并聯(lián)雙振子聲子晶體梁結(jié)構(gòu)帶隙特性研究

吳旭東　左曙光　倪天心　范珈璐

摘要：為使聲子晶體結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)范圍更寬的多帶隙特性，基于單振子型聲子晶體結(jié)構(gòu)彎曲振動(dòng)帶隙頻率范圍窄的局限，提出了一種雙側(cè)振子布置形式的局域共振聲子晶體梁結(jié)構(gòu)，并基于傳遞矩陣法和有限元法對(duì)其進(jìn)行了無(wú)限周期和有限周期的帶隙計(jì)算，分析了雙帶隙配合減振的特性；試制了聲子晶體梁樣件并進(jìn)行傳遞特性試驗(yàn)，通過(guò)仿真計(jì)算與試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比，驗(yàn)證了有限元法對(duì)有限周期結(jié)構(gòu)帶隙預(yù)測(cè)的準(zhǔn)確性和有效性；最后基于有限元方法探討了周期數(shù)和晶格常數(shù)對(duì)雙振子梁帶隙特性的影響。為并聯(lián)式雙振子聲子晶體結(jié)構(gòu)的工程應(yīng)用提供了理論依據(jù)和工程參考。

關(guān)鍵詞：聲子晶體；彎曲振動(dòng)；帶隙；并聯(lián)雙振子

中圖分類(lèi)號(hào)：0328；TB535

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1004-4523（2017）01-0079-07

DOI：10.16385/j.cnki.issn.i004-4523.2017.01.011

引言

梁狀結(jié)構(gòu)是在工程領(lǐng)域中最常見(jiàn)的一種基本結(jié)構(gòu)形式，梁結(jié)構(gòu)在機(jī)械系統(tǒng)中起到連接、承載的作用，同時(shí)也是車(chē)內(nèi)結(jié)構(gòu)振動(dòng)的主要傳遞路徑之一。因此梁狀結(jié)構(gòu)在機(jī)械結(jié)構(gòu)的振動(dòng)與噪聲控制方面是主要的研究對(duì)象之一。國(guó)內(nèi)外許多學(xué)者針對(duì)梁結(jié)構(gòu)的振動(dòng)（彎曲振動(dòng)為主）的傳遞特性，采用不同的方法以試圖達(dá)到減振降噪的目的。

近20年來(lái)，由周期結(jié)構(gòu)逐漸演變的聲子晶體結(jié)構(gòu)的發(fā)展對(duì)結(jié)構(gòu)的減振降噪提供了新的設(shè)計(jì)思路。而一維聲子晶體結(jié)構(gòu)作為具有一定振動(dòng)帶隙的梁狀結(jié)構(gòu)，因而被越來(lái)越多地引入到彎曲振動(dòng)梁的減振設(shè)計(jì)中。目前研究的聲子晶體帶隙機(jī)理有兩種：Bragg散射型帶隙機(jī)理與局域共振型帶隙機(jī)理，其中局域共振帶隙機(jī)理已經(jīng)在多種聲子晶體結(jié)構(gòu)中得以應(yīng)用。局域共振聲子晶體借鑒了機(jī)械工程領(lǐng)域的動(dòng)力吸振器的概念，采用懸掛彈性質(zhì)量（振子）的形式，作為一種工程實(shí)踐中最常見(jiàn)結(jié)構(gòu)，學(xué)者提出了分布式和連續(xù)式動(dòng)力吸振器，以拓展波形衰減的幅度和頻率范圍，這些結(jié)構(gòu)能夠使得小尺寸結(jié)構(gòu)控制大波長(zhǎng)，實(shí)現(xiàn)對(duì)1000Hz以下的中低頻振動(dòng)的有效衰減。

此前的研究對(duì)懸掛多振子的聲子晶體梁彎曲帶隙進(jìn)行過(guò)分析，但其所提出的實(shí)際結(jié)構(gòu)與簡(jiǎn)化假設(shè)的模型在連接點(diǎn)的位置描述上并不一致；其采用的橡膠環(huán)形式彈簧因比較大的材料阻尼影響了振動(dòng)能量向振子的轉(zhuǎn)移，未能充分發(fā)揮多振子布置拓寬帶隙寬度和分布的潛力。

