求解曲線箱梁空間振動(dòng)特性的Cayley-Hamilton傳遞矩陣法

閆仙麗, 李青寧

(1.山西大學(xué) 土木工程系，太原 030013； 2.西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，西安 710055)

求解曲線箱梁空間振動(dòng)特性的Cayley-Hamilton傳遞矩陣法

閆仙麗1, 李青寧2

(1.山西大學(xué) 土木工程系，太原 030013； 2.西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，西安 710055)

將傳遞矩陣法與Cayley-Hamilton定理相結(jié)合，以微分方程和矩陣分析理論為基礎(chǔ)，提出了一種新的Cayley-Hamilton傳遞矩陣法。應(yīng)用該方法，考慮曲線箱梁橋的空間彎曲、剪切、扭轉(zhuǎn)、拉壓、翹曲及其相互間的耦合作用，推導(dǎo)了曲線箱梁橋離散模型的振動(dòng)空間傳遞矩陣。以某單跨簡(jiǎn)支曲線箱梁橋?yàn)槔?，采用所推?dǎo)矩陣，對(duì)其進(jìn)行計(jì)算機(jī)編程運(yùn)算，得到該橋梁的自振頻率與振型，并與有限元法計(jì)算結(jié)果相比較，二者吻合良好，表明本文方法有效。

橋梁工程；振動(dòng)特性；Cayley-Hamilton傳遞矩陣法；曲線箱梁

曲線箱梁橋的特點(diǎn)在于：一方面曲線梁在只有豎向荷載作用下，也會(huì)發(fā)生彎扭耦合；另一方面，箱梁相對(duì)于普通截面梁而言，易發(fā)生扭轉(zhuǎn)、翹曲、畸變及剪力滯后等現(xiàn)象?！扒€+箱梁”讓曲線箱梁橋變成更復(fù)雜的空間受力體系。盡管有很多學(xué)者針對(duì)曲線箱梁做了大量的研究[1-12]，但這些研究大多只考慮曲線梁或箱梁，或曲線箱梁的部分受力因素，而且集中于靜力分析，動(dòng)力分析相對(duì)較少，相應(yīng)的分析理論還不夠完善[13]。

目前，曲線箱梁橋的動(dòng)力分析方法主要是有限元法[14-18]。有限元法有以下缺點(diǎn)：① 結(jié)構(gòu)總體動(dòng)力學(xué)方程涉及的矩陣階次高，且隨著系統(tǒng)自由度的增加而增高，而結(jié)構(gòu)自由度的數(shù)量將直接影響計(jì)算精度；② 推導(dǎo)結(jié)構(gòu)總體動(dòng)力學(xué)方程困難，且結(jié)構(gòu)發(fā)生改變時(shí)，系統(tǒng)總體動(dòng)力學(xué)方程也需重新建立，這為動(dòng)力學(xué)問題的求解帶來(lái)不便。而傳遞矩陣法很好地彌補(bǔ)了上述缺點(diǎn)，該方法涉及的矩陣階次低，僅取決于系統(tǒng)內(nèi)元件的最高階次，且只需矩陣連乘就可建立系統(tǒng)總體動(dòng)力學(xué)方程[19]。傳遞矩陣法的關(guān)鍵在于求解元件的傳遞矩陣，對(duì)于簡(jiǎn)單元件，一般可由運(yùn)動(dòng)微分方程經(jīng)過簡(jiǎn)單代換和改寫動(dòng)力學(xué)方程導(dǎo)出。但對(duì)于復(fù)雜元件，需要用偏微分方程描述其動(dòng)力學(xué)方程，求解傳遞矩陣變得非常困難，一般需要將其轉(zhuǎn)化為n階微分方程或n個(gè)一階微分方程進(jìn)行求解。而Cayley-Hamilton定理可以很好地求解n個(gè)一階微分方程[20-21]，因此本文將Cayley-Hamilton定理與傳遞矩陣法相結(jié)合，提出Cayley-Hamilton傳遞矩陣法，并將其應(yīng)用于求解曲線箱梁橋的振動(dòng)特性。

1 曲線箱梁橋振動(dòng)特性的計(jì)算模型與求解

如圖1所示曲線箱梁橋，將其等效為無(wú)質(zhì)量曲線箱梁段與集中質(zhì)量的組合系統(tǒng)。系統(tǒng)中元件個(gè)數(shù)為n，依次對(duì)元件進(jìn)行編號(hào)，左端邊界為0，右端邊界為n+1。

