一類碰撞振動系統(tǒng)的激變和擬周期-擬周期陣發(fā)性

樂 源， 繆鵬程

(西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院 應(yīng)用力學(xué)與結(jié)構(gòu)安全四川省重點實驗室, 成都 610031)

一類碰撞振動系統(tǒng)的激變和擬周期-擬周期陣發(fā)性

樂 源， 繆鵬程

(西南交通大學(xué) 力學(xué)與工程學(xué)院 應(yīng)用力學(xué)與結(jié)構(gòu)安全四川省重點實驗室, 成都 610031)

研究了一類三自由度碰撞振動系統(tǒng)的激變和陣發(fā)性。六維龐加萊(Poincaré)映射能夠表示成另外一個不對稱映射的二次迭代，這表明系統(tǒng)具有對稱性。該系統(tǒng)普遍存在發(fā)生Hopf分岔后得到的一對共軛擬周期運動。根據(jù)動力系統(tǒng)的極限集理論，討論了極限集的對稱性，得到系統(tǒng)發(fā)生激變的條件，并引入一個距離函數(shù)判定對稱性恢復(fù)和激變臨界點。當(dāng)共軛混沌吸引子和不穩(wěn)定對稱不動點的最小距離等于0時，一對共軛混沌吸引子將會與不穩(wěn)定的對稱不動點在其吸引域邊界發(fā)生碰撞，從而導(dǎo)致激變。通過數(shù)值模擬，揭示了激變之后的一種新的陣發(fā)性動力學(xué)現(xiàn)象：擬周期-擬周期陣發(fā)性。其分岔機制是：兩個共軛擬周期吸引子→兩個共軛擬周期吸引子倍化→兩個共軛帶狀混沌吸引子→一個對稱混沌吸引子→一個對稱擬周期引子，通過對稱極限集理論來區(qū)分對稱吸引子和共軛吸引子，同時采用QR法計算Lyapunov指數(shù)并用來確定吸引子的類型。激變導(dǎo)致的擬周期-擬周期陣發(fā)性，對于多自由度碰撞振動系統(tǒng)的動力學(xué)研究及優(yōu)化設(shè)計具有重要意義。

碰撞振動系統(tǒng)；擬周期運動；激變；陣發(fā)性

具有對稱性的映射動力系統(tǒng)普遍存在對稱性恢復(fù)分岔，即：兩個或多個混沌吸引子融合并形成一個對稱混沌吸引子[1]。當(dāng)參數(shù)穿過激變臨界值時，兩個吸引子同時接觸吸引域的邊界。這意味著兩個吸引子與不穩(wěn)定鞍型軌道在吸引域邊界發(fā)生碰撞[2]。激變之后，系統(tǒng)的動力學(xué)行為展示出陣發(fā)性特征。激變誘發(fā)的陣發(fā)性這一概念用于描述動力系統(tǒng)在激變后出現(xiàn)的特殊動力學(xué)現(xiàn)象。文獻[3]的研究結(jié)果表明，所謂的對稱性破缺以及對稱性增長導(dǎo)致的吸引子的碰撞和爆發(fā)，本質(zhì)都是共軛吸引子與對稱極限集之間發(fā)生碰撞的結(jié)果。然而，上述文獻關(guān)于激變之后誘發(fā)的陣發(fā)性動力學(xué)現(xiàn)象僅僅針對混沌-混沌陣發(fā)性，目前尚未見關(guān)于擬周期運動的陣發(fā)性的研究和報道。通過研究一類具有對稱性的三自由度碰撞振動系統(tǒng)的激變和陣發(fā)性，首次揭示了激變之后的一種新的陣發(fā)性動力學(xué)現(xiàn)象：擬周期-擬周期陣發(fā)性。

