基于有限元特征頻率法的各向異性復合板蘭姆波特性分析

張林文,馬世偉, 程 茜

(1.上海大學 機電工程與自動化學院， 上海 200444;2.同濟大學 聲學研究所， 上海 200092)

基于有限元特征頻率法的各向異性復合板蘭姆波特性分析

張林文1,馬世偉1, 程 茜2

(1.上海大學 機電工程與自動化學院， 上海 200444;2.同濟大學 聲學研究所， 上海 200092)

提出了一種基于有限元特征頻率法求解各向異性復合板中蘭姆波頻散曲線的方法，可根據(jù)Floquet周期性邊界條件對板結構進行簡化，對于板厚方向上下對稱的層合板，利用對稱(反對稱)邊界條件得到頻散曲線的對稱模式(反對稱模式)。對于纖維增強多層復合板試驗材料，進行了有限元仿真計算和試驗測量，驗證了該方法的有效性。

各向異性復合板；蘭姆波；頻散曲線；有限元特征頻率法

復合材料具有質(zhì)量輕、強度高、模量高、壽命久等優(yōu)點，在工業(yè)領域得到了廣泛的應用[1]。而超聲蘭姆波技術是一種應用于板材檢測的高效無損檢測手段。目前利用蘭姆波對纖維增強復合層狀材料的力學及界面特性等進行定量無損評價也是復合材料研究領域的熱點問題之一[2]。

理論解析求解層狀復合材料中蘭姆波頻散曲線的方法有傳遞矩陣法和全局矩陣法。利用傳遞矩陣法[3]可以得到蘭姆波的精確頻散方程，但當層數(shù)增加時求解超越方程的根會很困難和費時。另外當頻厚積增大時，傳遞矩陣常會出現(xiàn)病態(tài)解，導致計算不穩(wěn)定且誤差增大。全局矩陣的基本思想是對傳遞矩陣進行修正，計算滿足每一個界面上的連續(xù)邊界條件，以獲得單一的矩陣方程，由方程的解給出所有層上所需的蘭姆波的波動性質(zhì)，以消除傳遞矩陣法中出現(xiàn)的大頻厚積時精度損失的現(xiàn)象[4]。

不同于理論解析法，有限元仿真方法計算簡單，可對板中蘭姆波傳播進行建模，通過提取仿真結果數(shù)據(jù)，可計算群速度和相速度的大小[2]，已在板狀材料的蘭姆波傳播特性研究中得到了越來越多的關注和應用[4]。但是由于纖維排布的差異，纖維增強型復合板材表現(xiàn)出強烈的各向異性[5]，其蘭姆波傳播特性更為復雜，需要采用有效的有限元建模方法。

1 基本原理

彈性波和彈性體之間的振動存在著本質(zhì)聯(lián)系，彈性體的振動是不同位置的質(zhì)點在各自平衡位置進行的簡諧振動。振動通過彈性介質(zhì)之間的傳播形成行波將能量傳播出去。彈性體中的波動方程由本構關系和運動方程[6]得到。

在無限大各向異性彈性材料中自由傳播的波動方程，其位移表示形式為：

(1)

式中:Cijkl為彈性矩陣;xi為坐標系;ui為位移(i,j,k,l=1，2，3)。

質(zhì)點在各自平衡位置的簡諧振動為:

(2)

式中:um為振動幅值;ω為角頻率。

由式(1)和(2)可得到各項異性材料中的本征方程為：

(3)

式中:ρ為材料密度;δim為克羅內(nèi)克符號;k為波數(shù);i,k,l,m為張量下標。

因此，利用有限元仿真方法求解結構的自由振動方程的問題，可以簡化為求解如下的特征方程[7]:

