反證法與康托的對角線論證

李心晴

【摘要】 人類對于實數(shù)的研究，是經(jīng)過許多卓越的數(shù)學(xué)家的努力，才能達到今天的水準，康托對集合論中的無窮集作出了突出貢獻，他的對角線論證，是其中非常重要的里程碑.康托巧妙地通過抽象的論證，證明了自然數(shù)集與實數(shù)集大小的關(guān)系問題.

【關(guān)鍵詞】 自然數(shù)集；實數(shù)集；無窮；反證法

對角線論證，可以回答的問題像是：給你無限長的時間，你能否把所有的實數(shù)數(shù)完？而判斷能不能數(shù)完，本質(zhì)上是在比較自然數(shù)與實數(shù)的多少.問題也就等價于探討自然數(shù)集與實數(shù)集大小的關(guān)系.然而兩個集合元素的個數(shù)都是無窮的，如何來比較它們之間元素個數(shù)的關(guān)系呢？看似沒有頭緒的問題，康托卻巧妙地僅僅通過抽象的論證，就證明了這個看似無從入手的問題.

如何比較兩個集合的大小？

討論如何比較兩個集合的大小，先從一個簡單的例子說起，假設(shè)許多觀眾涌入一個禮堂，我們?nèi)绾闻袛嘤^眾數(shù)和座椅數(shù)的關(guān)系？

第一種方法，數(shù)數(shù)法.在觀眾進來之前，我們可以分別數(shù)一數(shù)觀眾與座椅，然后將兩個數(shù)字加以比較，如果這兩個數(shù)一樣，那么就說明觀眾與座椅數(shù)相等.但是這種方法僅限于集合元素可數(shù)的情況下，在無窮集是沒有辦法實現(xiàn)的.

第二種方法，一一對應(yīng)法.觀眾進入禮堂后找座椅坐下，當(dāng)觀眾全部進入以后，如果剛好把座椅全部坐完，那么人和座椅的數(shù)目就是相等的，在這種狀況下，我們不用通過數(shù)數(shù)就可以判斷兩個集合之間的關(guān)系.而實際上，人們數(shù)數(shù)也是建立在這種一一對應(yīng)的基礎(chǔ)上的，數(shù)數(shù)是把人數(shù)或座椅數(shù)和自然數(shù)做的一一對應(yīng)，一一對應(yīng)的觀念是比自然數(shù)的數(shù)數(shù)更基本的觀念.

喬治·康托對這一概念作出了如下定義：

如果能夠根據(jù)某一法則，使集合M與集合N中的元素建立一一對應(yīng)的關(guān)系，那么，集合M與集合N等價.

為什么（0，1）之間的實數(shù)與全體的實數(shù)一樣多？

將（0，1）線段彎成半圓弧形，圓心為O，半圓下面是一條無限延伸的實數(shù)線.如圖所示.

因為圓弧是由（0，1）線段彎曲而成，所以上面的點仍然代表線段（0，1）上的點.從O點作一條射線，分別交圓弧于A1點，交實數(shù)線于A2點，則A1與A2就是對應(yīng)的，同理可以看出B1與B2對應(yīng)，C1與C2對應(yīng)，而實數(shù)線無窮遠處的點與圓弧的兩個端點對應(yīng)，這樣整個圓弧上的點就和這條無限延伸的實數(shù)線上的點一一對應(yīng)起來，這也就證明了（0，1）集合與實數(shù)集的大小是相等的，（0，1）之間的實數(shù)與全體的實數(shù)一樣多.

為什么實數(shù)永遠數(shù)不完？

判斷實數(shù)能不能數(shù)完，實質(zhì)是比較自然數(shù)集與實數(shù)集之間的大小關(guān)系，因為兩個集合都是無窮集，所以用數(shù)數(shù)的辦法是不可能辦到的，而只能采用一一對應(yīng)的辦法.一一對應(yīng)，也就是建立自然數(shù)與實數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，因為前面已經(jīng)論證（0，1）之間的實數(shù)與全體的實數(shù)一樣多，所以在這里完全可以用（0，1）之間的實數(shù)代替全體的實數(shù)集.問題轉(zhuǎn)化為比較（0，1）集合與自然數(shù)集之間的大小關(guān)系.

康托的對角線論證，采用的是大家熟悉的反證法，首先假定區(qū)間（0，1）內(nèi)的實數(shù)能夠與自然數(shù)一一對應(yīng)，然后，從這一假定出發(fā)最終推出邏輯矛盾.對應(yīng)關(guān)系我們假設(shè)如下：從（0，1）隨機取一個數(shù)記為a1與自然數(shù)1對應(yīng)，然后再取一個數(shù)記為a2與自然數(shù)2對應(yīng)，依此類推，我們不在乎實數(shù)被取到的順序，而是只在乎最終產(chǎn)生的一一對應(yīng).為了講清楚康托的論證，我們假定存在如下的對應(yīng)關(guān)系：

按照假設(shè)所有的實數(shù)都被對應(yīng)完畢，然而康托卻找到了一個不在這個表列當(dāng)中的實數(shù)，是我們漏掉的實數(shù).他是這樣找到的：X1中取小數(shù)點后第一位，X2取小數(shù)點后第二位，X3取小數(shù)點后第三位，依此類推，這樣就得到一個數(shù)x=0.2116…下面我們只要做一下改變，就可以創(chuàng)造出一個不在這個表列當(dāng)中的數(shù)，將X中小數(shù)點后每位的數(shù)都加1（特殊9變0，不用進位），這樣就產(chǎn)生了一個全新的數(shù)（Xm=0.3227…）不在這個表列當(dāng)中.這是因為Xm的小數(shù)點后第一位與X1小數(shù)點后第一位不同，Xm的小數(shù)點后第二位與X2的小數(shù)點后第二位不同，依次類推，這樣可以看出產(chǎn)生的Xm與表列當(dāng)中的實數(shù)小數(shù)點后肯定有一位是不同的，故Xm一定不在這個表列當(dāng)中.由于假定的是區(qū)間（0，1）內(nèi)的實數(shù)能夠與自然數(shù)一一對應(yīng)，一一對應(yīng)是不可能產(chǎn)生不在這個表列當(dāng)中的實數(shù)的，而實際卻產(chǎn)生了這樣的實數(shù)Xm，就得出矛盾.

康托對角線證法，巧妙地利用反證法，僅僅通過抽象的討論就證明了這種一一對應(yīng)的關(guān)系是不可能存在的.實數(shù)是永遠不可能被對應(yīng)完畢的，實數(shù)是不可數(shù)的.通過本文，筆者希望讀者們在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)家思想的同時，對實數(shù)與自然數(shù)的關(guān)系有進一步的認識，對反證法的魅力有更深的感受，對數(shù)學(xué)的智慧有更深的領(lǐng)悟.