碰撞振動現(xiàn)象廣泛存在于實際工程領(lǐng)域，例如齒輪的拍擊、引擎的錘擊、存在止擋沖撞的機械系統(tǒng)、船舶和浮體在波浪作用下的沖擊振動、機器人操作器與環(huán)境接觸和脫離引起的碰撞、航天器伸展系統(tǒng)由于關(guān)節(jié)間隙而發(fā)生沖擊等。由于存在碰撞，碰撞振動系統(tǒng)具有強非線性和非光滑性。研究碰撞振動系統(tǒng)的動力學(xué)行為對于機械系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計和噪聲控制具有重要意義。非線性動力學(xué)的分岔和混沌的研究是近十幾年來非線性科學(xué)領(lǐng)域十分活躍的研究前沿[4-5]。隨著非線性動力系統(tǒng)理論、動態(tài)測試技術(shù)和計算機技術(shù)的迅速發(fā)展，碰撞振動系統(tǒng)的研究進入了全新的階段。HOLMES等[6-7]考慮單自由度碰撞振動系統(tǒng)，研究了周期運動的存在性和穩(wěn)定性、分岔和混沌行為。對于多自由度碰撞振動系統(tǒng)，在分岔點處可能同時存在兩種類型的分岔，這就導(dǎo)致了余維二分岔。各種分岔之間相互作用，對碰撞振動系統(tǒng)的局部動力學(xué)具有重要的影響。文獻[8-11]采用中心流型—范式理論和數(shù)值模擬的方法研究了各種余維二分岔，包括Hopf-flip分岔、Hopf-Hopf分岔以及各種強共振情況下的Hopf分岔。ZHANG等[12]對振動篩系統(tǒng)的兩類余維三分岔進行了研究。當(dāng)系統(tǒng)某一參數(shù)穿過某個臨界值時，碰撞振動系統(tǒng)的振子將會以零速度與剛性約束發(fā)生碰撞。這種現(xiàn)象在碰撞振動系統(tǒng)中被稱為“擦邊”。在擦切點處，系統(tǒng)的龐加萊映射是不連續(xù)的，并且會產(chǎn)生由這樣的非光滑因素誘發(fā)的一些非典型的分岔[13-14]。近年來其他關(guān)于碰撞振動系統(tǒng)力學(xué)的研究參見文獻[15-17]。然而目前還未見關(guān)于碰撞振動系統(tǒng)的對稱性恢復(fù)和激變的研究報道。

文獻[18-19]的研究結(jié)果表明，具有對稱性的碰撞振動系統(tǒng)普遍存在一對共軛吸引子，并引入一個虛擬的隱式映射來捕獲這對共軛吸引子。通過研究三自由度碰撞振動系統(tǒng)的激變和陣發(fā)性動力學(xué)現(xiàn)象，引入一個距離函數(shù)判定激變臨界點。當(dāng)共軛混沌吸引子和不穩(wěn)定對稱不動點的最小距離接近0時，一對共軛混沌吸引子將會與不穩(wěn)定對稱不動點在其吸引域邊界發(fā)生碰撞，從而導(dǎo)致對稱性恢復(fù)和激變。數(shù)值結(jié)果表明，當(dāng)控制參數(shù)在一定區(qū)間變化時，共軛擬周期運動將會恢復(fù)對稱性，并出現(xiàn)激變誘發(fā)的陣發(fā)性動力學(xué)現(xiàn)象。通過對稱極限集的概念來區(qū)分對稱吸引子和共軛吸引子，同時采用QR法計算Lyapunov指數(shù)并用來確定吸引子的類型。

1 力學(xué)模型，對稱性和Lyapunov指數(shù)

圖1表示一類軸向振動系統(tǒng)的力學(xué)模型。該系統(tǒng)有三個質(zhì)量塊M1，M2，M3，其中M2上在M3兩邊分別有一個剛性約束，因此是具有雙側(cè)剛性約束的三自由度碰撞振動系統(tǒng)。M2通過剛度為K2的線性彈簧與阻尼為C2的線性阻尼器與剛性平面相連。M1通過剛度為K1的線性彈簧，阻尼為C1的線性阻尼器與M2相連。M3通過剛度為K3的線性彈簧，阻尼為C3的線性阻尼與M2相連。質(zhì)量塊Mi(i=1,2,3)上作用振幅為Pi的簡諧激勵力。當(dāng)激勵力振幅很小時，系統(tǒng)做強迫振動，是一個線性系統(tǒng)。當(dāng)激勵力振幅增加到一定值時，M3會依次與M2上的兩個剛性約束發(fā)生碰撞，系統(tǒng)變成強非線性系統(tǒng)。碰撞以一個恢復(fù)系數(shù)R來描述。假設(shè)碰撞的時間很短，與激勵力的周期相比可以忽略不計。假定C1，C2，C3為比例阻尼。

