平面P波作用下半空間中三維洞室的動(dòng)力響應(yīng)

梁建文　胡淞淋　劉中憲　巴振寧

摘要：采用一種高精度間接邊界積分方程法求解了平面P波入射下彈性半空間中三維洞室的動(dòng)力響應(yīng)。在精度檢驗(yàn)基礎(chǔ)上，以圓球形洞室為例，對(duì)地表位移動(dòng)力響應(yīng)和洞周動(dòng)應(yīng)力集中特征進(jìn)行計(jì)算分析，并將三維模型解答同相應(yīng)二維模型解答進(jìn)行比較。研究表明，半空間中三維洞室周圍波動(dòng)特征十分復(fù)雜，位移和應(yīng)力峰值及其空間分布特征強(qiáng)烈依賴于入射波頻率、方向和洞室埋深?？傮w上，三維洞室上方地表位移放大效應(yīng)要弱于二維情況，除個(gè)別頻率外，標(biāo)準(zhǔn)化位移幅值在3.0以下；三維球形洞室X-Z截面內(nèi)周向應(yīng)力空間分布特征接近于二維情況，動(dòng)應(yīng)力集中幅度略大于后者。三維地下洞室對(duì)波的散射應(yīng)該建立三維模型進(jìn)行計(jì)算分析。

關(guān)鍵詞：平面P波；洞室；散射；間接邊界積分方程法；動(dòng)應(yīng)力集中

中圖分類號(hào)：0347.4；U453.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1004-4523（2017）01-0155-12

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2017.01.021

引言

彈性波作用下地下洞室的動(dòng)力響應(yīng)一直是地下工程中引人關(guān)注的研究課題，問題可采用解析法或數(shù)值法求解。文獻(xiàn)[1]采用波函數(shù)展開法研究了全空間中二維洞室在彈性波入射下的動(dòng)應(yīng)力集中問題。隨后，文獻(xiàn)[2]將解答推廣到半空間，采用波函數(shù)展開法研究了平面SH波在半空間中二維洞室周圍的散射問題。文獻(xiàn)[3]采用漸進(jìn)匹配法研究了平面SH波入射時(shí)地下二維洞室周圍的動(dòng)力響應(yīng)問題。文獻(xiàn)[4]利用直接邊界元法研究了二維洞室對(duì)彈性波的動(dòng)應(yīng)力集中問題。文獻(xiàn)[5]采用一種特殊的直接邊界元法，研究了彈性半空間無限長地下洞室對(duì)斜入射體波和表面波的散射問題。考慮到天然土體的成層特性，文獻(xiàn)[6]利用間接邊界元法給出了彈性層狀半空間中地下二維洞室對(duì)入射平面P波的散射解答，文獻(xiàn)[7-8]采用相同方法，進(jìn)一步研究了彈性層狀半空間中無限長洞室對(duì)斜入射平面SH波的三維散射問題。

值得注意的是，以上的研究多建立二維或二維半模型進(jìn)行求解，而對(duì)于半空間中三維洞室，目前的研究還比較少。文獻(xiàn)[9]采用T-矩陣法研究了Rayleigh波入射下球形洞室附近地表位移響應(yīng)。文獻(xiàn)[10]采用直接邊界單元法給出了球形洞室對(duì)SH波和Rayleigh波的散射。文獻(xiàn)[11]則采用間接邊界元法研究了層狀彈性半空問中三維洞室對(duì)彈性波的散射問題。

近年來，一種間接邊界積分方程法在彈性波散射領(lǐng)域取得了廣泛的應(yīng)用。文獻(xiàn)[12-13]采用該方法研究了半空間中二維洞室對(duì)平面波的散射，文獻(xiàn)[14]研究了三維凹陷地形對(duì)地震波的散射。本文基于該方法，結(jié)合半空間力源格林函數(shù)，求解了彈性半空問中三維洞室對(duì)平面P波的散射問題，通過與現(xiàn)有結(jié)果的對(duì)比，驗(yàn)證了方法的精度。在此基礎(chǔ)上，將三維洞室解答同二維洞室解答進(jìn)行了對(duì)比分析，從地表位移動(dòng)力響應(yīng)和洞室周邊動(dòng)應(yīng)力特征兩方面分別闡述了三維和二維模型存在的異同，并探討了三維球形洞室對(duì)P波的散射特征。

1.計(jì)算模型。

如圖1所示，半空間中球形洞室，半徑為a，球心位于O1處，洞室埋深為d，入射波為平面P波，其人射角為θ。假定半空間介質(zhì)為均勻、彈性和各向同性，剪切模量為u，拉梅系數(shù)為γ，介質(zhì)中的橫波和縱波波速分別為Cs和Cp，相應(yīng)波數(shù)分別為Ks和Kp。根據(jù)本文方法，對(duì)問題求解時(shí)需引入虛擬波源面S，形狀與洞室表面S一致，半徑為Ro。

2.計(jì)算方法

本文采用的間接邊界積分方程法是在邊界附近設(shè)定虛擬波源面，散射波由虛擬波源的作用疊加而得，繼而由邊界條件建立方程求解得到虛擬波源的幅值。針對(duì)本文問題，首先計(jì)算自由場(chǎng)響應(yīng)，然后求解三維半空間力源格林函數(shù)，將其作為模擬散射場(chǎng)的基本解，并由洞室表面零應(yīng)力邊界條件確定力源幅值，最后疊加自由場(chǎng)和散射場(chǎng)響應(yīng)，求得總波場(chǎng)。

2.1基本解

半空間力源格林影響函數(shù)是指在半空間（無洞室存在）內(nèi)部作用一個(gè)集中力時(shí)，半空間中任一點(diǎn)的動(dòng)力響應(yīng)。本文參考Lamb的求解思路，采用全空問疊加的方法，結(jié)合積分變換，在柱坐標(biāo)系下求解了彈性半空問中作用三個(gè)方向力源的格林影響函數(shù)。

具體方法為：引入勢(shì)函數(shù)，將穩(wěn)態(tài)動(dòng)力平衡方程轉(zhuǎn)化為由勢(shì)函數(shù)表示的波動(dòng)方程，再將方程中所有參量對(duì)θ1，進(jìn)行傅里葉變換以及Hankel變換，得到方程在波數(shù)域內(nèi)的通解。然后，根據(jù)作用力平面位移和應(yīng)力連續(xù)的邊界條件，分別求得在地表對(duì)稱位置處，兩個(gè)同樣大小埋深力源的全空間動(dòng)力響應(yīng)，并將二者在地表處進(jìn)行疊加，所得殘余應(yīng)力反向加載到地表上，采用相同邊界條件，求得地表作用力下的動(dòng)力響應(yīng)。最后將兩部分的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行疊加，再對(duì)其進(jìn)行Hankel和傅里葉的逆變換，得到頻域內(nèi)三維彈性半空間中埋置力源的格林影響函數(shù)。