基于最優(yōu)化模型的太陽(yáng)影子定位方法*

陳曉雪，汪勁希，王天鈺（電子科技大學(xué)，成都 610054）

基于最優(yōu)化模型的太陽(yáng)影子定位方法*

陳曉雪，汪勁希，王天鈺
（電子科技大學(xué)，成都 610054）

針對(duì)利用太陽(yáng)影子實(shí)現(xiàn)目標(biāo)的定位問(wèn)題，分析得到影響影子長(zhǎng)度的參數(shù)，確立了影長(zhǎng)與太陽(yáng)高度角、目標(biāo)物長(zhǎng)度、經(jīng)緯度等的函數(shù)關(guān)系，并結(jié)合最小二乘法思想，建立了以理論影長(zhǎng)與實(shí)際影長(zhǎng)之差的平方和最小為目標(biāo)的優(yōu)化模型。以直桿為例，運(yùn)用粒子群優(yōu)化算法快速求解得到目標(biāo)的可能位置，并與實(shí)際地點(diǎn)進(jìn)行了比較。

太陽(yáng)影子定位，最小二乘擬合，粒子群優(yōu)化算法

0 引言

目前，導(dǎo)航定位技術(shù)已然貫穿于我們生活的方方面面，在信息化戰(zhàn)爭(zhēng)中，對(duì)目標(biāo)打擊物實(shí)現(xiàn)快速定位的重要性也毋庸置疑。隨著科技的不斷進(jìn)步，定位的方法日新月異，不斷發(fā)展，如GPS定位、基站定位、WIFI定位、RFID/二維碼等標(biāo)簽識(shí)別定位、聲波定位、場(chǎng)景識(shí)別定位等等，對(duì)于不同的環(huán)境，每種定位技術(shù)都有其不同的使用效果，可根據(jù)實(shí)際應(yīng)用采取一種或多種混合技術(shù)。在探測(cè)條件比較惡劣或工具匱乏的野外環(huán)境下，GPS等一些定位方法由于設(shè)備條件的限制而無(wú)法達(dá)到理想的效果，本文提出一種利用太陽(yáng)影子對(duì)目標(biāo)物進(jìn)行定位的方法，利用該技術(shù)確定地點(diǎn)的關(guān)鍵是通過(guò)分析影響影子長(zhǎng)度的參數(shù)，確定目標(biāo)所處地點(diǎn)的經(jīng)緯度與影子長(zhǎng)度的關(guān)系。通過(guò)測(cè)量收集一段時(shí)間內(nèi)影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)建立最優(yōu)化模型，并利用收斂速度較快的粒子群優(yōu)化算法在全局范圍內(nèi)進(jìn)行求解，從而對(duì)目標(biāo)物所處地點(diǎn)作出預(yù)測(cè)。

1 太陽(yáng)影子理論長(zhǎng)度的計(jì)算

在太陽(yáng)光的照射下，不透明的物體在與光照方向相反的朝向下出現(xiàn)影子。以直桿為目標(biāo)物，當(dāng)其固定在水平地面上，影子的長(zhǎng)度受直桿長(zhǎng)度與太陽(yáng)高度角的影響，在直桿長(zhǎng)度一定的情況下，太陽(yáng)高度角越小，直桿影子越長(zhǎng)，分析其幾何關(guān)系可以得到直桿太陽(yáng)影子的長(zhǎng)度滿足

其中，L為固定直桿的長(zhǎng)度，l為固定直桿太陽(yáng)影子的長(zhǎng)度，α為太陽(yáng)高度角。

1.1 太陽(yáng)高度角α的確定

太陽(yáng)高度角α是太陽(yáng)光的入射方向和地平面之間的夾角，在日出和日落時(shí)達(dá)到最小，正午時(shí)太陽(yáng)高度角最大，物體的影子長(zhǎng)度最短。以地球球心為原點(diǎn)，赤道平面內(nèi)指向太陽(yáng)直射經(jīng)線的方向?yàn)閤軸，地球自轉(zhuǎn)軸方向?yàn)閦軸，建立右手空間直角坐標(biāo)系［2］，如圖1所示。