圖1 具有對稱剛性約束的三自由度碰撞振動系統(tǒng)Fig. 1 Three-degree-of-freedom vibro-impact system with symmetry

在任意兩次連續(xù)碰撞之間, 無量綱化的運動微分方程為

(1)

y2+=δ11y2-+δ12y3-，y3+=δ21y2-+δ22y3-

(2)

(3)

碰撞振動系統(tǒng)的相空間為

(4)

式中，S1為單位圓。把Poincaré截面選在與左邊剛性約束碰撞后的瞬時，即

(5)

定義變換

(6)

Poincaré映射P是由四個子映射組成的：①P1映射，質(zhì)量塊M3與左邊擋板碰撞后的瞬時運動到到與右邊擋板碰撞前的瞬時所確定的映射；②P2映射，質(zhì)量塊M3與右邊擋板碰撞的過程；③P3映射，M3質(zhì)量塊與右邊擋板碰撞后的瞬時運動到與左邊擋板碰撞前的瞬時所確定的映射；④P4映射,質(zhì)量塊M3與左邊擋板碰撞的過程。因此，Poincaré映射可以表示為

P=P4·P3·P2·P1

(7)

Poincaré映射的Jacobi矩陣為

DP=DP4(P3·P2·P1(X0))·DP3(P2·P1(X0))×
DP2(P1(X0))·DP1(X0)

(8)

令

Q=R-1Q1

(9)

式中，Q1為與左邊擋板碰撞后的瞬時運動到與右邊擋板碰撞前的瞬時所確定的映射。則Poincaré映射可以寫為

P=Q2

(10)

式中，Poincaré映射P是映射Q的二次迭代。令TP(x*)=Dx*P為Poincaré映射在初始點x*處的Jacobi矩陣。則

(11)

(12)

2 對稱不動點與對稱極限集

如果X*滿足P(X*)=X*，那么X*為Poincaré映射P的不動點，對應(yīng)于系統(tǒng)的周期運動。采用符號“(n,p)”來表示對稱碰撞系統(tǒng)的周期運動。其中p為碰撞次數(shù)，n為激勵力的周期數(shù)。因此，對稱周期(n,2)(n為奇數(shù))運動表示n個激勵周期發(fā)生左右兩次對稱碰撞。對稱碰撞是指質(zhì)量塊M3與左右兩個擋板發(fā)生碰撞后，系統(tǒng)相應(yīng)的坐標絕對值相等，方向相反。

定義1 (對稱不動點)如果不動點X*滿足

X*=Q(X*)

(13)

則X*為Poincaré映射P的一個對稱(周期(n,2))不動點，對應(yīng)于系統(tǒng)相應(yīng)的對稱周期(n,2)運動。

(14a)

(14b)

則存在對稱不動點。

定義2 (對稱極限集)如果X的ω極限集滿足

ωP(X)=ωP(Q(X))

(15)

則ωP(X)為對稱極限集。

引理1 如果ωP(X)是吸引子或者是周期解(不一定是吸引的)，且滿足ωP(X)與ωP(Q(X))(即ωQ2k(X)與ωQ2k+1(X))的交集為非空，則ωP(X)是對稱ω極限集。

引理1表明，一對共軛吸引子ωQ2k(X)與ωQ2k+1(X)發(fā)生碰撞會產(chǎn)生一個單一的對稱吸引子。一對共軛吸引子互相碰撞意味著它們同時與不穩(wěn)定鞍形軌道(即不穩(wěn)定對稱不動點)在吸引域的邊界發(fā)生碰撞。激變導(dǎo)致的陣發(fā)性是指吸引子尺寸突然變大并互相融合后產(chǎn)生的一種特殊動力學(xué)行為。在激變臨界點處，兩個共軛吸引子同時接觸吸引域的邊界。