針對(duì)傳統(tǒng)單振子減振帶隙頻帶窄及此前多振子研究中的局限，本文提出了雙振子布置聲子晶體結(jié)構(gòu)，通過(guò)不同振子系統(tǒng)在基體梁兩側(cè)的對(duì)稱(chēng)布置，能夠有效地組合雙振子形成的獨(dú)立帶隙，并仍能完整地保留原單振子系統(tǒng)的帶隙衰減能力。本文基于傳遞矩陣法，分析單振子梁彎曲振動(dòng)彈性波的傳遞特性的局限，從而設(shè)計(jì)雙振子結(jié)構(gòu)，結(jié)合有限元仿真與試驗(yàn)測(cè)試，驗(yàn)證了該結(jié)構(gòu)的帶隙特性和有限元法的有效性，最后基于有限元方法探討了周期數(shù)和晶格常數(shù)對(duì)雙振子梁帶隙特性的影響。

1.并聯(lián)式雙振子梁彎曲振動(dòng)帶隙$I-算

1.1基于無(wú)限周期的振子梁帶隙計(jì)算

本文中采用基于歐拉梁振動(dòng)假設(shè)的傳遞矩陣法計(jì)算無(wú)限周期的振子梁結(jié)構(gòu)的傳遞特性。擬采用的多振子并聯(lián)聲子晶體梁可以如圖1進(jìn)行簡(jiǎn)化。此簡(jiǎn)化模型與文獻(xiàn)中提出的形式一致，因此本文中不再贅述對(duì)傳遞矩陣的推導(dǎo)，直接給出傳遞矩陣的表達(dá)式。

根據(jù)Bloch定理，在對(duì)4×4的傳遞矩陣T求解特征值時(shí)，會(huì)產(chǎn)生共軛的兩對(duì)特征值，并對(duì)應(yīng)解得2對(duì)共軛的波失。參照文獻(xiàn)[14]的做法，本文中選取虛部絕對(duì)值最小的波失作為波傳遞特性的表征，對(duì)應(yīng)著在無(wú)限結(jié)構(gòu)中能傳遞到最遠(yuǎn)的振型。在此種振動(dòng)模式下帶有非零虛部的波失對(duì)應(yīng)著無(wú)法在結(jié)構(gòu)中傳播的特定頻率的彎曲振動(dòng)波形，即在相應(yīng)頻率處產(chǎn)生了彎曲振動(dòng)的帶隙，從而得到聲子晶體梁的傳遞特性。

根據(jù)表1的材料和幾何參數(shù)，分別對(duì)兩種單振子及其組合成的雙振子聲子晶體梁的帶隙進(jìn)行了數(shù)值計(jì)算，結(jié)果如圖2所示。

由計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，并聯(lián)式雙振子聲子晶體梁相較于單振子形成了雙帶隙，拓寬了原有單振子結(jié)構(gòu)的帶隙范圍。

與文獻(xiàn)[10]的計(jì)算結(jié)果不同的是，因其所選擇的兩種振子（鐵和銅）的差異相對(duì)較小，導(dǎo)致計(jì)算出的兩個(gè)帶隙中較低頻段的帶隙寬帶被嚴(yán)重壓縮，導(dǎo)致帶隙與單振子相比沒(méi)有太大區(qū)別；同時(shí)其實(shí)際結(jié)構(gòu)的兩種振子的作用力與基體梁的耦合點(diǎn)并非在同一點(diǎn)，只是比較接近，因此也為計(jì)算結(jié)果帶來(lái)一點(diǎn)的誤差。本文中的結(jié)構(gòu)，兩種振子在同一耦合點(diǎn)處產(chǎn)生作用力，且兩種振子的差異較大，因此計(jì)算帶隙有了較為明顯的拓寬效應(yīng)。

1.2基于有限周期的振子梁帶隙計(jì)算

實(shí)際應(yīng)用中，不存在無(wú)限周期的梁結(jié)構(gòu)，因此本文通過(guò)有限元方法分別建立了有限周期的單、雙振子梁結(jié)構(gòu)，采用矩形截面梁，連接彈簧采用線彈性矩形橡膠塊進(jìn)行模擬。網(wǎng)格單元采用連續(xù)三維實(shí)體單元C3D8R，仿真中梁為自由梁，在一端施加特定頻率范圍的單位幅值的加速度正弦激勵(lì)，在梁的另一端測(cè)量加速度響應(yīng)并計(jì)算其頻響函數(shù)，即能獲得目標(biāo)頻段內(nèi)實(shí)際結(jié)構(gòu)對(duì)彎曲振動(dòng)的衰減特性（帶隙結(jié)構(gòu)）。