圖1 以地球球心為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系

圖1中，e1為太陽(yáng)直射方向的單位向量，e2為固定直桿方向的單位向量，δ為當(dāng)天的太陽(yáng)赤緯，即太陽(yáng)直射緯度，y為直桿的緯度，ω為太陽(yáng)的時(shí)角，R為地球半徑通過(guò)分析幾何關(guān)系，可得向量OA和OB 為

根據(jù)式（2）可得向量OA和OB的夾角余弦，即

直桿所處地點(diǎn)某一時(shí)刻的太陽(yáng)高度角滿足

1.1.1 太陽(yáng)赤緯δ

太陽(yáng)赤緯是地球赤道平面與太陽(yáng)和地球中心的連線之間的夾角，在每年夏至?xí)r達(dá)到最大值+23 °26'，冬至?xí)r達(dá)到最小值-23°26'，春分和秋分時(shí)太陽(yáng)直射赤道，此時(shí)太陽(yáng)赤緯為0，由此其以年為周期，成為季節(jié)的標(biāo)志。設(shè)n為日期序號(hào)，每年的1月1日為n=1，2月1日為n=32，以此類推，則一年中任何一天的太陽(yáng)赤緯［1］為

1.1.2 時(shí)角ω

時(shí)角表明一天中時(shí)間的變化，在同一時(shí)刻，對(duì)同一經(jīng)度，太陽(yáng)對(duì)應(yīng)的時(shí)角相同，地球自轉(zhuǎn)360°對(duì)應(yīng)一天的24 h，故每小時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)角為15°。以正午12點(diǎn)為0°算起，上午時(shí)角為負(fù)值，下午時(shí)角為正值，其計(jì)算式［1］為

式中，t為當(dāng)?shù)貢r(shí)間，采用24 h制。

位于不同地點(diǎn)的直桿處于不同的時(shí)區(qū)，為了得到其在不同地點(diǎn)對(duì)應(yīng)的時(shí)角，以北京時(shí)間t0為標(biāo)準(zhǔn)時(shí)間，結(jié)合所處地點(diǎn)的經(jīng)度β進(jìn)行換算，計(jì)算得到時(shí)角的表達(dá)式為

因此，將式（4）、式（6）代入式（3），結(jié)合式（1），得到太陽(yáng)影子理論長(zhǎng)度為

分析可知，日出到正午12點(diǎn)期間，太陽(yáng)對(duì)應(yīng)的時(shí)角為負(fù)值，日出時(shí)太陽(yáng)高度角為0°，影子長(zhǎng)度最長(zhǎng)，隨著時(shí)間推移時(shí)角逐漸增大，太陽(yáng)高度角逐漸增大，當(dāng)?shù)竭_(dá)當(dāng)?shù)卣?2點(diǎn)時(shí)時(shí)角為0°，太陽(yáng)高度角達(dá)到最大值，此時(shí)影子長(zhǎng)度為一天中最短；正午12點(diǎn)到日落期間，太陽(yáng)對(duì)應(yīng)的時(shí)角為正值，隨著時(shí)間推移時(shí)角逐漸增大，太陽(yáng)高度角逐漸減小，日落時(shí)太陽(yáng)高度角為0°，影子長(zhǎng)度再次達(dá)到最長(zhǎng)。