一般來說，知識的價值性可以通過三種方式來體現(xiàn)：一是知識的應用提高了實物的生產(chǎn)效率；二是知識直接物化為商品；三是將知識作為資本進行投資以實現(xiàn)其價值。當知識鏈的知識資源喪失了知識優(yōu)勢的時候，知識鏈可以選擇開發(fā)新的有價值的知識或改變知識的應用方式來形成新的優(yōu)勢。由于價值性的體現(xiàn)方式不同，故不同行業(yè)的價值鏈知識優(yōu)勢影響因素不同，即使屬同一行業(yè)，不同的知識鏈的知識優(yōu)勢也存在著差異，專利技術、人力資本、營銷渠道、企業(yè)文化等，都是產(chǎn)生這種差異的原因。

(4)

式中:ω為結構的特征頻率;U為特征頻率對應的振動形式的位移矢量矩陣;K為剛度矩陣;M為質(zhì)量矩陣。

為了分析板狀結構中超聲波的傳播特性需,考慮如下的自由邊界條件：

(5)

式中:nj為邊界單位外法向量n的軸向分量。

根據(jù)Bloch-Floquet定理[8]，波動方程的解具有如下形式：

(6)

式中：k=[kx,ky,kz]T為Bloch波矢。

uk(r)為具有空間周期的函數(shù)，可表示為：

(7)

式中：L為晶格平移矢量。

由于無限大板結構和位移的周期性，決定了可以通過分析一個周期(一個元胞)來研究板中的聲波傳播特性。因此，根據(jù)式(10)中的周期性邊界條件，求解不同Bloch波矢對應的特征頻率，即可得到板內(nèi)聲波傳播的頻散關系。

2 有限元特征頻率求解法

筆者采用COMSOL MULTIPHYSICS有限元仿真軟件，結合有限元特征頻率法，對層狀各向異性復合板中蘭姆波的頻散曲線進行求解?？紤]z方向厚度為2d的無限大板結構，為了方便計算板中的頻散曲線，只選取了如圖1所示的元胞，并在x方向使用Floquet周期邊界條件(圖中a為源邊界和目標邊界的距離)。

圖1 有限元模型的邊界條件設置

Floquet周期性邊界條件是周期性邊界條件的一種，一般可通過設置源(板左邊)和目標邊界(板右邊)上的位移場值的位相因子差值(位相因子由x方向本征波矢kx和邊界相對距離確定)，使得整個結構成為元胞的周期性延拓[8-9]。通過引入周期邊界條件可以極大地簡化計算。需要注意的是，引入Floquet周期邊界會使色散曲線在布洛赫邊界(簡約布里淵區(qū)邊界)折疊，對于平板結構來說這個折疊是虛假的?？紤]到布里淵邊界處波矢量最大取值為π/a(即Floquet周期邊界條件中的晶格平移位移量L),可以使用較小的a值將求解的特征頻率折疊推到極高的頻率值，然后通過一個截斷即可得到所需的頻散關系。使用較小的a還可以簡化模型的復雜性，從而減少計算時間。

由于纖維增強型復合材料板內(nèi)的質(zhì)點振動位移與x和y方向有關，故SH波和蘭姆波之間不能完全解耦。因此，對于非波矢y方向的板內(nèi)邊界也需要考慮為周期邊界并做相應處理。通過對波矢k在簡約布里淵區(qū)的掃描，可以求解出該本征方程對應于不同波矢的本征頻率。但是周期性條件的引入會導致計算的收斂性變差，為了提高收斂性，在網(wǎng)格剖分時，需保證周期性邊界條件設置的網(wǎng)格一致。得到波數(shù)與頻率的色散關系曲線后，即可以得到相速度(群速度)與頻厚積的關系曲線。

為了進一步簡化計算量，利用COMSOL中對稱邊界法向位移為零的條件，可保證板內(nèi)的振動關于z方向中心面是對稱的。同理，由反對稱邊界條件可知板內(nèi)的振動關于z方向中心面是反對稱的。采取這種對稱(反對稱)邊界條件的前提是在板厚方向關于中心面對稱，如圖1所示。因此，如果能夠滿足對稱(反對稱)邊界條件的使用條件，就可以減少有限元仿真的一半計算量，而且還可以通過對稱(反對稱)邊界條件分別得到頻散曲線的對稱和反對稱模式。