傳統(tǒng)設(shè)計(jì)的單振子聲子晶體梁的振子都是布置在基體梁的一側(cè)，通過(guò)上述的計(jì)算結(jié)果可知，單振子結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的帶隙存在頻帶單一、寬度窄的局限，本文從聲子晶體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)角度出發(fā)，旨在通過(guò)多振子布置實(shí)現(xiàn)聲子晶體結(jié)構(gòu)的帶隙拓展。

本文采用兩種振子等晶格常數(shù)對(duì)稱(chēng)布置的結(jié)構(gòu)形式，如圖3所示，研究不同的振子布置形式下聲子晶體結(jié)構(gòu)的帶隙特性，參數(shù)設(shè)置如表1所示。

仿真過(guò)程中同時(shí)建立兩種單振子梁結(jié)構(gòu)，便于與雙振子結(jié)構(gòu)進(jìn)行比較，通過(guò)有限元計(jì)算三種聲子晶體結(jié)構(gòu)在0～1400Hz頻率范圍內(nèi)的彎曲振動(dòng)傳遞特性曲線，結(jié)果如圖4所示。

由圖4可以看出，三條曲線分別表示單振子梁一、單振子梁二和雙振子梁的加速度頻率響應(yīng)函數(shù)，結(jié)果表明這種雙振子對(duì)側(cè)布置結(jié)構(gòu)能很完整的體現(xiàn)出了兩種振子各自的帶隙特性，很明顯地能夠判斷出頻段較低的帶隙是由振子二的局域共振特性產(chǎn)生，兩者的起始頻率完全一致，帶隙內(nèi)衰減峰值頻率均為480Hz；頻率較高的帶隙由振子一產(chǎn)生，帶隙內(nèi)衰減峰值頻率皆為952Hz。

此外，從圖中觀察到雙振子梁的高頻帶隙相比單振子一的帶隙在寬度上有所增加，主要體現(xiàn)為截止頻率的升高，帶隙起止頻率從原本的944～1180Hz拓寬到944～1239Hz，帶隙寬度增加了約60Hz，說(shuō)明這種雙振子布置形式能對(duì)單振子形式下的高頻帶隙起到一定的拓寬作用。

由于兩個(gè)帶隙分別由兩種振子產(chǎn)生，其各自的局域共振模態(tài)是相互獨(dú)立的，因此可以通過(guò)對(duì)兩個(gè)振子的獨(dú)立設(shè)計(jì)，通過(guò)振子參數(shù)控制兩個(gè)帶隙的位置，從而利用多振子布置結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)聲子晶體梁的多帶隙分布特性。

2.聲子晶體梁傳遞特性試驗(yàn)

2.1樣件制備及測(cè)量

在試驗(yàn)樣件的制備過(guò)程中，關(guān)鍵在于確定振子與基體梁的彈簧連接形式。前文對(duì)聲子晶體梁帶隙特性的數(shù)值仿真和有限元計(jì)算的研究中，都將聲子晶體梁的組成材料認(rèn)為是理想的無(wú)阻尼材料，而實(shí)際情況下材料的阻尼特性是不可忽略的。

此外在實(shí)際應(yīng)用中橡膠材料的配方眾多，在試驗(yàn)樣件的設(shè)計(jì)中難以控制橡膠彈簧的連接剛度，因此本文采用一種新型金屬?gòu)椈勺鳛檫B接元件，如圖5（a）所示，一方面金屬材料的阻尼因子普遍在-3數(shù)量級(jí)左右，可視為無(wú)阻尼彈簧；另一方面該彈簧規(guī)格眾多，選用不同直徑和長(zhǎng)度的彈簧，剛度范圍可以從2N/m變化到600N/mm，結(jié)合振子塊質(zhì)量的設(shè)定，足以滿足聲子晶體梁減振帶隙設(shè)計(jì)要求。

試驗(yàn)樣件利用45號(hào)鋼加工制成基體梁與振子塊，利用模具螺旋彈簧作為連接彈簧，所選用的彈簧型號(hào)的剛度為K=313.6N/mm，彈簧質(zhì)量為M_s=0.03kg；聲子晶體梁與振子的結(jié)構(gòu)尺寸參數(shù)如表2所示；試驗(yàn)樣件的晶格常數(shù)取為a=0.75cm。

試驗(yàn)樣件的制備過(guò)程中使用502膠粘劑粘貼試件，通過(guò)反復(fù)擠壓以避免材料粘接處產(chǎn)生空氣泡或裂隙，需至少靜置12小時(shí)以保證其完全固化。

