基于STUKF的非線性結構系統(tǒng)時變參數識別

杜永峰， 張 浩， 趙麗潔， 李萬潤

(1. 蘭州理工大學 防震減災研究所， 蘭州 730050；2. 蘭州理工大學 西部土木工程防災減災教育部工程研究中心， 蘭州 730050)

基于STUKF的非線性結構系統(tǒng)時變參數識別

杜永峰1,2， 張 浩1， 趙麗潔1， 李萬潤1

(1. 蘭州理工大學 防震減災研究所， 蘭州 730050；2. 蘭州理工大學 西部土木工程防災減災教育部工程研究中心， 蘭州 730050)

針對非線性結構系統(tǒng)時變參數識別問題，傳統(tǒng)無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter, UKF)難以有效跟蹤結構參數的變化。將強跟蹤濾波原理引入無跡卡爾曼濾波，提出一種強跟蹤無跡卡爾曼濾波(Strong Tracking Unscented Kalman Filter，STUKF)算法，以識別結構參數的變化。在UKF量測更新后，依據輸出殘差計算漸消因子矩陣；引入兩個漸消因子矩陣實時調整狀態(tài)預測協(xié)方差矩陣，使殘差序列強行正交，快速修正結構參數估計值，使STUKF具有對結構參數變化的跟蹤能力；此外，為節(jié)省計算時間，調整狀態(tài)預測協(xié)方差矩陣后不再進行sigma點采樣，保證了算法的高效性。數值分析結果表明，該算法能有效識別非線性結構系統(tǒng)的參數及其變化，并具有較強的抗噪性。

強跟蹤濾波；無跡卡爾曼濾波；非線性結構系統(tǒng)；時變；參數識別

土木工程結構在服役期間受到地震等各種作用，其剛度、阻尼等參數常常表現出時變特性，因而考慮參數時變特性的非線性結構系統(tǒng)識別獲得越來越多的重視，并發(fā)展出一些非線性結構系統(tǒng)時變參數識別方法[1-7]，如YANG等提出的自適應追蹤技術應用于最小二乘法(Least Square Estimation, LSE)、擴展卡爾曼濾波(Extended Kalman Filter, EKF)所形成的自適應LSE和自適應EKF。然而自適應LSE用于結構系統(tǒng)識別時需要獲得結構速度和位移的量測數據，但實際工程中，通常只測量結構的加速度響應；自適應EKF在處理非線性函數時需要進行雅可比(Jacobian)矩陣的計算，求導過程復雜且數值穩(wěn)定性差，并且對非線性函數的一階近似精度偏低，特別是對于高度非線性系統(tǒng)，容易出現濾波發(fā)散。

JULIER等[8]提出的無跡卡爾曼濾波(Unscented Kalman Filter, UKF)以Unscented變換來近似計算非線性系統(tǒng)狀態(tài)的后驗均值和協(xié)方差，從而避免對于非線性函數本身的近似，能以至少二階精度逼近任何非線性系統(tǒng)，較EKF更適合于強非線性系統(tǒng)，并且不需要計算Jacobian矩陣。鑒于UKF較好的濾波性能，國內外學者開始將其應用于非線性結構系統(tǒng)的參數識別[9-10]。雖然UKF應用于時不變結構系統(tǒng)的參數識別能得到令人滿意的結果，但當結構系統(tǒng)參數發(fā)生改變時，UKF卻無法跟蹤參數的變化。BISHT等[11]提出一種自適應UKF方法,僅識別了線性結構系統(tǒng)剛度的變化。謝強等[12]用奇異值分解代替Cholesky分解，用于非線性結構系統(tǒng)參數的變化，但效果欠佳。

強跟蹤濾波器(Strong Tracking Filter，STF)對存在模型不確定性的系統(tǒng)具有較好的跟蹤性能[13]。本文針對非線性系統(tǒng)時變參數識別問題，在傳統(tǒng)無跡卡爾曼濾波中引入強跟蹤濾波原理，提出一種強跟蹤無跡卡爾曼濾波(Strong Tracking Unscented Kalman Filter, STUKF)方法。該方法中，在狀態(tài)預測協(xié)方差矩陣中引入一種適合于非線性結構系統(tǒng)的漸消因子矩陣，采用簡便的次優(yōu)求解方法得到漸消因子的近似解，自適應調整狀態(tài)預測協(xié)方差矩陣，改善濾波器的跟蹤性能，實現非線性結構系統(tǒng)狀態(tài)估計與時變參數識別。與文獻[14]所給方法需要三次采樣相比，本方法只需進行一次采樣，節(jié)省了計算時間。數值模擬表明，該方法能較好地識別非線性結構系統(tǒng)的狀態(tài)和未知參數，對于剛度、阻尼的突變有較強的跟蹤能力，并且對噪聲有較強的魯棒性。

