線性代數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用意識(shí)培養(yǎng)

摘 要： 線性代數(shù)在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、工程技術(shù)等領(lǐng)域發(fā)揮著愈來愈重要的作用。一直以來線性代數(shù)教學(xué)大多以傳授基本理論知識(shí)為主，教學(xué)中理論聯(lián)系實(shí)際相對(duì)薄弱。本文結(jié)合實(shí)例，論述了在線性代數(shù)課程教學(xué)中滲透應(yīng)用意識(shí)、培養(yǎng)創(chuàng)新能力的方法。

關(guān)鍵詞： 線性代數(shù)；應(yīng)用意識(shí)；教學(xué)實(shí)例

中圖分類號(hào)： O15；G642.4 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-8153（2016）06-0077-04

美國著名教材《線性代數(shù)及其應(yīng)用》作者David Lay說：“線性代數(shù)就是一門語言”[1]?！叭绻皇煜ぞ€性代數(shù)的概念，像線性性質(zhì)、向量、線性空間、矩陣等等，要去學(xué)習(xí)自然科學(xué)，現(xiàn)在看來和文盲差不多，甚至可能學(xué)習(xí)社會(huì)科學(xué)也是如此”[2]。線性代數(shù)是高校理工類、經(jīng)管類等專業(yè)必修的一門重要基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程，在自然科學(xué)，社會(huì)科學(xué)、工程技術(shù)等領(lǐng)域發(fā)揮著愈來愈重要的作用。

一、線性代數(shù)教材和應(yīng)用性教學(xué)

線性代數(shù)課程多年來教學(xué)內(nèi)容以傳授嚴(yán)格的理論知識(shí)為主，理論聯(lián)系實(shí)際相對(duì)薄弱。現(xiàn)在各類高校廣泛使用同濟(jì)大學(xué)的《線性代數(shù)》（第五版）[3]，該教材結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)、邏輯清晰、敘述詳細(xì)。唯顯不足的是限于教學(xué)時(shí)數(shù)（40左右）和篇幅，雖然所選用的例題、習(xí)題十分典型，但涉及應(yīng)用性的例題、習(xí)題屈指可數(shù)。國內(nèi)其他教材大致如此，本校自編教材也是如此[4]。David Lay編寫的《線性代數(shù)及其應(yīng)用》在講授基礎(chǔ)理論的同時(shí)突出了應(yīng)用（正如書名），全書各類應(yīng)用性例題共51個(gè)，練習(xí)題196個(gè)，說明了線性代數(shù)可以用于工程技術(shù)、計(jì)算機(jī)、數(shù)學(xué)、物理、生物、經(jīng)濟(jì)和統(tǒng)計(jì)等學(xué)科，應(yīng)用性特色非常鮮明，表明了課程非常重視理論應(yīng)用，而且突出了應(yīng)用的價(jià)值。

二、明確指導(dǎo)思想，樹立應(yīng)用意識(shí)

在科學(xué)技術(shù)、經(jīng)濟(jì)管理等領(lǐng)域，我們不僅要研究兩個(gè)變量之間的關(guān)系，還要進(jìn)一步研究多個(gè)變量之間的關(guān)系。各種實(shí)際問題中多變量關(guān)系在一定的條件下可以轉(zhuǎn)化為線性關(guān)系，線性代數(shù)正是解決線性問題的強(qiáng)有力手段，是解決相關(guān)實(shí)際問題的重要數(shù)學(xué)模型（或工具），另外學(xué)習(xí)線性代數(shù)對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練、數(shù)學(xué)方法的掌握和數(shù)學(xué)應(yīng)用能力的提升都有重要的意義。因此，線性代數(shù)不僅是一種工具，而且是一種思維模式；不僅是一種知識(shí)，而且是一種科技素養(yǎng)。

我們在教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)明確教學(xué)指導(dǎo)思想，不僅教學(xué)生基礎(chǔ)理論，更要引導(dǎo)學(xué)生把學(xué)到的理論知識(shí)進(jìn)行應(yīng)用，解決各類相關(guān)具體問題。但是由于教學(xué)時(shí)數(shù)的限制，課堂上不可能有大量的時(shí)間來解決各種應(yīng)用問題，因此必須做好教學(xué)總體設(shè)計(jì)，依據(jù)講授的內(nèi)容，適當(dāng)介紹一些典型問題及解決的思路和方法，通過課后習(xí)題和課外活動(dòng)，把課堂所學(xué)理論拓展到教學(xué)實(shí)踐中，深化理論學(xué)習(xí)的成果。

