夏皮羅先物結(jié)構(gòu)主義探析

黃岑

【摘要】夏皮羅先物結(jié)構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)作為結(jié)構(gòu)的科學(xué)，主要研究結(jié)構(gòu)的位置及位置之間的關(guān)系。通過(guò)定義位置即對(duì)象以及位置即職位的概念，夏皮羅合理闡述了數(shù)學(xué)對(duì)象與結(jié)構(gòu)位置的關(guān)系。但是，夏皮羅先物結(jié)構(gòu)主義忽略了數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)，脫離了部分?jǐn)?shù)學(xué)實(shí)踐的支持，使得對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象的解釋存在缺陷。

【關(guān)鍵詞】夏皮羅先物結(jié)構(gòu)主義；哲學(xué)觀念；理論困境

與一般科學(xué)哲學(xué)的發(fā)展進(jìn)程不同，數(shù)學(xué)哲學(xué)的研究始終保持著對(duì)傳統(tǒng)哲學(xué)論題的探討與批判。當(dāng)代數(shù)學(xué)哲學(xué)論域中關(guān)于何為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)對(duì)象是否存在，如何認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)真理的本質(zhì)，數(shù)學(xué)方法何以可靠等仍是學(xué)者們探研的核心。在批判和繼承經(jīng)典理論的基礎(chǔ)上，哲學(xué)家們?cè)诒倔w論、認(rèn)識(shí)論和方法論上提出了具有各種特色的新成果。這些成果的一個(gè)共性體現(xiàn)為，數(shù)學(xué)哲學(xué)自身理論的建構(gòu)與發(fā)展都與數(shù)學(xué)實(shí)踐密切相關(guān)。

一、夏皮羅先物結(jié)構(gòu)主義的哲學(xué)觀念

自布爾巴基學(xué)派誕生以來(lái)，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)主義開(kāi)始活躍于數(shù)學(xué)哲學(xué)的舞臺(tái)，現(xiàn)已成為當(dāng)代數(shù)學(xué)哲學(xué)的重要學(xué)說(shuō)。結(jié)構(gòu)主義在對(duì)數(shù)學(xué)本體論問(wèn)題的研究上，始終關(guān)注數(shù)學(xué)對(duì)象的存在問(wèn)題。該問(wèn)題在哲學(xué)層面上有以下兩種解釋：一種是遵照柏拉圖主義的先物結(jié)構(gòu)主義（ante rem structuralism），主張數(shù)學(xué)研究的核心是抽象結(jié)構(gòu)；另一種則是與唯名論切合的在物結(jié)構(gòu)主義（in re structuralism），主張數(shù)學(xué)研究的核心是具有抽象結(jié)構(gòu)形式的系統(tǒng)或者模型。

先物結(jié)構(gòu)主義的觀念源自柏拉圖的先物實(shí)在論。先物實(shí)在論指出，至少某些共相先于并且獨(dú)立于例示它們的任何事項(xiàng)存在，可以認(rèn)為即使沒(méi)有紅色的事物，紅性這種性質(zhì)依然存在。對(duì)于先物結(jié)構(gòu)主義者而言，結(jié)構(gòu)作為研究的對(duì)象是合理的，而且獨(dú)立于能夠例證它的任何系統(tǒng)。例如，在一個(gè)結(jié)構(gòu)中，結(jié)構(gòu)的存在是合理的，數(shù)字作為指稱真實(shí)對(duì)象的真實(shí)單稱詞項(xiàng)對(duì)應(yīng)了結(jié)構(gòu)中的位置，并且結(jié)構(gòu)中的任何位置都無(wú)法獨(dú)立于結(jié)構(gòu)單獨(dú)存在。

相反，在物結(jié)構(gòu)主義基于亞里士多德在物實(shí)在論的觀點(diǎn)認(rèn)為，通過(guò)把數(shù)學(xué)對(duì)象的命題作為特定類型結(jié)構(gòu)的普遍命題能夠消去數(shù)學(xué)對(duì)象與結(jié)構(gòu)的指稱。這種觀點(diǎn)強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)的普遍命題一旦受到質(zhì)疑，數(shù)學(xué)對(duì)象的指稱也將失去意義。類似于一旦去掉了紅色的事物，紅性也會(huì)隨之消失。例如，算術(shù)命題不是關(guān)于對(duì)象的特殊聚合的命題，只是對(duì)某種類型的所有系統(tǒng)的概括，這里不能把數(shù)學(xué)對(duì)象或結(jié)構(gòu)當(dāng)作真正的對(duì)象。