3 對稱不動點的解析解和對稱性激變

(16)

令φkj為矩陣Ψ中的元素，式(1)的解為

(17)

將式(17)代入式(14)得τ0，aj，bj的解為

(18a)

aj=Eajcosτ0+Fajsinτ0

(18b)

bj=Ibja1+Jbja2+Kbja3

(18c)

式中，Vc，Uc，Eaj，F(xiàn)aj，Ibj，Jbj，Kbj為系統(tǒng)參數(shù)確定的常數(shù)。將t=0和τ0，aj，bj代入式(17)得到對稱不動點的解X*=(x*1,y*1,x*2,y*2,x*3,y*3)。

這里不考慮Poincaré映射的擦邊分岔產(chǎn)生的奇異性。因此假定映射Q1，Q，P都是連續(xù)的和可逆的。相點X在P映射下的ω極限集為ωP(X)，在Q映射下的ω極限集為ωQ(X)。極限集可以是吸引和排斥

的，定義吸引子為漸近穩(wěn)定的ω極限集。因為X和Q(X)是一對共軛的映射點，由X和Q(X)產(chǎn)生的ω極限集即ωP(X)和ωQ(X)稱為一對共軛的ω極限集。

點X在映射Q下的軌道為：X，Q(X)，Q2(X)，Q3(X)，Q2k(X)，Q2k+1(X)，…由于映射P是映射Q的二次迭代，則有

Q2k(X)=Pk(X)

(19)

Q2k+1(X)=Pk(Q(X))

(20)

即映射Q的偶數(shù)次迭代即為點X在映射P下的軌道；而映射Q的奇數(shù)次迭代即為點Q(X)在映射P下的軌道。因此式(20)和式(21)隱含了ωQ2k(X)=ωP(X)和ωQ2k+1(X)=ωP(Q(X))，則有

ωQ(X)=ωP(X)∪ωP(Q(X))

(21)

又因為

Q(Pk(X))=Q2k+1(X)=Pk(Q(X))

(22)

則

(23)

即

Q(ωP(X))=ωP(Q(X))

(24)

式(15)等價于ωQ2k(X)=ωQ2k+1(X)。也就是說，如果X的ω極限等于它的共軛極限集，那么ωP(X)是對稱極限集。根據(jù)式(21)，如果P和Q有相同的極限集，即ωP(X)=ωQ(X)，那么它就是一個對稱的ω極限集。此外根據(jù)式(24)，如果ωP(X)通過Q映射到自身，即Q(ωP(X))=ωP(X)，則它是對稱ω極限集。

此處Poincaré映射P本身不能表現(xiàn)出對稱性，但是由式(15)可知非對稱映射Q能夠得到一對共存的共軛ω極限集，這表示碰撞振動系統(tǒng)具有對稱性。

為了找到發(fā)生激變的臨界點，在兩個共軛吸引子與不穩(wěn)定對稱不動點X*(表示不穩(wěn)定對稱周期軌道)之間定義一個距離函數(shù)

(25)

式中：(x*1,y*1,x*2,y*2,x*3,y*3)為不穩(wěn)定對稱不動點的坐標；(x10,y10,x20,y20,x30,y30)為吸引子中點的坐標。Dmin=0表示ωQ2k(X)與ωQ2k+1(Q(X))有非空交集，因此是激變的臨界點。