試驗(yàn)中利用激振器產(chǎn)生振動(dòng)輸入能量對(duì)聲子晶體梁進(jìn)行激振，在數(shù)據(jù)采集中需要采集聲子晶體梁幾個(gè)測(cè)點(diǎn)的加速度信號(hào)（如圖6所示）。

2.2試驗(yàn)結(jié)果分析

最終通過(guò)對(duì)獲得的激勵(lì)與響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行計(jì)算，響應(yīng)信號(hào)與激勵(lì)信號(hào)之比即為聲子晶體梁的振動(dòng)傳遞特性，同時(shí)將試驗(yàn)結(jié)果與計(jì)算結(jié)果做比較，如圖7，8所示。

圖7（a），（b）分別給出了試驗(yàn)測(cè)量所得的加速度頻率響應(yīng)函數(shù)、有限元仿真計(jì)算下兩種單振子聲子晶體梁在彎曲振動(dòng)激勵(lì)下的傳遞特性曲線以及通過(guò)數(shù)值仿真模型計(jì)算的帶隙結(jié)構(gòu)曲線。對(duì)比兩種單振子聲子晶體梁的帶隙計(jì)算結(jié)果，兩種單振子梁分別在319～552Hz和472～647Hz頻段范圍有一個(gè)明顯的振動(dòng)帶隙，振子一聲子晶體梁在帶隙內(nèi)的振動(dòng)衰減量在40dB左右，振子二的衰減量為35 dB左右，無(wú)論從振動(dòng)帶隙的起止頻率或是帶隙內(nèi)的振動(dòng)衰減幅值上看，試驗(yàn)結(jié)果與有限元仿真結(jié)果的吻合度較高，并且兩者均能很明顯地體現(xiàn)出數(shù)值仿真計(jì)算中的帶隙結(jié)構(gòu)。

圖8分別給出了通過(guò)試驗(yàn)測(cè)量所得的加速度頻率響應(yīng)函數(shù)、有限元仿真計(jì)算下雙側(cè)等晶格常數(shù)振子聲子晶體梁在彎曲振動(dòng)激勵(lì)下的傳遞特性曲線。這兩種方法所得到帶隙結(jié)構(gòu)相一致，在320～400Hz和480～700 Hz存在分別由兩種振子所形成的兩個(gè)振動(dòng)帶隙。通過(guò)試驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比，也驗(yàn)證了本文所采用的數(shù)值仿真模型與有限元計(jì)算方法的有效性和準(zhǔn)確性。

最終將三種聲子晶體梁的振動(dòng)傳遞特性試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行比較，如圖9所示。從圖中可以很明顯地看出雙振子梁的兩個(gè)帶隙分別由兩種振子各自形成，但從帶隙的起止頻率上看，雙振子梁兩個(gè)帶隙的起始頻率與單振子相符，但在截止頻率上有所差異，總體上體現(xiàn)出一種“低頻帶隙寬度被縮窄、高頻帶隙被拓寬”的現(xiàn)象。這是由于理論上兩個(gè)振子分別形成的帶隙有一段重合頻率的存在，使得低頻帶隙的帶隙截止處振動(dòng)模態(tài)與高頻帶隙的起始處振動(dòng)模態(tài)發(fā)生相互影響作用，使兩個(gè)帶隙之問(wèn)出現(xiàn)了一段通帶頻率；而高頻帶隙的拓寬現(xiàn)象之前仿真計(jì)算中得出的結(jié)果是一致的。

可見(jiàn)，利用有限元法進(jìn)行有限周期聲子晶體的振子布置形式設(shè)計(jì)時(shí)可以實(shí)現(xiàn)較為準(zhǔn)確的帶隙預(yù)測(cè)。

3.雙振子梁帶隙特性的影響分析

3.1周期數(shù)的影響

從前述的計(jì)算中可知，振子周期數(shù)的多少對(duì)帶隙也有重要的影響。從理論上說(shuō)，周期數(shù)越多其減振特性越好，而實(shí)際中由于結(jié)構(gòu)尺寸的限制、輕量化要求等等，需要利用盡可能少的周期滿足預(yù)期的減振效果。

為了探明聲子晶體結(jié)構(gòu)中周期數(shù)與振動(dòng)衰減量之間的關(guān)系，建立帶有20個(gè)振子（10個(gè)周期）雙側(cè)布置的聲子晶體梁模型進(jìn)行近一步的比較，仿真模型與對(duì)比結(jié)果如圖10所示。

