xí)和證明，在邏輯上是合理的，數(shù)學(xué)素養(yǎng)高的同學(xué)能較快地理解函數(shù)可積是什么以及如何判定函數(shù)可積.但是把函數(shù)可積定義為某種形式的極限存在，相當(dāng)于利用高等數(shù)學(xué)中極限概念定義一個(gè)新的概念，會(huì)使數(shù)學(xué)素養(yǎng)不夠或者基礎(chǔ)不扎實(shí)的同學(xué)有些茫然.而接下來講解達(dá)布上和、達(dá)布下和以及柯西判斷準(zhǔn)則等復(fù)雜而抽象的內(nèi)容，更使這一部分同學(xué)學(xué)起來感覺吃力.本文探討了一種新的教學(xué)安排，希望能夠分散教學(xué)內(nèi)容中的難點(diǎn)，從而降低數(shù)學(xué)分析初學(xué)者的認(rèn)知難度.關(guān)于函數(shù)的可積性有如下兩個(gè)基本定理：定理I，連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上可積；定理II，只有有限個(gè)間斷點(diǎn)的有界函數(shù)在閉區(qū)間上可積.本文將在給出新的函數(shù)可積性的教學(xué)安排之后給出定理II的一個(gè)新證明.

1 幾種教材關(guān)于定理I、定理II證明的比較

華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系主編的《數(shù)學(xué)分析》[10]以及襲懷云等主編的《數(shù)學(xué)分析》[9]（其他參看[1-8，11]）對(duì)第一個(gè)基本定理（定理I）的表述為：

利用連續(xù)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]一致連續(xù)及定積分的定義容易得到函數(shù) f(x)在[a,b]上可積.李忠等主編的《數(shù)學(xué)分析教程》[13]運(yùn)用達(dá)布上和與達(dá)布下和的性質(zhì)證明了定理I：

定理2 設(shè)函數(shù)y=f(x)在[a,b]上連續(xù)，則y=f(x)在[a,b]上黎曼可積.

因?yàn)榻滩腫13]在此定理之前沒有敘述可積的充要條件，所以對(duì)此定理的證明回到定義，即證明函數(shù) f(x)在閉區(qū)間[a,b]上的黎曼和的極限存在.運(yùn)用達(dá)布上和與達(dá)布下和的性質(zhì)，得出閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]中的上積分和下積分相等，且都等于黎曼和的極限.

在前一種類型的教材的教學(xué)安排中，連續(xù)函數(shù)可積等內(nèi)容是放在講解函數(shù)可積的充要條件之后的，證明思路也大同小異.數(shù)學(xué)基礎(chǔ)扎實(shí)的同學(xué)容易接受這樣的教學(xué)安排.后一種類型的教材，拋開了振幅的概念，引入了達(dá)布上、達(dá)布下和，但是跟前一種利用振幅無限小的證法沒有本質(zhì)上的區(qū)別，相比于前一種證法反而增加了（達(dá)布上和和達(dá)布下和等）新的概念，無形中也增加了學(xué)生的負(fù)擔(dān).

對(duì)于第二個(gè)基本定理（定理II），劉玉璉主編的《數(shù)學(xué)分析》[6]證明了如下定理：

定理3 如果函數(shù)f(x)在[a,b]上有界，且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，則函數(shù) f(x)在[a,b]上可積.

先假設(shè) f(x)在[a,b]上只有一個(gè)不連續(xù)點(diǎn)c(a＜b＜c).取c的任意ε小鄰域內(nèi)，利用函數(shù)的有界性，及f(x)在其余區(qū)間上的任意部分區(qū)間Δxi上的振幅wi能一致的小于ε，于是有故 f(x)在[a,b]上可積.對(duì)于有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)的情況，證法類似.

陳傳璋等人主編的《數(shù)學(xué)分析》[1]也可參看[3，5，9]）先給出了函數(shù)可積的若干個(gè)充要條件，進(jìn)而運(yùn)用其中一個(gè)充要條件證明了定理II：

定理4 只有有限個(gè)第一類不連續(xù)點(diǎn)的有界函數(shù)是可積的.

證明中利用的充要條件為：函數(shù) f(x)在[a,b]上可積的充要條件是任給正數(shù)ε,η，總存在某一個(gè)分割T，使得屬于T的所有小區(qū)間中，對(duì)應(yīng)于振幅wi≥ε的那些小區(qū)間Δxi的總長∑TΔxi＜η.

2 關(guān)于函數(shù)可積性的新教學(xué)安排及定理II的新證明

本文對(duì)幾種教材進(jìn)行分析之后發(fā)現(xiàn)：部分教材[10]給出了可積的充要條件，卻沒給出證明（在教材后面章節(jié)中進(jìn)行補(bǔ)敘或留給學(xué)生自己證明）.這樣的安排使得學(xué)生對(duì)可積充要條件的理解不夠深入；還有一部分教材[1]把若干可積的充要條件放到一起講，這雖然比較適合研究型的學(xué)生，但對(duì)于剛開始接觸數(shù)學(xué)分析的大多數(shù)本科生來說，這些證明太繁瑣，理解起來相對(duì)吃力.另外，大部分教材關(guān)于定理II只證明了可積性，沒給出明顯的積分值.