4 擬周期運動的對稱性恢復(fù)和激變

4.1 擬周期吸引子的演變

考慮碰撞振動系統(tǒng)的系統(tǒng)參數(shù)：n=1，ζ=0.008 6，R=0.85，h=0.06，um3=0.6，um2=2.8，um1=1，uk3=0.8，uk2=0.2，uk1=1，uf3=0.4,uf2= 0.5，uf1=1。取系統(tǒng)激勵力的頻率ω為控制參數(shù)。當(dāng)ω=3.05時，有兩個共軛擬周期吸引子，在相空間中表示兩個共軛的環(huán)面(見如圖2(a))。為了獲得一對共軛擬周期吸引子，需要給不穩(wěn)定對稱不動點X*(根據(jù)第3節(jié)計算)施加一個ΔX的擾動，并且通過映射Q對初始相點X=X*+ΔX進行迭代。當(dāng)ω=3.05時，首先得到兩個不穩(wěn)定的共軛映射點，然后分別在Poincaré截面上收斂到一對共軛的擬周期吸引子(在相空間中表示為一對共軛環(huán)面)，見圖2(b)。當(dāng)控制參數(shù)增加到ω=2.985時，有一個單一的擬周期吸引子，見圖3。由于ωQ2k(X)=ωQ2k+1(X)，所以圖3所示的擬周期吸引子是對稱的，映射點首先進入對稱擬周期吸引子上部區(qū)域并停留一段時間，然后進入下部區(qū)域并停留一段時間，如此循環(huán)。這種在對稱擬周期吸引子的兩部分無限交替的過程叫做激變誘導(dǎo)的擬周期運動陣發(fā)性。這種擬周期運動的陣發(fā)性現(xiàn)象只存在于多自由度對稱碰撞振動系統(tǒng)中，目前尚未見相關(guān)報道。圖2所示的一對共軛擬周期吸引子是如何演變成如圖3所示的單一的對稱擬周期吸引子的？這個問題的解答需要以吸引子的對稱性恢復(fù)分岔理論為基礎(chǔ)。

(a)一個不穩(wěn)定對稱不動點和一對共軛擬周期吸引子(迭代160 000次截取最后60 000個點)

(b)從初始點X*+ΔX開始的整個收斂過程

圖3 一個對稱擬周期吸引子：ω=2.985(迭代160 000次截取最后60 000個點)Fig.3 A symmetric quasi-periodic attractor:ω=2.985(plot the last 60 000 points after 160 000 iterations)

圖2所示的一對共軛吸引子有各自的吸引域，以通過不穩(wěn)定對稱不動點X*的吸引域邊界分開。

4.2 擬周期吸引子的激變和對稱性恢復(fù)分岔

當(dāng)ω增加到激變點ωc時，這對共軛吸引子就會擴大和合并，最終產(chǎn)生一個單一的對稱吸引子。激變可以通過共軛吸引子與不穩(wěn)定對稱不動點的最小距離來檢測，這一距離函數(shù)由式(25)定義。當(dāng)ω=3.004 2時，由式(25)計算的距離D見圖4。結(jié)果表明當(dāng)參數(shù)ω=3.004 2時，最小距離為Dmin≈4×10-4，這一距離非常接近0。因此得出結(jié)論，在ω=3.004 2附近將發(fā)生激變。

圖4 擬周期吸引子與不穩(wěn)定對稱不動點之間的距離ω=3.004 2；Dmin≈4×10-4Fig.4 The distance between the quasi-periodic attractors and the unstable symmetric fixed point ω=3.004 2；Dmin≈4×10-4