利用余弦函數(shù)的對(duì)稱性，當(dāng)上午和下午的時(shí)刻與正午12點(diǎn)的時(shí)間間隔相等時(shí)，兩個(gè)時(shí)角互為相反數(shù)，余弦值相等，故兩個(gè)時(shí)刻下對(duì)應(yīng)的太陽(yáng)高度角相同，對(duì)于同一根直桿來(lái)說(shuō)，兩個(gè)時(shí)刻的太陽(yáng)影子長(zhǎng)度相等。因此，一天中太陽(yáng)影子長(zhǎng)度以正午影長(zhǎng)為中心向日出和日落影子呈對(duì)稱增長(zhǎng)，以12點(diǎn)為對(duì)稱軸的時(shí)刻下影子長(zhǎng)度相等，在日出和日落時(shí)達(dá)到最長(zhǎng)，且影子長(zhǎng)度相等，在正午時(shí)太陽(yáng)影子長(zhǎng)度達(dá)到最短。

2 太陽(yáng)影子頂點(diǎn)坐標(biāo)確定直桿所處地點(diǎn)的優(yōu)化模型

為了利用直桿的太陽(yáng)影子變化確定直桿所處的地點(diǎn)，利用直桿的經(jīng)緯度與直桿長(zhǎng)度表示出直桿太陽(yáng)影子的理論長(zhǎng)度，與可測(cè)得的直桿實(shí)際影長(zhǎng)進(jìn)行比較，從而確定使理論值與實(shí)際值最接近的直桿地點(diǎn)與直桿長(zhǎng)度。

2.1 模型的建立

2.1.1 目標(biāo)函數(shù)的確定

以直桿底端為原點(diǎn)，水平地面為xy平面建立坐標(biāo)系，根據(jù)固定直桿不同時(shí)刻在水平地面上的太陽(yáng)影子頂點(diǎn)坐標(biāo)（xi，yi），可以得到每一時(shí)刻下直桿的實(shí)際影子長(zhǎng)度li實(shí)際。

由于一天中太陽(yáng)影子長(zhǎng)度以正午影長(zhǎng)為中心向日出和日落影子呈對(duì)稱增長(zhǎng)，關(guān)于12點(diǎn)對(duì)稱的時(shí)刻下影子長(zhǎng)度相等，在正午時(shí)太陽(yáng)影子長(zhǎng)度達(dá)到最短，利用這一規(guī)律，在得到不同時(shí)刻下直桿的實(shí)際影子長(zhǎng)度之后，將實(shí)際影子長(zhǎng)度擬合成關(guān)于北京時(shí)間t0的二次曲線，找到實(shí)際影子長(zhǎng)度取最小值時(shí)對(duì)應(yīng)的時(shí)刻tn，tn即為對(duì)應(yīng)的北京時(shí)間，與當(dāng)?shù)貢r(shí)間的正午12點(diǎn)相對(duì)應(yīng)，設(shè)x為固定直桿地點(diǎn)的經(jīng)度，經(jīng)換算可得直桿所處地點(diǎn)的經(jīng)度為

假設(shè)i時(shí)刻下直桿所處地點(diǎn)的太陽(yáng)高度角為αi，影子長(zhǎng)度為li，結(jié)合式（3），可解得i時(shí)刻下直桿所處地點(diǎn)的太陽(yáng)高度角αi，則直桿的太陽(yáng)影子理論長(zhǎng)度li理論為

式中，ωi為i時(shí)刻下的時(shí)角，設(shè)t0i為i時(shí)刻下的北京時(shí)間，根據(jù)時(shí)角的表達(dá)式（6），有

當(dāng)每一時(shí)刻直桿太陽(yáng)影子的理論長(zhǎng)度與實(shí)際長(zhǎng)度足夠接近時(shí)，即目標(biāo)函數(shù)F達(dá)到最小值，可以根據(jù)對(duì)應(yīng)的直桿長(zhǎng)度與直桿地點(diǎn)經(jīng)緯度取值確定直桿所處的地點(diǎn)。結(jié)合式（9）、式（10），利用最小二乘法的思想，本文建立以直桿長(zhǎng)度與直桿緯度為決策變量的優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)F

式中，k為太陽(yáng)影子頂點(diǎn)坐標(biāo)的個(gè)數(shù)。

2.1.2 約束條件的確定

考慮直桿長(zhǎng)度與直桿經(jīng)緯度的實(shí)際約束因素，將地球按緯度區(qū)分，分為北緯和南緯，以北緯為正，南緯為負(fù)，故列得以下約束條件。