1 基于非線性結構系統(tǒng)的STUKF

1.1 UKF算法

UKF的核心思想是：選取一定數量的采樣點(稱為sigma點)，利用sigma點經非線性函數傳遞后的結果來計算濾波估計值及協(xié)方差矩陣，從而避免對非線性函數的線性化處理。

考慮如下非線性離散系統(tǒng)

(1)

式中：f(·)為非線性狀態(tài)函數；h(·)為非線性量測函數；xk為n維系統(tǒng)狀態(tài)向量；zk為m維量測向量；uk-1為n維輸入向量；wk-1和vk均為互不相關的高斯白噪聲。且有

(2)

式中：qk和Qk分別為系統(tǒng)過程噪聲wk的均值向量和非負定方差矩陣；rk和Rk分別為系統(tǒng)量測噪聲vk的均值向量和正定方差矩陣；δkj為kronecker-δ函數。狀態(tài)初始值x0與wk、vk均相互獨立，且服從高斯分布。基于非線性系統(tǒng)式(1)的UKF狀態(tài)估計過程如下

(1) 初始化系統(tǒng)狀態(tài)統(tǒng)計特性

(3)

(2) 選擇采樣策略，并計算sigma點ξi,k-1(i=0,1,…,2n)

(4)

(3) 時間更新

γi,k|k-1=f(ξi,k-1,uk-1)+qk-1

(5)

(6)

(7)

(4) 量測更新

χi,k|k-1=h(γi,k|k-1)+rk

(8)

(9)

(10)

(11)

(5) 濾波更新

(12)

(13)

(14)

(15)

式中，λ=α2(n+κ)-n，α為比例縮放因子，對于強非線性系統(tǒng)，通常α取一個比較小的正值，κ為比例參數，一般取κ=3-n，n為狀態(tài)變量維數。

1.2 基于強跟蹤原理的STUKF算法

1.2.1 強跟蹤濾波思想

強跟蹤濾波思想是在狀態(tài)預測誤差協(xié)方差陣Pk|k-1中引入漸消因子，實時調整增益矩陣Kk，使

(16)

(17)

1.2.2 STUKF算法

根據強跟蹤濾波原理，在UKF的狀態(tài)預測誤差協(xié)方差陣Pk|k-1中引入兩個漸消因子矩陣Λk，以保證協(xié)方差矩陣的對稱性

(18)

依據非線性結構系統(tǒng)狀態(tài)向量的特點，構造漸消因子矩陣如下：Λk=diag(μ1,k,μ2,k)，其中μ1,k=[1,1,…,1]為r維向量，對應狀態(tài)向量xk中的速度與位移項；μ2,k=[μk,μk,…,μk]為s維向量，對應狀態(tài)向量xk中的s個未知系統(tǒng)參數。采用次優(yōu)解法求解漸消因子

(19)

(20)

(21)

(22)

Vk為實際輸出殘差序列的協(xié)方差陣，可由式(23)估算

(23)

式中：0<ρ≤1為遺忘因子，通常取ρ=0.95；εk為輸出殘差序列。

根據以上描述，STUKF的濾波過程為：①根據式(3)進行系統(tǒng)初始化；②選擇采樣策略，依據式(4)計算sigma點ξi,k-1(i=0,1,…,2n)；

③時間更新

γi,k|k-1=f(ξi,k-1,uk-1)+qk-1

(24)

(25)

(26)

④量測更新

χi,k|k-1=h(γi,k|k-1)+rk

(27)

(28)

(29)

(30)

⑤求漸消因子矩陣，調整Pk|k-1

根據式(19)～式(23)求出漸消因子矩陣，并將其引入狀態(tài)預測協(xié)方差矩陣

(31)

⑥濾波更新

(32)

(33)

(34)

對比UKF濾波過程，可以發(fā)現STUKF在量測更新后利用輸出殘差求解漸消因子矩陣并調整狀態(tài)預測協(xié)方差矩陣Pk|k-1。此外，本方法中的STUKF在調整Pk|k-1后不需再次進行sigma點采樣，節(jié)省計算時間，更適合實時應用。

2 數值仿真分析

2.1 單自由度非線性結構系統(tǒng)

