淺析數(shù)列極限與函數(shù)極限的異同

游志林

摘要：極限、微分、積分、級(jí)數(shù)、函數(shù)的連續(xù)性等相關(guān)概念和性質(zhì)是各大學(xué)師范院校數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程《數(shù)學(xué)分析》中重點(diǎn)研究的內(nèi)容，因其知識(shí)理論和方法已經(jīng)滲透到自然科學(xué)、工程技術(shù)的各個(gè)領(lǐng)域，導(dǎo)致對社會(huì)的發(fā)展起著很重要的推進(jìn)作用。其中極限的思想尤其重要，極限又包含數(shù)列極限和函數(shù)極限。因此，研究數(shù)列極限和函數(shù)極限的相同點(diǎn)和不同之處，對于學(xué)好高等數(shù)學(xué)起著很重要的意義。

關(guān)鍵詞：數(shù)列極限；函數(shù)極限； 異同

引言：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，其特殊性在于其定義域是全體正整數(shù)集，故是不連續(xù)、是離散的變量；而函數(shù)的定義域一般是全體實(shí)數(shù)集，由實(shí)數(shù)的稠密性可知，該自變量是連續(xù)的。由于數(shù)列和函數(shù)之間的這種不同，就間接導(dǎo)致數(shù)列極限和函數(shù)極限也有所不同，本文是在參考華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系主編的教材《數(shù)學(xué)分析》第四版的基礎(chǔ)上，列舉出了幾點(diǎn)關(guān)于數(shù)列極限和函數(shù)極限的異同之處。

1 數(shù)列極限

關(guān)于數(shù)列極限，先舉一個(gè)我國古代關(guān)于數(shù)列的例子?！肚f子—天下篇》中：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！逼浜x是：一根長為一尺的木棒，每天取下一半，這樣的過程可以永遠(yuǎn)進(jìn)行下去。不難看出，其通項(xiàng){ }隨著天數(shù)n的增大而無限地接近于0。在這一思想的指引下，教材給出了數(shù)列極限的精確定義：設(shè) {An} 為數(shù)列，a 為定數(shù)，若對任給的正數(shù) ε（無論它多么?。偞嬖谡麛?shù)N，使得當(dāng) n>N 時(shí)，有 ∣An-a∣<ε ，則稱數(shù)列{An} 收斂于a，定數(shù) a 稱為數(shù)列 {An} 的極限。其中ε的作用在于衡量數(shù)列通項(xiàng){An} 與定數(shù)a的大小，ε越小，說明{An} 與a 的接近度越好。由于ε的任意性，可以小到任意?。ǖ毚笥?），故可以理解為數(shù)列通項(xiàng){An} 無限地接近定數(shù)a；而N的作用在于不管給定多么小的正數(shù)ε，總能保證存在大于N后的每一項(xiàng)都和a無限接近，而不在乎前面有限項(xiàng)與a的接近程度，在于刻畫n→+∞這一過程。其中，由于n是正整數(shù)，不可能取負(fù)值，故其趨近方式只有一種，即趨于+∞，但是極限值可以取實(shí)數(shù)R，故極限值有a、∞、+∞、—∞這4種值，因此，總的來說，數(shù)列極限只有4種類型。

2 函數(shù)極限

對于函數(shù)極限，先分析一下自變量x的趨近方式，由于x是取自全體實(shí)數(shù)，故趨近方式不僅有上述數(shù)列中所提及的+∞，還可以是∞、—∞，相比數(shù)列極限，更特殊的是還可以趨于某一點(diǎn)x0， 或者x0的左側(cè)、右側(cè)（即單側(cè)極限）趨近。故自變量x的趨近方式共有6種，而極限值和數(shù)列極限完全一樣，有4種。因此，函數(shù)極限共24種類型。比如，拿x→+∞，f（x）→a為例，其精確定義如下： 對于任意給定的正數(shù)ε（無論它多么小），總存在正數(shù)M ，使得當(dāng)x>M時(shí)有 |f（x）-a|<ε ，那么常數(shù)a就叫做函數(shù)f（x）當(dāng) x→+∞時(shí)的極限值。該定義和數(shù)列極限的定義有相同之處，其中的ε也是和數(shù)列極限中的ε相同，用于衡量f（x）與a的接近程度；正數(shù)M的作用也與數(shù)列極限定義中的N相類似，說明x充分大的程度，但這里考慮的是比M大的所有實(shí)數(shù)x，而不僅僅是數(shù)列極限中的正整數(shù)n，這是和數(shù)列極限定義中最本質(zhì)的區(qū)別。