夏皮羅作為先物結(jié)構(gòu)主義代表人物，一方面繼承了弗雷格（G.Frege）、哥德?tīng)枺↘.G?del）、奎因（Quine）的數(shù)學(xué)柏拉圖主義，主張算術(shù)研究的“數(shù)”作為對(duì)象，獨(dú)立于非數(shù)學(xué)世界而存在；另一方面為了避免傳統(tǒng)柏拉圖主義在本體論和認(rèn)識(shí)論上的漏洞，給出了關(guān)于數(shù)學(xué)對(duì)象的全新解釋。他以數(shù)學(xué)的本質(zhì)即結(jié)構(gòu)這一根本宗旨為基礎(chǔ)，認(rèn)為結(jié)構(gòu)的存在應(yīng)是質(zhì)樸的、非平凡的，提出了把結(jié)構(gòu)作為一種獨(dú)特共相的先物結(jié)構(gòu)主義。該理論的核心是，結(jié)構(gòu)作為研究的本體，先于對(duì)象和例證它的任何系統(tǒng)獨(dú)立存在，定義結(jié)構(gòu)中最小的項(xiàng)為“位置”，主要研究結(jié)構(gòu)的位置及位置之間的關(guān)系。

關(guān)于結(jié)構(gòu)的獨(dú)立性，夏皮羅認(rèn)為像實(shí)分析、歐式幾何、拓?fù)鋵W(xué)等不同數(shù)學(xué)理論的研究滿足各自的公理系統(tǒng)。例如，實(shí)分析研究的是任何完全實(shí)閉域的模式，而歐式幾何研究的是歐式空間的理論要素，因而不同的結(jié)構(gòu)具備不同的研究對(duì)象，對(duì)象占據(jù)了結(jié)構(gòu)中的位置。由此，夏皮羅指出結(jié)構(gòu)的位置是真實(shí)存在的。他指出，如果一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象分支的公理是可滿足且范疇的，那么公理就刻畫了一個(gè)（單一的）結(jié)構(gòu)，并且公理能夠真實(shí)地描述這個(gè)結(jié)構(gòu)，同時(shí)對(duì)該結(jié)構(gòu)也為真。夏皮羅稱這種觀點(diǎn)是“位置即對(duì)象”（Place-are-objects）。按照該觀點(diǎn)，算術(shù)研究的對(duì)象是一個(gè)單一的抽象結(jié)構(gòu)，該無(wú)窮對(duì)象集合有一個(gè)共有的模式，即擁有單獨(dú)的后繼、唯一的初始對(duì)象并且滿足歸納原理，對(duì)于該結(jié)構(gòu)的研究對(duì)象——數(shù)是自然數(shù)結(jié)構(gòu)中真正的對(duì)象。例如，數(shù)2作為自然數(shù)結(jié)構(gòu)中第二個(gè)位置，是數(shù)3的前導(dǎo)和數(shù)1的后繼，它不能獨(dú)立于其他自然數(shù)存在，因?yàn)橐粋€(gè)自然數(shù)的本質(zhì)是它與其他自然數(shù)的關(guān)系。在先物結(jié)構(gòu)主義中，夏皮羅用系統(tǒng)代指位置及位置之間的關(guān)系。他指出，系統(tǒng)作為一個(gè)對(duì)象的集合連同這些對(duì)象之間的某些關(guān)系能夠充分地解釋和說(shuō)明結(jié)構(gòu)的位置。