三、注重教學(xué)設(shè)計(jì)，落實(shí)教學(xué)要求

1. 聯(lián)系線性代數(shù)的實(shí)際背景

很多數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生其實(shí)都有深厚的實(shí)際背景，這些內(nèi)容在教材中很少體現(xiàn)出來。在引入新的概念時(shí)適當(dāng)?shù)貫閷W(xué)生提供一些線性代數(shù)概念和方法產(chǎn)生的實(shí)際背景，不僅對(duì)概念的理解有幫助，而且對(duì)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣也有很大的促進(jìn)作用，對(duì)掌握相關(guān)內(nèi)容也有很大的幫助。如矩陣的概念，矩陣的本質(zhì)就是一個(gè)數(shù)表，那么有數(shù)表的地方就有矩陣，矩陣的廣泛應(yīng)用自然就彰顯出來了。如果把矩陣看作向量組，線性方程組求解、向量的線性相關(guān)性、向量空間等知識(shí)就相互聯(lián)系起來了，應(yīng)用的前景自然顯現(xiàn)出來。對(duì)于非零向量x，若滿足Ax=？姿x，則矩陣對(duì)向量的運(yùn)算（變換）就簡化為某個(gè)數(shù)與向量的乘積（向量的伸縮），特征值的作用就十分重要了。如此這般，不一一列舉。

2. 引入實(shí)際應(yīng)用案例

教學(xué)過程中要善于把數(shù)學(xué)的思想和觀念結(jié)合具體實(shí)例的分析，滲透應(yīng)用意識(shí)，分析和解決一些實(shí)際問題，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，提高數(shù)學(xué)能力和素養(yǎng)。

結(jié)合矩陣的乘法運(yùn)算和矩陣的逆運(yùn)算，介紹信息傳輸加密、解密的實(shí)例；結(jié)合線性方程組的求解的案例更多，如石油勘探中勘探設(shè)備獲得的大量數(shù)據(jù)所滿足成百上千個(gè)方程的線性方程組的求解；在國民經(jīng)濟(jì)中為了預(yù)測經(jīng)濟(jì)形勢，利用投入產(chǎn)出經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)模型，也往往歸結(jié)為求解一個(gè)線性方程組；餐飲業(yè)中配制營養(yǎng)套餐或減肥食譜也需要解線性方程組；天氣和氣象預(yù)報(bào)，根據(jù)諸多因素最后歸結(jié)為一個(gè)線性方程組的求解；在衛(wèi)星遙感圖像處理中，衛(wèi)星利用三種可見光和四種紅外光進(jìn)行觀測，可以獲得每一個(gè)區(qū)域七張遙感圖像，由于每一個(gè)像素對(duì)應(yīng)七個(gè)數(shù)據(jù)，就形成一個(gè)多元的向量組，在其中合成并求取主因素的問題，就與特征值問題有關(guān)。當(dāng)然，比較復(fù)雜的線性問題的求解都需要借助計(jì)算機(jī)軟件來實(shí)現(xiàn)。

案例1 方陣乘冪的應(yīng)用

某城鎮(zhèn)有10萬人具有法定的工作年齡，目前有8萬人找到了工作，2萬人失業(yè)。每年有工作的人中10%將失去工作而失業(yè)人中的60%將找到工作，假定該鎮(zhèn)的工作適齡人口在若干年內(nèi)保持不變，問3年后該鎮(zhèn)工作適齡人口中有多少人失業(yè)？

xn，yn分別表示該鎮(zhèn)n年后就業(yè)和失業(yè)人口數(shù)，得到如下的方程組

xn+1=0.9xn+0.6yn，yn+1=0.1xn+0.4yn令xn+1yn+1=■xnxn，

記A=■，則x3y3=Ax2y2=A2x1y1=A3x0y0

其中x0x0=8000020000。A3=■3=■，故

x3y3=■8000020000=8556014440

即3年后失業(yè)人口為14 440人。

應(yīng)用這一模型，結(jié)合矩陣的相似對(duì)角化，還可以進(jìn)一步模擬多年后就業(yè)人口、失業(yè)人口的變化規(guī)律和趨勢。

案例2 矩陣在信息加密中的應(yīng)用[5]

保密通信是當(dāng)今信息時(shí)代一個(gè)非常重要的課題，基于矩陣運(yùn)算加密技術(shù)是保密通信模型中最為基本而且最具活力的一種。在講授“逆矩陣”相關(guān)知識(shí)時(shí)，可以設(shè)立一個(gè)課外研究專題——可逆矩陣及其應(yīng)用。結(jié)合這一專題不僅可以用來說明“逆矩陣”應(yīng)用的一般思路，而且讓學(xué)生可以大顯身手，從而激勵(lì)學(xué)生進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)，激發(fā)創(chuàng)新意識(shí)，這樣做的教學(xué)效果也很好。

可逆方陣可用來對(duì)傳輸?shù)男畔⒓用?。首先給每一個(gè)英語字母指派—個(gè)碼字，即將26個(gè)英文字母和空格分別用1至26和0一一對(duì)應(yīng)（當(dāng)然也可以用其他方式賦值）。即