3 性質(zhì)的異同

（1）由于極限存在則其值必唯一，故數(shù)列極限和函數(shù)極限如果存在，則極限值都是唯一的；

（2）如果數(shù)列極限存在，則它是有界的，而且是整體有界，即存在正數(shù)M，使得對一切正整數(shù)n有|An|≤M ；而函數(shù)極限如果存在，它也是有界的，可是這種有界性和數(shù)列的有界性不同，它是一種局部性，比如當(dāng)x→+∞時(shí)，函數(shù)極限的局部有界性為表述為：即存在正數(shù)M，使得f（x）在x>M的領(lǐng)域上有|f（x）|≤M，這里強(qiáng)調(diào)的是局部性，而不管小于M的函數(shù)值是否有界，所以，函數(shù)極限的局部性質(zhì)是和數(shù)列極限有著本質(zhì)區(qū)別。同理，數(shù)列極限還有保不等式性、迫斂性、保號(hào)性，而函數(shù)極限則對應(yīng)于局部保不等式性、局部迫斂性、局部保號(hào)性等性質(zhì)；

（3）判別數(shù)列極限存在的方法有主要是單調(diào)有界定理和柯西收斂準(zhǔn)則，這兩大著名方法用于判斷數(shù)列極限是否存在非常有用。在單調(diào)有界定理中，如果一個(gè)數(shù)列單調(diào)遞增，而且存在上界，則該數(shù)列極限存在且極限值等于其上確界，同理，如果一個(gè)數(shù)列單調(diào)遞減，且存在下界，則該數(shù)列極限存在且極限值等于其下確界。在柯西收斂準(zhǔn)則中，反映的是這樣一個(gè)事實(shí)：收斂數(shù)列各項(xiàng)的值越到后面，彼此越是接近，以至于后面的任意兩項(xiàng)之差的絕對值可以小于事先給定的任意正數(shù)ε，柯西收斂準(zhǔn)則相比單調(diào)有界定理的好處在于無需借助數(shù)列以外的數(shù)a，只需根據(jù)數(shù)列本身就能判別其斂散性。相比函數(shù)極限的存在條件，其中的柯西準(zhǔn)則和數(shù)列的完全類似，而不同的是函數(shù)極限多了一種歸結(jié)原則（海涅定理）。當(dāng)然，這種方法我認(rèn)為在實(shí)際應(yīng)用中是不太現(xiàn)實(shí)的，因?yàn)槭諗坑趚0的數(shù)列有很多，所以，我們不能一一去驗(yàn)證其極限值。通常用的最多的是它的推論：即找到一個(gè)收斂于x0的數(shù)列，函數(shù)極限值不存在或找到兩個(gè)收斂于x0的數(shù)列，但這兩個(gè)函數(shù)極限值不相等。這與判斷數(shù)列極限是否存在的尋找子列的方法一樣，可以說，這兩種思路完全一樣。當(dāng)然函數(shù)極限也存在單調(diào)有界定理，該定理在函數(shù)表達(dá)中由于單調(diào)有增減變化，所以只能研究一側(cè)，即只能研究單側(cè)極限。其方法和數(shù)列極限相類似，只需稍做一些修改即可。

（4）數(shù)列極限和函數(shù)極限在應(yīng)用上也有很多相似的地方，比如四則運(yùn)算及其證明過程，平均收斂和幾何收斂及其證明以及一些構(gòu)造性方法，兩者的思路十分相似，只需稍微改動(dòng)即可。但是這里要強(qiáng)調(diào)一下，在使用洛必達(dá)法則的時(shí)候，如果遇到處理數(shù)列極限時(shí)，應(yīng)該先轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限進(jìn)行求解，然后再應(yīng)用歸結(jié)原則得出數(shù)列極限值，因?yàn)閷τ谠跀?shù)列極限形式下不能使用洛必達(dá)法則，原因是離散變量求導(dǎo)數(shù)是沒有意義的，這一點(diǎn)必須特別注意。

總結(jié)：本文主要以華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系主編的第四版《數(shù)學(xué)分析》為例，列舉了幾個(gè)數(shù)列和函數(shù)極限的表示方法，從定義、性質(zhì)、收斂條件、應(yīng)用4方面淺談了自己的一些看法，若有不妥的地方，懇切希望讀者指出，我定給予修正。

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