夏皮羅指出一些真實(shí)的理論實(shí)際上是一些結(jié)構(gòu)的各種不同系統(tǒng)，系統(tǒng)能夠例證這些結(jié)構(gòu)的位置。他提出了一種“位置即職位”（Place-are-offices）觀點(diǎn)。例如，把數(shù)學(xué)的每個(gè)領(lǐng)域還原或者描述為集合論時(shí)，策梅羅提出的數(shù)字符號(hào)是：Ф、{Ф}、{{Ф}}、{{{Ф}}}…即如果y是x的后繼，那么y={x}。而馮·諾依曼序數(shù)卻定義：Ф、{Ф}、{Ф、{Ф}}、{Ф、{Ф}、{Ф、{Ф}}}…即如果y是x的后繼，那么y=x∪{x}。對(duì)于這兩種通過(guò)集合來(lái)表現(xiàn)的數(shù)，哪一種才是真正的數(shù)學(xué)對(duì)象？數(shù)3究竟是什么？夏皮羅認(rèn)為，這兩種序數(shù)是真實(shí)的數(shù)學(xué)對(duì)象，{{{Ф}}}和{Ф、{Ф}、{Ф、{Ф}}}是自然數(shù)結(jié)構(gòu)中第三個(gè)位置的不同對(duì)象。這類似于一家公司的一個(gè)固定職位不指代一個(gè)固定的人，因?yàn)檫@個(gè)職位的擁有者可以是任何人，雖然這個(gè)職位的擁有者眾多，但是這個(gè)職位卻是單一且固定的。那么夏皮羅指出，雖然解釋結(jié)構(gòu)位置的系統(tǒng)是眾多的，但是結(jié)構(gòu)的位置卻是單一的。策梅羅數(shù)和馮·諾依曼序數(shù)作為兩種對(duì)象能夠說(shuō)明自然數(shù)結(jié)構(gòu)中的位置，但這兩種對(duì)象基于不同的背景并不具備同一性。

夏皮羅通過(guò)運(yùn)用“位置即對(duì)象”和“位置即職位”的觀點(diǎn)，給出了一種符合數(shù)學(xué)實(shí)踐的結(jié)構(gòu)主義解釋。他認(rèn)為在先物結(jié)構(gòu)主義中，結(jié)構(gòu)的位置具體是指對(duì)象還是職位，這完全取決于數(shù)學(xué)實(shí)踐，因而一個(gè)對(duì)象可以對(duì)應(yīng)不同結(jié)構(gòu)中的位置。例如，自然數(shù)結(jié)構(gòu)能夠例示負(fù)的全實(shí)數(shù)結(jié)構(gòu)，或者偶數(shù)能夠例示自然數(shù)結(jié)構(gòu)等。特別地，對(duì)于每一個(gè)結(jié)構(gòu)而言，它都能夠例示自身，并且位置就是對(duì)象。例如，1=1，自然數(shù)結(jié)構(gòu)本身例示了自然數(shù)結(jié)構(gòu)。所以夏皮羅認(rèn)為，先物結(jié)構(gòu)主義克服了傳統(tǒng)柏拉圖主義難題符合數(shù)學(xué)實(shí)踐，能夠給出數(shù)學(xué)明晰的解釋。

二、夏皮羅先物結(jié)構(gòu)主義的理論困境

盡管夏皮羅在對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的解釋上有所突破，但始終沒(méi)有擺脫先物結(jié)構(gòu)主義本身的理論困境。

首先，夏皮羅沒(méi)有解釋數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)。因?yàn)楫?dāng)先物結(jié)構(gòu)主義從實(shí)在論的角度來(lái)解釋結(jié)構(gòu)主義的本質(zhì)時(shí)，將結(jié)構(gòu)作為研究的本體，認(rèn)為只要數(shù)學(xué)對(duì)象能夠充分例示結(jié)構(gòu)中的位置就一定真實(shí)存在。例如，數(shù)3和策梅羅{{{Ф}}}都例示了自然數(shù)結(jié)構(gòu)中的第三個(gè)位置，所以在本體論上，先物結(jié)構(gòu)主義者認(rèn)為數(shù)3和策梅羅{{{Ф}}}是真實(shí)存在的不同數(shù)學(xué)對(duì)象。但是，即使數(shù)3和策梅羅{{{Ф}}}依賴于結(jié)構(gòu)的位置，也無(wú)法確定數(shù)3和策梅羅{{{Ф}}}的本質(zhì)。某種意義上，先物結(jié)構(gòu)主義將結(jié)構(gòu)的位置退化為數(shù)學(xué)對(duì)象，沒(méi)能從根本上解決傳統(tǒng)柏拉圖主義的認(rèn)識(shí)論難題。