當(dāng)控制參數(shù)ω減小時，Poincaré截面的投影相圖如圖5所示。當(dāng)ω=3.018時，首先發(fā)生環(huán)面倍化，產(chǎn)生一個如圖5(a)所示的2T環(huán)面。當(dāng)ω=3.016時，通過第二次環(huán)面倍化產(chǎn)生一個4T環(huán)面，如圖5(b)所示。當(dāng)ω=3.013時，將不會有環(huán)面倍化分岔，但是將會產(chǎn)生如圖5(c)所示的一對共軛的帶狀混沌吸引子。當(dāng)ω=3.01時，兩個共軛的帶狀混沌吸引子將會分別演化成一個帶狀混沌吸引子。如圖5(d)所示，看起來非常接近不穩(wěn)定不動點X*。當(dāng)ω=3.005時，共軛混沌吸引子將會大幅度擴大并且會相互重疊，如圖5(e)所示?？雌饋硭鼈円呀?jīng)和不穩(wěn)定對稱不動點X*發(fā)生了碰撞。然而此時共軛吸引子與不穩(wěn)定對稱不動點的最小距離為Dmin≈8.5×10-3，這表明碰撞還沒有發(fā)生。在Poincaré截面的投影相圖上，這對共軛吸引子的重疊不能判斷它們之間的碰撞是否已經(jīng)發(fā)生，因為如圖5所示的二維相圖僅僅是六維相空間的投影。當(dāng)ω=3.004 2時，類似的情況如圖5(f)所示。然而，在這種情況下，最小距離Dmin≈4×10-4(見圖4)，這一距離非常接近0。當(dāng)ω=3.004 1時，兩個共軛的混沌吸引子已經(jīng)與不穩(wěn)定對稱不動點X*發(fā)生了碰撞，并且形成了一個單一的更大的混沌吸引子，如圖5(g)所示。這一結(jié)果再次證實了ωc=3.004 2是吸引子碰撞的臨界點。當(dāng)ω減小時，例如取ω=2.985，對稱混沌吸引子將會變成一個對稱擬周期吸引子，如圖5(h)所示。因此，擬周期運動的對稱性恢復(fù)的路徑是：兩個共軛擬周期吸引子→兩個共軛擬周期吸引子倍化→兩個共軛帶狀混沌吸引子→一個對稱混沌吸引子→一個對稱擬周期吸引子。

(a)ω=3.018

(b)ω=3.016

(c)ω=3.013

(d)ω=3.01

(e)ω=3.005

(f)ω=3.004 2

(g)ω=3.004 1

(h)ω=2.985

4.3 擬周期吸引子激變誘發(fā)的陣發(fā)性

由圖6可觀察到激變后誘發(fā)的陣發(fā)性。當(dāng)ω=3.004 1時，兩個共軛混沌吸引子同時與對稱不動點接觸，此時已經(jīng)發(fā)生激變，并導(dǎo)致混沌-混沌的陣發(fā)性，如圖6(a)所示。當(dāng)ω=2.985時，混沌-混沌陣發(fā)性轉(zhuǎn)變?yōu)閿M周期-擬周期陣發(fā)性，如圖6(b)所示。

以“2”節(jié)介紹的對稱極限集理論為基礎(chǔ)，通過投影相圖可以區(qū)分對稱吸引子和共軛吸引子。很顯然，如圖5(a)～圖5(d)所示的兩個吸引子，因為ωQ2k(X)≠ωQ2k+1(X)，所以這兩個吸引子是共軛的；因為ωQ2k(X)=ωQ2k+1(X)，所以如圖圖5(f)和5(g)所示的兩個吸引子是對稱的。但是在Poincaré截面投影出現(xiàn)相互重疊的情況時，需要進一步的判斷。例如，如圖5(e)和圖5(f)所示的吸引子，盡管兩個吸引子在某些區(qū)域內(nèi)重疊，但是它們并不是分布在整個區(qū)域，這就表示ωQ2k(X)≠ωQ2k+1(X)，因此，吸引子在這兩種情況下是共軛的，但不是對稱的。

Lyapunov指數(shù)是一種判斷吸引子類型的有效工具，并采用第二節(jié)介紹的方法來計算。對于擬周期吸引子，至少有一個Lyapunov指數(shù)等于0。對于混沌吸引子，至少有一個Lyapunov指數(shù)大于0?？梢酝ㄟ^如表1所示的Lyapunov指數(shù)來判斷吸引子的類型。結(jié)果表明，混沌吸引子產(chǎn)生于吸引子碰撞激變之后，且最大的Lyapunov指數(shù)總是大于0。

(a)ω=3.004 1

(b)ω=2.985

圖號λ1λ2λ3λ4λ5λ6吸引子的類型圖2(a)0.0000-0.0035-0.0487-0.0615-0.2307-0.4786擬周期圖5(c)0.00220.0000-0.0470-0.0636-0.2390-0.4756混沌圖5(e)0.00830.0000-0.0450-0.0666-0.2518-0.4671混沌圖5(g)0.00990.0000-0.0461-0.0655-0.2570-0.4653混沌圖3(a)0.0000-0.0013-0.0442-0.0442-0.2845-0.4255擬周期