從圖中可以明顯地看出這三條傳遞特性曲線之間反映出一個(gè)差異，其主要體現(xiàn)在振動(dòng)帶隙的寬度上：?jiǎn)蝹?cè)布置形式的振動(dòng)帶隙起止頻率為944～1156Hz，而雙側(cè)布置形式的振動(dòng)帶隙起止頻率為944～1470Hz左右，雙側(cè)布置振子形式增大了帶隙的截止頻率，對(duì)帶隙產(chǎn)生了一定的拓寬作用，帶隙寬度從212Hz拓寬了2.5倍到達(dá)530Hz。

可見(jiàn)，雙側(cè)振子的布置方式可以在較少的周期內(nèi)實(shí)現(xiàn)帶隙范圍的拓寬，且在一定程度上保證振動(dòng)的衰減量。

3.2晶格常數(shù)的影響

對(duì)振子型聲子晶體梁而言，晶格常數(shù)主要對(duì)彎曲振動(dòng)帶隙的寬度產(chǎn)生影響，晶格常數(shù)的減小有助于增強(qiáng)帶隙對(duì)振動(dòng)衰減能力，但同時(shí)隨著晶格常數(shù)的減小，在一定長(zhǎng)度范圍內(nèi)基體梁上的振子數(shù)目就增多了，使得整個(gè)系統(tǒng)的附加質(zhì)量增大。而前文設(shè)計(jì)的雙側(cè)布置振子結(jié)構(gòu)在一定長(zhǎng)度的基體梁上的振子數(shù)目加倍，過(guò)多的附加質(zhì)量將對(duì)減振系統(tǒng)可能產(chǎn)生較大的影響。這里在雙側(cè)等晶格常數(shù)振子布置形式的基礎(chǔ)上，增大其中一側(cè)振子的晶格常數(shù)以減輕整個(gè)系統(tǒng)的質(zhì)量，如圖11所示。在Abaqus中建立不同晶格常數(shù)組合形式的聲子晶體梁有限元模型，以研究雙晶格常數(shù)布置結(jié)構(gòu)的聲子晶體梁帶隙特性。結(jié)果如圖12所示。

所設(shè)計(jì)的雙晶格常數(shù)布置振子形式聲子晶體梁，取4種不同晶格常數(shù)組合形式如表3所示，使其與等晶格常數(shù)的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。

比較仿真結(jié)果得到的不同晶格常數(shù)組合的振動(dòng)傳遞特性中，表明無(wú)論是改變振子一或振子二的晶格常數(shù)，不僅會(huì)使振子本身形成的帶隙寬度被縮窄，而且還引起另一個(gè)振子形成的帶隙發(fā)生一定的寬度縮窄現(xiàn)象。

4.結(jié)論

本文對(duì)并聯(lián)式雙振子聲子晶體梁的帶隙特性進(jìn)行了計(jì)算分析，主要結(jié)論如下：

（1）相較于單振子布置形式，雙側(cè)等晶格常數(shù)振子布置形式能有效拓展聲子晶體梁的低頻彎曲振動(dòng)帶隙，對(duì)兩種振子質(zhì)量和連接剛度參數(shù)獨(dú)立控制，能更好地適用于衰減多頻帶的振動(dòng)激勵(lì)源；

（2）試驗(yàn)測(cè)試結(jié)果與仿真計(jì)算的帶隙特征一致，驗(yàn)證了雙振子結(jié)構(gòu)對(duì)帶隙的拓展特性，也驗(yàn)證了有限元法進(jìn)行有限周期聲子晶體的振子布置形式設(shè)計(jì)時(shí)可以實(shí)現(xiàn)較為準(zhǔn)確的帶隙預(yù)測(cè)；

（3）對(duì)單振子進(jìn)行雙側(cè)布置可以在較少的周期內(nèi)實(shí)現(xiàn)帶隙范圍的拓寬，并且在一定程度上還能保證振動(dòng)的衰減量；

（4）對(duì)并聯(lián)式雙振子聲子晶體梁，通過(guò)增大單側(cè)晶格常數(shù)可以一定程度上削弱過(guò)多的附加質(zhì)量將對(duì)減振系統(tǒng)可能產(chǎn)生較大的影響，但無(wú)論是哪一側(cè)振子的晶格常數(shù)，不僅會(huì)使振子本身形成的帶隙寬度被縮窄，而且還引起另一個(gè)振子形成的帶隙發(fā)生一定的寬度縮窄現(xiàn)象，從而影響減振效果。