其次，夏皮羅沒(méi)能闡明數(shù)學(xué)對(duì)象的同一性。不同于弗雷格定義的對(duì)象等同性，夏皮羅認(rèn)為把不同結(jié)構(gòu)的位置等同起來(lái)可以是直接的或者強(qiáng)制的。例如，自然數(shù)結(jié)構(gòu)的位置可以等同于它們?cè)谡麛?shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)中的相應(yīng)位置，即自然數(shù)1等同于整數(shù)1、有理數(shù)1、實(shí)數(shù)1和復(fù)數(shù)1+0i。但是這種結(jié)論忽略了數(shù)學(xué)實(shí)踐能夠在具體問(wèn)題中區(qū)分出不同數(shù)學(xué)對(duì)象的觀點(diǎn)。根據(jù)奎因（Quine）的“絕對(duì)可辨識(shí)”理論，可以肯定數(shù)學(xué)對(duì)象之間的關(guān)系。但是夏皮羅對(duì)于數(shù)學(xué)對(duì)象不可辨識(shí)一致性的理解只是將微弱可辨識(shí)性作為一種保留數(shù)學(xué)的獨(dú)特方式，并不能在認(rèn)識(shí)主體與認(rèn)識(shí)客體之間建立一種正確的可認(rèn)知性，而這將會(huì)嚴(yán)重影響人們對(duì)數(shù)學(xué)真理的信念。

再者，夏皮羅沒(méi)能避免結(jié)構(gòu)主義與數(shù)學(xué)實(shí)踐的矛盾。即使先物結(jié)構(gòu)主義者始終將數(shù)學(xué)實(shí)踐作為研究的前提條件，但是在例示結(jié)構(gòu)的位置時(shí)，往往與數(shù)學(xué)實(shí)踐產(chǎn)生矛盾。比如，數(shù)3的位置可以由策梅羅{{{Ф}}}和馮·諾依曼{Ф、{Ф}、{Ф、{Ф}}}例示，這里的數(shù)3是“職位”。而對(duì)于“3是2的唯一后繼”，數(shù)3是對(duì)象。所以根據(jù)“位置即職位”和“位置即對(duì)象”的觀點(diǎn)，自然數(shù)位置的本質(zhì)是相對(duì)的?？墒菙?shù)學(xué)實(shí)踐卻證實(shí)，自然數(shù)是有限的馮·諾依曼序數(shù)，不是策梅羅數(shù)，所以“位置即職位”的觀點(diǎn)對(duì)于自然數(shù)結(jié)構(gòu)便是失效的。此外，先物結(jié)構(gòu)的研究也無(wú)法涵蓋數(shù)學(xué)的所有分支，對(duì)于集合論和解析函數(shù)等，很難給出先物結(jié)構(gòu)主義的解釋。

三、結(jié)束語(yǔ)

不同于傳統(tǒng)的本體實(shí)在論，夏皮羅先物結(jié)構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)是結(jié)構(gòu)的科學(xué)。結(jié)構(gòu)作為研究的核心獨(dú)立于結(jié)構(gòu)中的位置。根據(jù)“位置即對(duì)象”以及“位置即職位”的解釋，數(shù)學(xué)對(duì)象對(duì)于特定的結(jié)構(gòu)不具備獨(dú)立性能夠例示不同結(jié)構(gòu)的位置。但是，夏皮羅并沒(méi)有對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)做出明確的、合理的解釋，并且先物結(jié)構(gòu)主義理論本身也與數(shù)學(xué)實(shí)踐存在矛盾，因此夏皮羅先物結(jié)構(gòu)主義在傳統(tǒng)的柏拉圖主義上不構(gòu)成實(shí)質(zhì)性的進(jìn)步。

事實(shí)上，對(duì)于數(shù)學(xué)本質(zhì)的解釋并不存在一種固定的哲學(xué)說(shuō)明，數(shù)學(xué)本質(zhì)的含義往往受到數(shù)學(xué)實(shí)踐的影響。雖然夏皮羅先物結(jié)構(gòu)主義是不完善的，但是先物結(jié)構(gòu)主義仍然為數(shù)學(xué)哲學(xué)本體論的研究提供了新的思路，同時(shí)引起了數(shù)學(xué)哲學(xué)家們對(duì)于數(shù)學(xué)實(shí)踐的重視。只有當(dāng)數(shù)學(xué)哲學(xué)的理論支持?jǐn)?shù)學(xué)實(shí)踐時(shí)，才能獲得正確的、合理的解釋。

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