綜上，得到太陽(yáng)影子頂點(diǎn)坐標(biāo)確定直桿所處地點(diǎn)的優(yōu)化模型

約束條件:

2.2 模型的求解

以2015年4月18日在18.3°N，109.5°E處測(cè)得的太陽(yáng)照射下某直桿的影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)（如表1所示）代入模型進(jìn)行求解。

表1 太陽(yáng)影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)

2.2.1 確定太陽(yáng)赤緯δ

直桿太陽(yáng)影子的頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)測(cè)量于2015年4月18日，從2015年的1月1日起計(jì)數(shù)，到4月18日共108天，將n=108代入式（4），得到當(dāng)天的太陽(yáng)赤緯δ為

2.2.2 確定直桿所處地點(diǎn)的經(jīng)度x

將表1中北京時(shí)間14∶42-15∶42期間的太陽(yáng)影子頂點(diǎn)坐標(biāo)代入影子實(shí)際長(zhǎng)度表達(dá)式（8），利用Matlab將直桿的實(shí)際影子長(zhǎng)度擬合出關(guān)于時(shí)間t的二次曲線，求解得到當(dāng)tn1=12.65 h，即北京時(shí)間12∶39時(shí)直桿影子長(zhǎng)度達(dá)到最小值，此時(shí)為當(dāng)?shù)貢r(shí)間12∶00。

將tn1=12.65 h代入式（9），求解得到直桿所處地點(diǎn)的經(jīng)度x1為

2.2.3 確定直桿長(zhǎng)度與直桿所處地點(diǎn)的緯度

將表1中某固定直桿在水平地面上的21組太陽(yáng)影子頂點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)、太陽(yáng)赤緯δ=10.51°，tn1=12.65 h，k=21代入優(yōu)化模型，利用粒子群優(yōu)化算法［3］進(jìn)行求解。

算法原理:

粒子群優(yōu)化算法屬于進(jìn)化算法的一種，其基本思想是:初始化一群擁有位置與速度屬性的隨機(jī)粒子，通過(guò)多次迭代，在粒子空間中尋找到最優(yōu)解。其中，位置屬性指的是在某次迭代過(guò)程中各個(gè)決策變量的值，速度屬性決定了每次迭代過(guò)程中粒子位置屬性改變的方向與大小。在每次迭代過(guò)程中，粒子會(huì)以靠近個(gè)體極值與全局極值為目的來(lái)調(diào)整自身的位置與速度，個(gè)體極值是指單個(gè)粒子到目前為止發(fā)現(xiàn)的最好位置，即自身找到的最優(yōu)解，全局極值是指整個(gè)粒子群體經(jīng)歷的最好位置，即粒子群目前找到的最優(yōu)解。

隨機(jī)建立一個(gè)含有m個(gè)粒子的粒子群以及一個(gè)d維空間，第i個(gè)粒子在空間中的位置與速度分別用集合Xi={xi，1，xi，2…xi，d}、Vi={vi，1，vi，2…vi，d}記錄。在迭代過(guò)程中找到的個(gè)體極值PB與全局極值GB分別用集合Pi={pi，1，pi，2…pi，d}、Pg={gi，1，gi，2…gi，d}記錄。個(gè)體極值與全局極值每更新一次，粒子群中每個(gè)粒子便按照以下規(guī)則更新自己的位置與速度屬性:

式中，u代表慣性因子，表示粒子對(duì)當(dāng)前速度繼承的比例，u＞=0；n1與n2為學(xué)習(xí)因子，即粒子向群體內(nèi)或鄰域內(nèi)最優(yōu)點(diǎn)靠近的能力，n1，n2＞=0；q1，q2為隨機(jī)數(shù)且q1，q2∈［0，1］；t代表第t次迭代過(guò)程；vjmax指的是粒子第j個(gè)位置參量的最大速度，其值決定相應(yīng)的決策變量在一次迭代中改變的最大值；u，n1，n2皆為常數(shù)值。