考慮一個單自由度非線性結構系統(tǒng)受到地震激勵，系統(tǒng)的運動方程可以寫成

(35)

R(x,z,t)=αkx+(1-α)kz

(36)

(37)

式中：k為結構剛度；α，β，γ，n為非線性參數。本算例中，所用參數的數值如下：m=400.5 kg，c=0.205 kN·s/m，k=20.5 kN/m，α=0.1，β=2，γ=1，n=1；地震激勵選用El Centro地震波，持續(xù)時間為30 s。

(38)

為應用STUKF進行狀態(tài)估計與參數識別，將式(38)通過四階龍格-庫塔法離散化[15]。將系統(tǒng)的加速度響應和地震激勵作為量測數據，量測方程為

(39)

為驗證本文給出的STUKF在非線性結構系統(tǒng)狀態(tài)估計與時變參數識別中的有效性，假定在t=12 s時結構剛度突然減小為原來的70%，阻尼增大為原來的130%。對模擬的結構加速度響應和地震加速度添加1% RMS，2% RMS，4% RMS三種強度的高斯白噪聲，以檢驗該識別算法對噪聲的魯棒性。結構參數初始估計值及噪聲統(tǒng)計特性設置如下

當噪聲強度為4%時，結構位移、速度、滯變位移識別結果如圖1所示，滯回曲線識別結果見圖2。圖3對比了1%，2%和4%三種噪聲強度下STUKF對于該結構系統(tǒng)未知參數的識別結果。圖1、圖2表明：在結構剛度、阻尼突變情況下，STUKF對結構位移、速度、滯變位移、滯回曲線的識別值與理論值吻合較好。圖3表明：①結構剛度的突變得到有效的跟蹤，突變后識別值振蕩較小，識別精度較高。且隨著噪聲增強，剛度識別值的精度及收斂速度下降很小，表現出對噪聲較強的魯棒性。②結構阻尼的突變得到有效跟蹤，但效果較剛度稍差。識別值在阻尼突變后出現振蕩，但很快又收斂到理論值。隨著噪聲增強，阻尼的識別精度及收斂速度略有下降。阻尼的識別效果略差于剛度，主要原因是同時識別具有不同數量級的參數，數量級較大的參數在協(xié)方差矩陣中會起主要作用，因而會獲得更好的識別效果。③STUKF有效識別了不發(fā)生突變的非線性模型參數α，β和γ。雖然剛度和阻尼的突變導致其發(fā)生短時間振蕩，但很快會收斂到理論值。隨著噪聲的增強，收斂速度和識別精度略有下降。④初始階段的收斂過程是該算法遞推本質的體現，所有參數在5 s內基本收斂到理論值，識別速度較快?？傮w而言，STUKF能有效識別單自由度非線性結構系統(tǒng)的參數，并能對參數的變化進行有效跟蹤。噪聲的增強使參數識別效果略有下降，但4% RMS噪聲強度下的識別結果精度仍較高，表現出對噪聲較強的魯棒性。

圖1 單自由度非線性結構系統(tǒng)位移、速度及滯變位移識別結果，噪聲強度4% RMSFig.1 Displacement, velocity and hysteric displacement estimation for SDOF nonlinear structural system, noise level 4% RMS

圖2 單自由度非線性結構系統(tǒng)滯回曲線識別結果，噪聲強度4% RMSFig.2 Hysteric loop estimation for SDOF nonlinear structural system, noise level 4% RMS

圖3 不同噪聲強度下單自由度非線性結構系統(tǒng)剛度和阻尼突變時的參數識別結果Fig.3 Parameters identification for SDOF nonlinear structural system with abruptly changed stiffness and damping, noise level 1% RMS,2% RMS and 4% RMS

2.2 三自由度非線性結構系統(tǒng)

考慮一個三自由度非線性結構系統(tǒng)，進一步驗證本文給出的STUKF在多自由度非線性結構系統(tǒng)參數識別中的有效性。如圖4所示，該結構最下層采用Bouc-Wen遲滯模型，其余各層采用線性層剪切模型表示。受地震激勵，其運動方程可寫為

(40)

圖4 三自由度非線性結構系統(tǒng)示意圖Fig.4 Sketch map of three-DOF nonlinear structural system

本算例中m1=450.5 kg，m2=400.5 kg，m3=350.5 kg；k1=20.5 kN/m，k2=k3=23.5 kN/m，c1=0.205 kN·s/m，c2=c3=0.255 kN·s/m；α=0.1，β=2，γ=1，n=1；地震激勵選用El Centro地震波，持續(xù)時間為30 s。