基于上述考慮，本文給出如下新的教學(xué)安排：首先給出函數(shù)可積的定義，接著講可積函數(shù)的基本性質(zhì)[13]，再講定理I和定理II的證明.有了這些基本的認(rèn)識(shí)之后，再安排講解函數(shù)可積的充要條件等內(nèi)容，且可以根據(jù)不同生源情況適當(dāng)取舍，安排不同深度和廣度的講解.下面給出定理II的一個(gè)新證明.

定理5 如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)，即 f(x)在[a,b]上有界且逐段連續(xù)，則在由間斷點(diǎn)分割[a,b]所得的各個(gè)小區(qū)間上 f(x)可積，且f(x)在[a,b]上的積分等于 f(x)在以上每個(gè)小區(qū)間上積分的和.

證明 設(shè)f(x)在[a,b]上有n個(gè)間斷點(diǎn){xi,i=1,…,n}，下面分兩種情況來證.

（1）區(qū)間端點(diǎn)不是間斷點(diǎn)的情況.

假設(shè)a=x0＜x1＜…＜xn＜xn+1=b，構(gòu)造如下函數(shù)列{fi(x),i=0,1,…,n}

其中，i=0,1,…,n.則fi(x)在區(qū)間[xi,xi+1]上連續(xù)，所以fi(x)在區(qū)間[xi,xi+1]上可積.令

設(shè)存在一個(gè)常數(shù)M，使得?x∈[a,b]有|f(x)|≤M.對(duì)任意[a,b]上的分割T來說，f(x)在區(qū)間[a,b]上的黎曼和為這里Δxk=xk+1-xk,ξk是區(qū)間[xk,xk+1]上的一個(gè)點(diǎn).由積分的定義、極限和無窮小的關(guān)系（見[6，13]等）知，（其中是分割T和區(qū)間[xi,xi+1]相交的部分，ε為任意小的常數(shù)）.將積分和∑Tf(ξk)Δxk分為不包含間斷點(diǎn)的積分和與包含間斷點(diǎn)的積分和兩部分，于是有

（2）當(dāng)區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)有一個(gè)為間斷點(diǎn)或者兩個(gè)都是間斷點(diǎn)時(shí)，證明過程與（1）類似.

[1]陳傳璋，金福臨，朱學(xué)炎，等.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，1983.

[2]陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，1999.

[3]李成章，黃玉民.數(shù)學(xué)分析[M].北京：科學(xué)出版社，2004.

[4]南京師范大學(xué).數(shù)學(xué)分析選論[M].南京：江蘇教育出版社，1988.

[5]許紹溥，姜東平，末國柱，等.數(shù)學(xué)分析教程[M].南京：南京大學(xué)出版社，1990.

[6]劉玉璉.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，1994.

[7]華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].武漢：華中師范大學(xué)出版社，2000.

[8]解可新，劉九蘭，邱忠文.分析與近世代數(shù)基礎(chǔ)[M].天津：天津大學(xué)出版社，2000.

[9]龔懷云，劉躍武，陳紅斌，等.數(shù)學(xué)分析[M].西安：西安交通大學(xué)出版社，2000.

[10]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社，2001.

[11]周民強(qiáng).數(shù)學(xué)分析[M].上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，2003.

[12]劉玉璉，傅沛仁，林玎，等.數(shù)學(xué)分析講義[M].北京：高等教育出版社，2003.

[13]李忠，方麗萍.數(shù)學(xué)分析教程[M].北京:高等教育出版社，2008.

[14]高英敏.關(guān)于振幅的等價(jià)定義[J].青海師專學(xué)報(bào)（教育科學(xué)版），2003，23（6）：15-16.

責(zé)任編輯：吳興華

The Improvement Strategy of Functional Integrality Teaching

HAN Xinfang1，2，MA Li1，2＊
（1.School of Mathematics and Statistics，Hainan Normal University，Haikou571158，China；2.Hainan Center for Mathematical Research，Hainan Normal University，Haikou571158，China）

In this article,we compare the arrangements of the contents of integrability of functions on different versions of mathematical analysis and propose a new teaching arrangement on these contents.It also gives a new proof of the following theorem:bounded functions with finite discontinuous points are integrable on closed intervals.

integrability；teaching arrangement；new proof

G 420；O 172.2

A

1674-4942（2017）01-0105-03

2016-09-21

國家自然科學(xué)基金（11326169）；海南省高等學(xué)校教育教學(xué)改革研究項(xiàng)目（HNJG2014-22）

*通訊作者：馬麗，副教授，E-mail：malihnsd@163.com

10.12051/j.issn.1674-4942.2017.01.017