粒子群優(yōu)化算法的性能受控制參數(shù)取值的影響很大，應(yīng)該遵循以下原則對(duì)各參數(shù)進(jìn)行賦值:

粒子數(shù):對(duì)于一般優(yōu)化問(wèn)題，通常取m∈［20，40］；對(duì)于復(fù)雜優(yōu)化問(wèn)題或者是特定優(yōu)化問(wèn)題，取m≥100。

學(xué)習(xí)因子:取n1=n2且n1，n2∈［0，4］。

慣性因子:對(duì)于基本粒子群算法，取不大于1的常數(shù)即可。

空間維度:取優(yōu)化問(wèn)題中決策變量的個(gè)數(shù)。

粒子的最大速度:通常設(shè)定為相應(yīng)決策變量的取值范圍寬度。

粒子群優(yōu)化算法步驟如以下框圖所示:

圖2 粒子群優(yōu)化算法框圖

考慮直桿地點(diǎn)的經(jīng)度由擬合直桿的影子長(zhǎng)度得到，因此，在求解直桿長(zhǎng)度與直桿緯度時(shí)在求得直桿經(jīng)度的基礎(chǔ)上增加正負(fù)2°的隨機(jī)擾動(dòng)，取粒子數(shù)m=50，學(xué)習(xí)因子n1=n2=1.5，慣性因子u=0.5，利用粒子群優(yōu)化算法求解，得到當(dāng)目標(biāo)函數(shù)取得最小值時(shí)直桿長(zhǎng)度與直桿緯度的取值如表2所示。

表2 直桿長(zhǎng)度與直桿所處地點(diǎn)緯度的最優(yōu)解

由表1可知，當(dāng)直桿的長(zhǎng)度在2.50 m左右，直桿緯度取20°左右時(shí)，目標(biāo)函數(shù)F可取得最小值，結(jié)合之前計(jì)算得到的直桿經(jīng)度110.25°，得到表1中直桿的可能地點(diǎn)如表3所示。

表3 直桿的可能地點(diǎn)列表

通過(guò)求解模型得到直桿所處的可能位置，以19.49°N，110.25°E為例，利用三面角余弦定理，可得該結(jié)果與直桿實(shí)際所處地點(diǎn)（18.3°N，109.5°E）地理距離相差約154.06 km，說(shuō)明這一模型對(duì)目標(biāo)物直桿實(shí)現(xiàn)了粗略定位。對(duì)模型結(jié)果進(jìn)行誤差分析，確定直桿影子頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)引入測(cè)量誤差影響了實(shí)際影長(zhǎng)的準(zhǔn)確性；同時(shí)地球是一個(gè)橢球體，在建立模型時(shí)將其視作球體并忽略地球表面地形帶來(lái)的誤差也會(huì)影響精度。模型的不足之處在于定位精度不高，但是應(yīng)用該模型對(duì)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)定位時(shí)對(duì)測(cè)量設(shè)備要求低，且求解速度快，可在利用該模型實(shí)現(xiàn)粗略定位的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步結(jié)合其余定位方法對(duì)目標(biāo)物進(jìn)行精確定位。