(41)

將該結構系統(tǒng)各層的加速度響應及地震激勵作為量測數據，量測方程可以寫成

(42)

在模擬的量測加速度響應和地震加速度中加入1% RMS的高斯白噪聲。為驗證STUKF在多自由度非線性結構系統(tǒng)中的有效性，假定t=12 s時，結構一層剛度從k1=20.5 kN/m突然減小到k1=14.35 kN/m，二層剛度從k2=23.5 kN/m突然減小到k2=16.45 kN/m，三層剛度從k3=23.5 kN/m突然減小到k3=16.45 kN/m。結構各層位移、速度及滯變位移如圖5所示，滯回曲線如圖6所示。結構參數的識別結果如圖7所示。

圖5 三自由度非線性結構系統(tǒng)各層位移、速度及一層滯變位移識別結果Fig. 5 Displacement, velocity and hysteric displacement estimation for three-DOF nonlinear structural system

圖6 三自由度非線性結構滯回曲線識別結果Fig.6 Hysteric loop estimation for three-DOF nonlinear structural system

圖7 三自由度非線性結構系統(tǒng)各層剛度均突變時的參數識別結果Fig.7 Parameters identification for three-DOF nonlinear structural system with abruptly changed stiffness of all layers

由圖5、圖6、圖7可知：本文提出的STUKF：①較好地識別了各層的位移、速度及一層滯回曲線；②有效識別了各層剛度的突變，并且對比剛度突變后線性層(二層、三層)與非線性層(一層)的識別結果可以發(fā)現，非線性層剛度在突變時發(fā)生了振蕩，而線性層剛度未發(fā)生振蕩，識別結果較非線性層更為理想；③結構阻尼及非線性模型參數α，β和γ，受剛度突變的影響發(fā)生了短時振蕩，但其仍會迅速收斂到理論值；④所有參數在5 s內基本收斂到理論值，識別速度較快?？傮w而言，對于三自由度非線性結構系統(tǒng)，STUKF能以較高的精度有效地識別結構各參數及其變化，并估計結構各層位移、速度及滯回曲線。

3 結 論

針對非線性結構系統(tǒng)時變參數識別問題，本文將強跟蹤濾波原理引入UKF，提出了一種STUKF算法，以解決UKF無法跟蹤參數變化的問題。數值模擬表明，STUKF能較好地識別非線性結構位移、速度和滯回曲線，并能有效跟蹤結構參數及其變化。該算法在具有較大量測噪聲時仍具有較高的識別精度，但噪聲對識別值的收斂速度略有影響。對于多自由度非線性結構系統(tǒng)，該算法仍然具有較好的識別能力。本文通過數值模擬驗證了STUKF在非線性結構系統(tǒng)時變參數識別中的有效性，其在工程中的應用還有待進一步試驗驗證。

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Time-varying parametric identification of nonlinear structural systems based on STUKF

DU Yongfeng1,2， ZHANG Hao1， ZHAO Lijie1， LI Wanrun1

(1. Institute of Earthquake Protection and Disaster Mitigation, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China;2. Western Center of Disaster Mitigation in Civil Engineering of Ministry of Education, Lanzhou University of Technology, Lanzhou 730050, China)

Traditional unscented Kalman filter (UKF) cannot track the changed parameters of nonlinear structural systems. Based on the strong tracking filter principle，a strong tracking unscented Kalman filter (STUKF) method was put forward to identify the time-varying parameters of nonlinear structural systems. Firstly, the fading factor matrix was calculated with output residuals after the measurement update of UKF. Secondly, two fading factor matrices were introduced to adjust the predicted state covariance matrix in real time, the residual sequence was made to be orthogonal and the estimated values of structure parameters were updated rapidly, thus STUKF was made to be capable of tracking the changes of structure parameters. Furthermore, the computational efficiency was improved by taking no sigma points sampling after adjusting the predicted state covariance matrix. Numerical simulation results demonstrated that the proposed method can effecfively identify parameters and changes of nonlinear structural systems, and it has a stronger anti-noise capability.

strong tracking filter；unscented Kalman filter；nonlinear structural systems；time-varying；parameter identification

國家自然科學基金(51578274;51568041)；教育部長江學者創(chuàng)新團隊項目(IRT13068)；甘肅省青年科技基金計劃(2014GS03277)

2015-10-09 修改稿收到日期： 2016-03-07

杜永峰 男，博士，教授，博士生導師，1962年生

N945.14；TB122

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.026