解析高中幾何教學常用的方法

江紹乾

解析幾何是用代數(shù)方法研究幾何的一門數(shù)學學科，解析幾何是高考的重點，難點和熱點尤其是解析幾何中的計算比較困難。而現(xiàn)在的高考特別提出“多考想，少考計算”，可見，目前高考更突出考查考生的分析、推理、轉化的數(shù)學邏輯思維能力，那么根據目前的高考形式如何在解析幾何中避免繁雜、冗長的計算，即簡化計算，也就成了處理這類問題的難點與關鍵。解析幾何題目中常用的簡化運算的技巧有：圓錐曲線的概念、條件等價轉化、形助數(shù)、設而不求等。下面以幾道高考中的解析幾何題為例來說明，希望能為高中數(shù)學教學提供一些幫助。

1.特值探路法

對定點與定值問題的求解，可先利用“特值探路”的方法（如直線的斜率為0、斜率不存在等）確定定點坐標或定值，然后只需驗證一般情況即可。解答此類問題要大膽設參，運算推理后參數(shù)必消，定點、定值自然顯現(xiàn)。

例1（2014·山東理21）已知拋物線C：y2=2px（p>0）的焦點為F，A為C上異于原點的任意一點，過點A的直線l交C于另一點B，交x軸的正半軸于點D，且有|FA|=|FD|。當點A的橫坐標為3時，△ADF為正三角形。

（1）求C的方程。

（2）若直線l1∥l，且l1和C有且只有一個公共點E。

①證明直線AE過定點，并求出定點坐標。

②△ABE的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由。

解析：（1）由題意知p〔，0〕。

設D（t，0）（t>0），則FD的中點為〔，0〕。

因為|FA|=|FD|，由拋物線的定義知3+=|t-|，解得t=3+p或t=-3（舍去）。由=3，解得p=2，所以拋物線C的方程為y2=4x。

（2）①證明：由（1）知F（1，0）。

設A（x0，y0）（x0y0≠0），D（xD，0）（xD>0）。因為|FA|=|FD|，則|xD-1|=x0+1，由xD>0得xD=x0+2，故D（x0+2，0）。故直線AB的斜率kAB=-。因為直線l1和直線AB平行，設直線l1的方程為y=-x+b，代入拋物線方程得y2+y-=0，由題意Δ=+=0，b=-。設E（xE，yE），則yE=-，xE=。當y20≠=-=，可得直線AE的方程為y-y0=（x-x0），由y20=4x0，整理可得y=（x-1），直線AE恒過點F（1，0）。當y20=4時，直線AE的方程為x=1，過點F（1，0）。所以直線AE過定點F（1，0）。②由①知，直線AE過焦點F（1，0），所以|AE|=|AF|+|FE|=（x0+1）+=x0+〔+1〕=x0++2。設直線AE的方程為x=my+1，因為點A（x0，y0）在直線AE上，故m=。設B（x1，y1）。直線AB的方程為y-y0=-（x-x0），由y0≠0，得x=-y+2+x0。代入拋物線方程得y2+y-8-4x0=0，所以y0+y1=-，可求得y1=-，x1=+x0+4。所以點B到直線AE的距離為d===4〔+〕則△ABE的面積S=×4〔+〕（x0++2）≥16，當且僅當=x0，即x0=1時，等號成立。所以△ABE的面積的最小值為16。

點評：（1）由拋物線的定義可求C的方程；（2）利用直線方程的點斜式求出直線AE的方程，進判斷過定點；將面積的表達式找到，再探究其是否存在最小值。

2.定義法

直接利用圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義或圓錐曲線的統(tǒng)一定義解幾何問題的方法，稱為定義法。

例2.（2014年重慶理8）設F1、F2分別為雙曲線-=1（a>0，b>0），的左、右焦點，雙曲線上存在一點p使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|-|PF2|=ab，則該雙曲線的離心率為（ ）

（A） （B） （C） （D）3

解析：由雙曲線的定義得|PF1|-|PF2|=2a，又|PF1|+|PF2|=3b，所以（|PF1|+|PF2|）2-（|PF1|-|PF2|）2=9b2-4a2，即4|PF1|-|PF2|=9b2-4a2，又4|PF1|-|PF2|=9ab，因此9b2-4a2=9ab即， 則 ， 解得 = {=-舍去}，則雙曲線的離心率

點評：本題主要考查雙曲線的定義與性質，意在考查考生的基本運算能力。

3.數(shù)形結合思想

數(shù)形結合的思想包含“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”兩個方面，其應用大致可以分為兩種情形：一是借助形的生動性和直觀性來闡明數(shù)形之間的聯(lián)系，即以形作為手段，數(shù)作為目的，比如應用方程的曲線來直觀地說明曲線的性質；二是借助于數(shù)的精確性和規(guī)范嚴密性來闡明形的某些屬性，即以數(shù)作為手段，形作為目的，如應用曲線的方程來精確地闡明曲線的幾何性質。

4.設而不求

高考題一直注重對考生的數(shù)學基本能力的考查，特別是強調考查考生的運算求解能力.尋找簡捷、合理的運算途徑是運算求解能力的核心.而“設而不求”就是在運算求解時比較好的一種方法，可以大大地減少繁瑣的計算量.在處理直線與圓錐曲線相交問題時，一般技巧是設出交點坐標，但不求出，利用韋達定理和相關坐標轉化問題，這就是“設而不求法”

5.函數(shù)與方程思想

函數(shù)思想是指用函數(shù)的概念和性質去分析問題、轉化問題和解決問題。方程思想是指從分析問題的數(shù)量關系入手，將問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關系通過適當設元建立起方程（組），然后通過解方程（組）使問題得到解決的思維方式。函數(shù)與方程思想是貫穿解析幾何的一條主線，解析幾何是通過平面直解坐標系溝通平面幾何、函數(shù)、方程的紐帶。

6.轉化與化歸思想

轉化與化歸思想在高考中占有十分重要的地位，數(shù)學問題的解決，總離不開轉化與化歸，如未知向已知的轉化、新知識向舊知識轉化、復雜問題向簡單問題的轉化、不同數(shù)學問題之間的互相轉化、實際問題向數(shù)學問題的轉化等。各種變換、具體解題方法都是轉化的手段，轉化的思想方法滲透到所有的數(shù)學