試驗材料的性能參數(shù)為：x方向楊氏模量為31.18 GPa;y方向楊氏模量為13.91 GPa;xy方向的剪切模量為7.90 GPa;yz方向的剪切模量為5.90 GPa;xy方向的泊松比為0.49;yz方向的泊松比為0.40;密度為1 940 kg·m-1。由于纖維板關于厚度方向?qū)ΨQ，因此仿真中板厚方向設置為多層結構，總厚度為實際板厚的一半，在波矢方向的長度a為0.1 mm。每層的彈性矩陣根據(jù)材料參數(shù)給定的角度進行變換得到。計算得到了各向異性纖維復合板試驗材料中蘭姆波傳播的頻散曲線，0°和45°方向的頻散關系如圖2所示。

圖2 計算得到的各向異性纖維復合板試驗材料中0°和45°方向傳播的蘭姆波頻散曲線

3 試驗及結果分析

試驗材料為風力發(fā)電機葉片簡化模型的纖維增強型多層復合板，該復合板由環(huán)氧樹脂固化玻璃纖維粘結而成。其中，玻璃纖維材料的直徑為14 μm，多層板由0°/45°/-45°的四層循環(huán)結構組成，總厚度為3 mm。圖3(a)為試驗材料的實物照片，圖3(b)為材料的結構模型示意圖。

圖3 纖維增強型多層復合板試驗材料的實物照片和纖維分布結構示意

圖4 超聲測試系統(tǒng)結構框圖

圖5 探頭的布置照片

利用超聲測試系統(tǒng)Ritec SNAP RAM-5000進行試驗，測量了試驗材料中的蘭姆波傳播特性。超聲測試系統(tǒng)結構框圖見圖4，探頭的布置照片如圖5所示。試驗中采用中心頻率為0.75 MHz的壓電換能器作為激發(fā)探頭，1 MHz的寬帶換能器作為接收探頭。發(fā)射信號的脈沖周期數(shù)均為15，發(fā)射端的衰減器對發(fā)射信號進行調(diào)制得到合適的激勵信號幅值。接收信號經(jīng)過前置放大器放大，增益均為20 dB。由示波器顯示和采樣存儲，示波器的采樣頻率為100 MHz，采樣點為10 000點。試驗過程中發(fā)射探頭保持不變，接收探頭間隔10 mm測量一組數(shù)據(jù)。

由于材料的各向異性,不同方向的激勵信號不同。0°方向激勵信號頻率為0.71 MHz，根據(jù)仿真計算其對應的相速度為5 060 m·s-1，群速度為3 440 m·s-1，入射有機玻璃斜楔的傾角為32.2°，試驗采用的斜楔傾角為32°。而45°方向上激勵信號的頻率為0.75 MHz,相速度為4 440 m·s-1，群速度為2 650 m·s-1，入射有機玻璃斜楔的傾角為37.5°，試驗采用的斜楔傾角為37°。在90°方向上激勵信號的頻率為0.52 MHz,相速度為3 455 m·s-1，群速度為780 m·s-1，入射有機玻璃斜楔的傾角為51.5°，試驗采用的斜楔傾角為52°。實測得到的原始信號如圖6所示。對原始信號進行帶通濾波，可以得到所激發(fā)的S1模式信號。由于材料本身的衰減較大，圖6中的接收信號幅值隨著傳播距離增大而迅速降低。沿0°纖維方向的衰減最小，偏離纖維方向越大則衰減越大。