例如，為了傳送信息Go northeast，把對(duì)應(yīng)字母的碼字排列成一個(gè)的矩陣（按列次序）

A=■

如果不加密直接發(fā)送明文矩陣A，信息容易被破譯，極不安全，因此必須加密。通常的做法是設(shè)置密鑰，只有接收者獲得密鑰才能準(zhǔn)確、快速解密。加密的方式是多種多樣的，必須事先約定。

若加密是用矩陣B=■，則密鑰B-1=■用于解密。

利用B加密A后，則明文A變成了密文C。即

C=BA=■■=■

接收者收到密文C后則要利用B-1對(duì)C進(jìn)行解密，可得

A=B-1C=■■=■

即Go northeast。

加密后實(shí)質(zhì)是方程BA=C中已知C，B求矩陣A，如果B-1存在，用逆矩陣可解矩陣方程。當(dāng)然，逆矩陣的應(yīng)用遠(yuǎn)不止如此，例如還可結(jié)合矩陣相似對(duì)角化的方法處理矩陣多項(xiàng)式的計(jì)算，等。

案例3 線性方程組的求解

很多大學(xué)生不重視吃早餐，日常飲食也沒有規(guī)律。身體的健康需要注意日常飲食中的營養(yǎng)，大學(xué)生每天的配餐中需要攝入一定的蛋白質(zhì)、脂肪和碳水化合物。下表給出了這三種食物提供的營養(yǎng)以及大學(xué)生的正常所需營養(yǎng)（它們的質(zhì)量以適當(dāng)?shù)膯挝挥?jì)量）。

根據(jù)這個(gè)問題建立一個(gè)線性方程組，并通過求解方程組來確定每天需要攝入的上述三種食物的量。

這是一個(gè)簡單的非齊次線性方程組問題。設(shè)x1，x2，x3分別為三種食物的攝入量，則由表中的數(shù)據(jù)可以列出下列線性方程組

36x1+51x2+13x3=337x2+1.1x3=352x1+34x2+74x3=45

寫成矩陣方程形式Ax=b，即■x1x2x3 =33 345

利用初等變換可以很快得到問題的解。

這里直接利用Matlab求解：

A=[36，51，13；0，7，1.1；52，34，74]

b=[33；3；45]

x=A＼b

可得x=

0.27722318361443

0.39192086163701

0.23323088049177

3. 設(shè)計(jì)應(yīng)用性例題的主要特征

應(yīng)用性例題設(shè)置要比較新穎、富有啟發(fā)性；要多層次、有廣泛代表性；要典型示范便于推廣應(yīng)用；要結(jié)合學(xué)生所學(xué)專業(yè)特色，體現(xiàn)現(xiàn)代科技的發(fā)展和新的應(yīng)用領(lǐng)域；要避免過于陳舊、過于單一，難度不宜過高，否則難以激發(fā)學(xué)生的研究、學(xué)習(xí)興趣。

四、數(shù)學(xué)建模和數(shù)學(xué)軟件的輔助作用

借助計(jì)算機(jī)高速超強(qiáng)的計(jì)算能力，人們看到了矩陣模型這一強(qiáng)有力的工具，極大推動(dòng)了大型工程、經(jīng)濟(jì)和管理等問題的解決。因此對(duì)理工科學(xué)生而言，數(shù)學(xué)課不僅應(yīng)該讓他們宏觀地了解數(shù)學(xué)的思想方法，還要明白作為未來工程師和管理人員，還要了解工程中可能遇到各種各樣的數(shù)學(xué)問題，并且知道應(yīng)該用什么樣的數(shù)學(xué)理論和工具（包括數(shù)學(xué)軟件）去解決，把相關(guān)實(shí)際問題提煉為線性代數(shù)的核心問題（數(shù)學(xué)建模），這是一種高水平的抽象[5]。

線性問題非常便于計(jì)算機(jī)處理，把數(shù)學(xué)軟件Matlab引入到線性代數(shù)教學(xué)中，就可以把大量相關(guān)的應(yīng)用性問題放到學(xué)生的課外實(shí)踐活動(dòng)中，不僅是對(duì)理論教學(xué)的補(bǔ)充和延伸，而且對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問題的能力和創(chuàng)新能力都能起到十分顯著的作用。

[參考文獻(xiàn)]

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[6]潘大勇，等.數(shù)學(xué)文化賞析[M].北京：科學(xué)出版社，2016：184.

Abstract： Linear algebra plays a more and more important role in the fields of natural science，social science and engineering technology. Linear algebra teaching has been mostly based on the theoretical knowledge teaching，and the relationship between theory and practice is relatively weak in actual teaching. The methods of permeating application consciousness and training innovation ability have been discussed through some examples in this paper.

Key words： linear algebra；application consciousness；teaching case