關(guān)于點(diǎn)電荷所形成的電場和電勢問題

摘要：對于在學(xué)習(xí)過程中常遇到的點(diǎn)電荷所形成的電場和電勢的問題，文章從單個(gè)點(diǎn)電荷所形成的場強(qiáng)或電勢入手，運(yùn)用矢量或標(biāo)量相加法則，總結(jié)了電場線、等勢面圖像的規(guī)律，并將這些規(guī)律推廣到了多個(gè)點(diǎn)電荷情形。對于較復(fù)雜的由多個(gè)點(diǎn)電荷形成的電場問題，可以先判斷單個(gè)電荷所形成的電場和電勢，再根據(jù)公式計(jì)算總場強(qiáng)或總電勢。對于兩電荷量不同的點(diǎn)電荷連線中垂線上的某點(diǎn)而言，總場強(qiáng)方向?qū)⒊螂姾闪枯^多的電荷形成的場強(qiáng)方向偏轉(zhuǎn)。

關(guān)鍵詞：點(diǎn)電荷；電場；電勢；矢量；標(biāo)量

作者簡介：王斯加（1998-），女，杭州學(xué)軍中學(xué)高三學(xué)生。

在學(xué)習(xí)點(diǎn)電荷所形成的電場和電勢時(shí)，老師常常會介紹一些規(guī)律，比如兩個(gè)同種點(diǎn)電荷所形成的電場中，從兩電荷連線的中點(diǎn)沿該連線中垂線向外場強(qiáng)先增大后減??；若是異種點(diǎn)電荷則向外逐漸減小[1]等。的確，這些規(guī)律給解題帶來了很大的幫助，但要想把它們記清楚，不混淆，卻十分困難，一不留神就會“張冠李戴”。因此，若能將其背后的原理真正理解清楚，再記起來便會方便許多。

為了真正弄明白點(diǎn)電荷所形成的電場和電勢的特點(diǎn)和規(guī)律，可以從簡單的定義入手，對上述規(guī)律加以解釋。需要用到這樣兩個(gè)基本公式：

（1）

（2）

先考慮最簡單的單個(gè)點(diǎn)電荷所形成的電場。

一.單電荷情況

由式（1）可知，從正電荷出發(fā)向外，電場強(qiáng)度逐漸減小。這也就印證了“電場線越密集的地方電場強(qiáng)度越大”。

由式（2）可知，到點(diǎn)電荷距離相等的點(diǎn)電勢相等。所以在單個(gè)點(diǎn)電荷所形成的電場中，等勢面是以該點(diǎn)電荷為圓心的同心圓。

負(fù)電荷則類似，只是方向相反。

二.兩個(gè)電荷情況

1.兩個(gè)電荷所帶電荷量相等

為方便說明，設(shè)兩點(diǎn)電荷帶電量均為Q。

Ⅰ.兩個(gè)正電荷

（1）電場強(qiáng)度：

對于該電場內(nèi)某點(diǎn)形成的場強(qiáng)問題，可以用“矢量疊加”的原理解決，即把某點(diǎn)的總電場視為左邊電荷所形成的電場和右邊電荷所形成的電場的矢量和，如圖3：

由圖可見：

從兩電荷連線的中點(diǎn)沿該連線中垂線向外，場強(qiáng)先增大后減??；中點(diǎn)處和無限遠(yuǎn)處場強(qiáng)為零。

（2）電勢：

與在探究場強(qiáng)時(shí)方法類似，將某點(diǎn)的電勢視為兩個(gè)點(diǎn)電荷所形成的電勢之和。而電勢為標(biāo)量，因此只需進(jìn)行簡單的代數(shù)相加即可。

若探究點(diǎn)在兩點(diǎn)電荷連線中垂線上，則有：

得到以下結(jié)論：

在兩點(diǎn)電荷連線的中垂線上，中點(diǎn)電勢最高，沿該中垂線向外電勢逐漸減小至0.

若探究點(diǎn)在兩點(diǎn)電荷連線上，設(shè)探究點(diǎn)到左邊電荷的距離為x，則到右邊電荷的距離為2r-x，則有：

則由相應(yīng)數(shù)學(xué)知識可知：當(dāng)x=r時(shí)， 取最大值2kQ/r.

