涉及三角形傍切圓半徑的一個不等式猜想的證明

姜衛(wèi)東 (郵編：264210)

山東省威海職業(yè)學(xué)院信息工程系

初 數(shù)研 究

涉及三角形傍切圓半徑的一個不等式猜想的證明

姜衛(wèi)東 (郵編：264210)

山東省威海職業(yè)學(xué)院信息工程系

設(shè)△ABC的三邊長分別為a、b、c，三邊上的高為ha、hb、hc，傍切圓半徑分別為ra、rb、rc，半周長為s，外接圓和內(nèi)切圓半徑分別為R、r，面積為△.

尹華焱老師在[1]中提出了100個涉及三角形Ceva線、傍切圓半徑的不等式猜想，其中的第86個猜想為

HCX-86 在三角形△ABC中，有

①

本文將證明①成立.

證明 先證①左端不等式

應(yīng)用柯西不等式可得

②

由三角形中的恒等式

ra+rb+rc=4R+r，

可知，欲證①左端不等式，只需證

由Gerretsen不等式s2≥16Rr-5r2及歐拉不等式R≥2r，易知上式成立.從而①式左端獲證.

下面證明①右端不等式

由已知的公式

可知

同理可得

從而

③

注意到文[2](第130頁,推論2.1.2)給出的不等式

④

由③和④立得②右端不等式.

注記1 由證明過程可知，如下更強的結(jié)論成立

⑤

⑤等價于如下不等式

⑥

注記2 2016年12月，安振平老師在其新浪博客中提出如下問題：

問題3347[3] 在△ABC中，a、b、c、R、r分別表示三邊長，外接圓半徑和內(nèi)切圓半徑，求證

⑦

1 尹華焱.100個涉及三角形Ceva線、傍切圓半徑的不等式猜想[M]//楊學(xué)枝.不等式研究.拉薩：西藏人民出版社，2000:313-322

2 楊學(xué)枝，尹華焱.我國研究三角形中半角三角函數(shù)不等式情況綜述。楊學(xué)枝。不等式研究，拉薩：西藏人民出版社，2000:123-174

3 安振平.問題3347：又一個三角形中的不等式，見(http://blog.sina.com.cn/s/blog_5618e6650102xbbd.html)

2016-12-20)