圖6 試驗測量得到的原始信號

圖7 0°方向激勵信號隨距離變換的信號

圖8 45°方向激勵信號隨距離變換的信號

采用互相關法計算，得到了0°，45°方向激勵信號隨距離變換的信號，如圖7,8所示。圖7,8中接收信號的時間差分別為59，38 μs，已知測量間距分別為20,10 mm，可得到蘭姆波傳播群速度結果(見表1)，驗證了有限元仿真計算方法的有效性。

表1 群速度的理論值與試驗值對比

4 結論

基于有限元特征頻率法,求解了各向異性纖維復合多層板中的蘭姆波頻散曲線，該方法利用FLOQUET周期性邊界條件對板結構進行了簡化，可以通過對稱(反對稱)邊界條件分別得到頻散曲線的對稱和反對稱模式。通過有限元計算得到了纖維增強型多層復合板試驗材料在0°和45°方向的相速度和群速度頻散曲線，且試驗測試結果與理論計算結果相吻合，驗證了方法的有效性。為后續(xù)研究超聲波在纖維增強型板中的傳播特性和確定板中缺陷提供了理論基礎。

[1] 劉松平,郭恩明.復合材料無損檢測技術的現(xiàn)狀與展望[J].航空制造技術,2001(3) : 30-32.

[2] 陳亮,王恩報,馬家，等.基于有限元法的薄板超聲Lamb波頻散曲線計算[J].實驗室研究與探索, 2014,33(11):28-32.

[3] 張海燕,劉鎮(zhèn)清,呂東輝,等.全局矩陣法及其在層狀各向異性復合板中的Lamb波傳播特性研究中的應用[J].復合材料學報,2004，21(2):114-120.

[4] 常新龍,尼濤,艾春安,等.層狀復合材料周期結構的超聲傳播頻散特性及均勻化模擬[J].無損檢測，2010,32(10):780-784.

[5] RHEE Sang-ho, LEE Jeong-ki, LEE Jung-ju. The group velocity of lamb wave in fiber reinforced composite plate[J]. Ultrasonics, 2007,47(1/4):55-63.

[6] AULD B A. Acoustic fields and waves in solids [M]. Florida： R E Krieger Publishing Company, 1990.

[7] 吳斌,劉飛,何存富.波導結構頻散分析的特征頻率法及在板條結 構中的應用[J].計算力學學報，2013,30(4):514-518.

[8] 李正中.固體理論[M].北京:高等教育出版社,2002.

[9] MOVCHAN A B, MOVCHAN N V, MCPHEDRAN R C. Bloch-Floquet bending waves in perforated thin plates[J]. Processing of the Royal Society A, 2007,463(2086):2505-2518.

Lamb Wave Characteristic Analysis of Anisotropic Multilayer Composite Using Finite Element Intrinsic Frequency Method

ZHANG Lin-wen1, MA Shi-wei1, CHENG Qian2

(1.School of Mechatronics and Automation, Shanghai University, Shanghai 200444, China; 2.Institute of Acoustics, Tongji University, Shanghai 200092, China)

A method based on the finite element intrinsic frequency method for solving the Lamb wave dispersion curve in an anisotropic composite plate is proposed. The plate structure can be simplified according to the Floquet periodic boundary conditions. For the symmetrically laminated plates with the plate thickness direction, the symmetric (antisymmetric) mode of the dispersion curve is obtained by using the symmetric (antisymmetric) boundary condition. The finite element simulation and experimental measurements were carried out for the fiber reinforced multilayered composite plate, and the validity of the method was verified.

Anisotropic composite plate; Lamb wave; Dispersion curve; Finite element intrinsic frequency method

2017-01-14

國家重大科學儀器與設備開發(fā)專項資助項目(2012YQ150213)；國家自然基金資助項目(61671285)

張林文(1991-),男，碩士研究生,主要從事超聲導波無損檢測研究。

馬世偉， E-mail: masw@shu.edu.cn；

程 茜，E-mail: q.cheng@#edu.cn。

10.11973/wsjc201704014

TG115.28

A

1000-6656(2017)04-0067-05