即在兩點(diǎn)電荷連線上，中點(diǎn)電勢最低。

同樣道理，對于兩個(gè)相等負(fù)電荷我們可以得出相同結(jié)論。

（2）電勢：

對于兩點(diǎn)電荷連線中垂線上的某點(diǎn)，左右兩點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電勢相互抵消，因此該中垂線上各處電勢均為0，為一條等勢線。

2.兩個(gè)正電荷所帶電荷量不相等

Ⅰ.兩個(gè)正電荷

Ⅱ.兩個(gè)負(fù)電荷或一正一負(fù)電荷

若兩點(diǎn)電荷為兩個(gè)負(fù)電荷或一正一負(fù)，我們也可以得到類似的結(jié)論。

利用該結(jié)論，我們可以解決很多有關(guān)問題：

對于如圖-10所示的電場并非關(guān)于中垂線對稱，似乎很難判斷a、b兩點(diǎn)荷所帶電量的大小。而由以上探究可知，由于電場線由正電荷出發(fā)終止于負(fù)電荷或無窮遠(yuǎn)處，知此兩電荷必為異種電荷；又因?yàn)樵趦牲c(diǎn)電荷連線中垂線上，場強(qiáng)方向向右邊電荷的場強(qiáng)方向偏轉(zhuǎn)，可知a的電荷量小于b的電荷量。

下面把以上所有的探究結(jié)論運(yùn)用到實(shí)際解題中去：

【例】（15江蘇）兩個(gè)相同的負(fù)電荷和一個(gè)正電荷附近的電場線分布如圖所示，c是兩負(fù)電荷連線的中點(diǎn)，d點(diǎn)在正電荷的正上方，c、d到正電荷的距離相等，則：（ ）[2]

A.a點(diǎn)的電場強(qiáng)度比b點(diǎn)的大

B.a點(diǎn)的電勢比b點(diǎn)的高

C.c點(diǎn)的電場強(qiáng)度比d點(diǎn)的大

D.c點(diǎn)的電勢比d點(diǎn)的低

【答案】ACD

【解析】

A項(xiàng)：本項(xiàng)的判斷是關(guān)于點(diǎn)電荷所形成的電場強(qiáng)度的判斷。直接觀察圖像可知，a點(diǎn)電場線要比b點(diǎn)密集，因此A項(xiàng)正確。

B項(xiàng)：本項(xiàng)的判斷是關(guān)于點(diǎn)電荷所形成的電場電勢高低的判斷。由于電勢沿電場線方向逐漸降低，因此B項(xiàng)錯(cuò)誤。

C項(xiàng)：c點(diǎn)處總電場強(qiáng)度可以視為三個(gè)點(diǎn)電荷分別產(chǎn)生的場強(qiáng)的矢量和。對于c點(diǎn)而言，兩個(gè)負(fù)電荷在c點(diǎn)處產(chǎn)生的電場強(qiáng)度大小相等方向相反，因此總場強(qiáng)等效為正電荷產(chǎn)生的場強(qiáng)，所以Ec=kQ正/r32，方向豎直向下。

而對于d點(diǎn)而言，兩個(gè)負(fù)電荷在水平方向上產(chǎn)生的電場強(qiáng)度大小相等方向相反，而在豎直方向上產(chǎn)生的總電場強(qiáng)度方向豎直向下，大小為E負(fù)=2（KQ負(fù)/r22）*（2r3/r2）；正電荷在豎直方向上產(chǎn)生的電場強(qiáng)度方向豎直向上，大小為E正=kQ正/r32，所以d點(diǎn)總電場強(qiáng)度為Ed=E正 -E負(fù)= kQ正/r32-2（KQ負(fù)/r22）*（2r3/r2）

D項(xiàng)：電勢為標(biāo)量，因此直接計(jì)算數(shù)值即可，不用考慮方向。

對于c點(diǎn)而言：φc=kQ正/r3-2 kQ負(fù)/r1

對于d點(diǎn)而言：φd=kQ正/r3-2 kQ負(fù)/r2

又因?yàn)閞2>r1，所以φd>φc，即D項(xiàng)正確。

總而言之，對于較復(fù)雜的由多個(gè)點(diǎn)電荷形成的電場，可以先利用相關(guān)公式計(jì)算單個(gè)點(diǎn)電荷所形成的場強(qiáng)或電勢。對于電場，運(yùn)用矢量相加法則；對于電勢，運(yùn)用標(biāo)量相加法則，算出多個(gè)點(diǎn)荷的總場強(qiáng)或總電勢。特別地，對于兩電荷量不同的點(diǎn)電荷連線中垂線上的某點(diǎn)而言，總場強(qiáng)方向?qū)⒊螂姾闪枯^多的電荷形成的場強(qiáng)方向偏轉(zhuǎn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]曲一線.五年高考三年模擬：B版.高考物理[M].北京：教育科學(xué)出版社.2012.97

[2]壹柒教育.8.兩個(gè)相同的負(fù)電荷和一個(gè)正電荷附近的電場線分布…. [OL].[2016-11-13].http：//www.17jiaoyu.com/stzx/gzwl/gkmn2015/201506/20150611144407_136249.html

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