5 結(jié) 論

對于對稱碰撞振動系統(tǒng)，數(shù)值結(jié)果表明一對共軛擬周期運動能夠轉(zhuǎn)變成單個對稱的擬周期運動，并且在發(fā)生激變之后會出現(xiàn)擬周期運動的陣發(fā)性現(xiàn)象。對稱性恢復(fù)和激變在這個轉(zhuǎn)換過程中具有關(guān)鍵作用。本文定義一個距離函數(shù)來確定激變臨界點。當(dāng)共軛吸引子與不穩(wěn)定對稱不動點在Poincaré截面上的最小距離為零時，一對共軛混沌吸引子將會同時與不穩(wěn)定不動點在吸引域邊界發(fā)生碰撞，這將會引起吸引子擴大和合并。擬周期運動的對稱性恢復(fù)機制是：兩個共軛擬周期吸引子→兩個共軛擬周期吸引子倍化 → 兩個共軛帶狀混沌吸引子 → 一個對稱混沌吸引子 → 一個對稱擬周期吸引子。

基于六維Poincaré映射能夠表示成另外一個非對稱映射的二次迭代，定義對稱極限集來區(qū)分對稱吸引子和共軛吸引子。QR法是一種連續(xù)正交化的手段，可以用于計算Lyapunov指數(shù)，進而判別吸引子的類型。

目前關(guān)于激變誘導(dǎo)的陣發(fā)性的研究，都集中在混沌-混沌陣發(fā)性，以及周期-周期陣發(fā)性[21-24]。本文揭示了碰撞振動系統(tǒng)中由于激變導(dǎo)致的擬周期-擬周期陣發(fā)性現(xiàn)象，這對于高維非線性動力系統(tǒng)吸引子的分岔研究以及碰撞振動系統(tǒng)的優(yōu)化設(shè)計，均具有一定的理論和實踐意義。

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Crisis and quasiperiod-quasiperiod intermittency in a vibro-impact system

YUE Yuan, MIAO Pengcheng

(Applied Mechanics and Structure Safety Key Laboratory of Sichuan Province, School of Mechanics and Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031,China)

Crisis and quasiperiod-quasiperiod intermittency in a 3-DOF vibro-impact system with symmetry were studied. The system’s 6-dimensional Poincaré map was expressed as the second iteration of another unsymmetric map, it implied that the system has a symmetry.Two conjugate quasi-periodic motions, coming from two conjugate periodic motions after Hopf bifurcation coexisted widely in such a dynamic system. According to the limit set theory of dynamic systems and the symmetry of the limit set, a distance function was introduced to detect the crisis of symmetry increasing. It was shown that when the minimum distance between a pair of conjugate chaotic attractors and an unstable symmetric fixed point is close to zero, a pair of conjugate chaotic attractors do not collide with the unstable symmetric fixed point on the attracting field boundary, to lead to a crisis. Numerical simulations revealed that a new intermittency behavior named the quasiperiod-quasiperiod intermittency occurs; the mechanism of symmetry restoring of quasi-periodic motion is two conjugate tori (quasi-periodic) → doubling of two conjugate tori → two conjugate band chaos attractors → a pair of symmetric chaos attractors → one symmetric torus (quasi-periodic); the symmetric limit set is introduced to distinguish symmetric attractors from conjugate ones; Lyapunov exponent spectrum computed with QR method is used to determine the type of attractors; the quasiperiod-quasiperiod intermittency is of importance for the optimization design of vibro-impact systems.

vibro-impact system; quasi-periodic motion; crisis; intermittency

國家自然科學(xué)基金資助(11672249；11272268；11172246)

2015-11-25 修改稿收到日期：2016-03-07

樂源 男，博士，教授，1974年2月生

O322

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.001