3 模型的推廣

在無(wú)法獲得太陽(yáng)影子頂點(diǎn)坐標(biāo)的情況下，可通過(guò)拍攝視頻的方法獲取有效信息，太陽(yáng)影子的長(zhǎng)度與朝向隨時(shí)間的推移逐漸發(fā)生變化，可利用Matlab對(duì)視頻中的畫面進(jìn)行灰度處理和二值化，提取出目標(biāo)影長(zhǎng)的像素點(diǎn)，再通過(guò)抓取影子長(zhǎng)度的像素點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算得到任一幀畫面中的實(shí)際影子長(zhǎng)度，以直桿位置為變量表示出太陽(yáng)影子的理論長(zhǎng)度，仍以太陽(yáng)影子長(zhǎng)度的實(shí)際值與理論值之差作為目標(biāo)函數(shù)，尋找使太陽(yáng)影長(zhǎng)的實(shí)際值與理論值最接近的視頻可能拍攝地點(diǎn)。目前在無(wú)人機(jī)的航拍偵察中，存在隨飛行距離增加而精度下降、對(duì)地形復(fù)雜地區(qū)定位誤差大等問(wèn)題，利用該模型對(duì)目標(biāo)物所處環(huán)境要求低的特點(diǎn)可先找到目標(biāo)的粗略位置，縮小定位范圍之后再進(jìn)行偵查、監(jiān)視、遙感等，如需進(jìn)行電子對(duì)抗、測(cè)繪等可再進(jìn)一步結(jié)合其他技術(shù)增加定位精度。

4 結(jié)論

本文以直桿為目標(biāo)物為例，通過(guò)分析影響直桿太陽(yáng)影子長(zhǎng)度的因素，得到以直桿所處地點(diǎn)的經(jīng)緯度與直桿長(zhǎng)度為參數(shù)的太陽(yáng)影子理論長(zhǎng)度函數(shù)關(guān)系式，結(jié)合可測(cè)得的直桿實(shí)際影長(zhǎng)，利用最小二乘思想，建立了以直桿經(jīng)緯度與長(zhǎng)度為決策變量的優(yōu)化模型，并利用粒子群優(yōu)化算法對(duì)優(yōu)化模型進(jìn)行求解，提高了模型的效率，為利用太陽(yáng)影子實(shí)現(xiàn)定位提供了一種簡(jiǎn)捷的科學(xué)方法。該定位方法對(duì)設(shè)備依賴性小，成本低，可廣泛應(yīng)用于對(duì)定位精度要求不高的場(chǎng)所。除此之外，將該方法與其他一些高精度的目標(biāo)定位方法聯(lián)合使用，如結(jié)合多源影像的匹配技術(shù)應(yīng)用于軍事目標(biāo)偵察或地面位置勘測(cè)，可進(jìn)一步擴(kuò)大其適用范圍，具有一定的現(xiàn)實(shí)意義與參考價(jià)值。考慮地球自轉(zhuǎn)速度的變化以及日地相對(duì)位置變化帶來(lái)的影響，引入修正參數(shù)對(duì)相關(guān)參量進(jìn)行修正，進(jìn)一步提高模型的精準(zhǔn)度。

［1］方榮生.太陽(yáng)能應(yīng)用技術(shù)［M］.北京:中國(guó)農(nóng)業(yè)機(jī)械出版社，1985.

［2］肖志勇，劉宇翔.一種新的緯度測(cè)量方法［J］.大學(xué)物理，2010，29（9）:51-54.

［3］張建林.MATLAB&Excel定量預(yù)測(cè)與決策——運(yùn)作案例精編［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2012.

Sun Shadow Positioning Method Based on Optimization Model

CHEN Xiao-xue，WANG Jin-xi，WANG Tian-yu
（University of Electronic Science and Technology of China，Chengdu 610054，China）

To achieve the object localization by the sun shadow，the paper analyzes the parameters which influences the length of the shadow，and establishes the function of the shadow length and the solar elevation angle，the length of the target，the latitude and longitude，etc.Combined with the leastsquare method，the optimization model is built with the minimum square sum of the difference between the theoretical shadow length and the actual shadow length as the target.Take a straight rod for example，the possible target position has been quickly solved by use the method of the particle swarm optimization algorithm，which is also compared with the physical location.

sun shadow positioning，least-square fitting，particle swarm optimization algorithm

TN971

A

1002-0640（2017）03-0112-05

2016-02-06

2016-03-15

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11271001）

陳曉雪（1994- ），女，山西人，碩士研究生。研究方向：光通信與光電工程。