圖1 曲線箱梁橋振動(dòng)特性計(jì)算模型

Fig.1 Vibration characteristics calculation model of the curved box bridge

考慮曲線箱梁橋的空間受力，選取各元件的狀態(tài)向量均為

式中：N,T為曲線箱梁x方向的軸力和扭矩;Vy,My為y方向的剪力和彎矩;Vz,Mz為z方向的剪力和彎矩;B為雙力矩；ux,uy,uz分別為x,y,z方向的線位移;φx,φy,φz分別為繞x,y,z軸的角位移，?為翹曲角。用Si,j表示聯(lián)接點(diǎn)的狀態(tài)向量，其中i，j表示聯(lián)接點(diǎn)處相鄰元件的序號(hào)，則各元件間的傳遞方程為

(1)

系統(tǒng)總傳遞方程為

(2)

式中：T1,T3,T5…為無(wú)質(zhì)量曲線箱梁的傳遞矩陣；T2,T4,T6…為集中質(zhì)量的傳遞矩陣；T為總傳遞矩陣，

傳遞系數(shù)ti,j的下標(biāo)“i，j”表示它位于第i行j列，其物理意義為元件一端第j個(gè)狀態(tài)向量發(fā)生單位變形(力)時(shí)，所引起的元件另一端的第i個(gè)變形(力)。

將邊界條件

代入式(2)得

(3)

式中：07表示7行零列陣。

由式(3)，得齊次方程：

(4)

解式(4)，得到系統(tǒng)特征方程為

(5)

求解式(5)，可得到7個(gè)固有頻率ωk，對(duì)一個(gè)固有頻率ωk，求解總傳遞方程，得到曲線箱梁橋邊界點(diǎn)的狀態(tài)向量，利用每個(gè)元件的傳遞矩陣和傳遞方程可得到系統(tǒng)的全部狀態(tài)向量，進(jìn)而得到系統(tǒng)振型。

1.1 無(wú)質(zhì)量曲線箱梁的振動(dòng)傳遞矩陣

選取圖2所示計(jì)算坐標(biāo)系：以截面形心C為原點(diǎn)，截面形心連線為x軸，截面徑向形心主軸為y軸，截面豎向形心主軸為z軸。R為半徑，α為曲線箱梁的中心角，規(guī)定順時(shí)針方向?yàn)榍收较颉?/p>

圖2 曲線箱梁計(jì)算模型簡(jiǎn)圖

根據(jù)平衡條件得到無(wú)質(zhì)量曲線箱梁的自由振動(dòng)方程為[22-23]

(6)

由曲線箱梁應(yīng)變和位移之間的關(guān)系有：

(7)

式中：εx為軸向應(yīng)變；?為翹曲角；νy,νz為考慮水平剪切變形后，水平向和豎向剪切轉(zhuǎn)角；kx,ky,kz分別為Mx,My,Mz引起的梁段繞x軸的扭曲率，繞y軸的曲率，繞z軸的扭曲率。

根據(jù)材料力學(xué)，得到曲線箱梁力和位移的關(guān)系為

(8)

對(duì)式(6)～(8)進(jìn)行整理計(jì)算，并寫成傳遞矩陣的形式為

(9)

其中：B為14×14矩陣，其非零元素為

t5,3=t7,4=-t6,2=-1,t6,2=t9,13=t10,12=t11,14=1

式(9)的通解為

(10)

式中：S0為初始狀態(tài)向量;T(x)=eBx為傳遞矩陣。將T(x)=eBx表示為無(wú)窮級(jí)數(shù)有

(11)

根據(jù)Cayley-Hamilton原理對(duì)其進(jìn)行計(jì)算。

設(shè)B的特征多項(xiàng)式為

(12)

由Cayley-Hamilton原理有

(13)

因此，Bn、Bn+1、…均可用Bn-1、Bn-2、…、I線性表示，所以

T(x)=eBx=C0I+C1B+C2B2+…+Cn-1Bn-1

(14)

式中，C0,C1,C2,…,Cn-1為待定系數(shù)。

如果φ(b)=0所對(duì)應(yīng)的根均為單根，特征值bi對(duì)應(yīng)的特征向量為vi，則由

Bmvi=bmvi,

(C0I+C1B+C2B2+…+Cn-1Bn-1)vi

(15)

得

所以特征值bi滿足

(16)

由此n個(gè)方程解出未知數(shù)C0,C1,C2,…,Cn-1，然后代入式(14)求得無(wú)質(zhì)量曲線箱梁的傳遞矩陣。

1.2 集中質(zhì)量的振動(dòng)傳遞矩陣

集中質(zhì)量在自由振動(dòng)下的位移為

對(duì)其二次求導(dǎo)得：

(17)

對(duì)于空間振動(dòng)集中質(zhì)量m，由平衡條件有

(18)

由集中質(zhì)量輸入端和輸出端的幾何關(guān)系有：

(19)

定義空間振動(dòng)集中質(zhì)量的的狀態(tài)向量為

整合式(17)～(19)得

(20)

式中：T為14×14矩陣，即集中質(zhì)量自由振動(dòng)狀態(tài)的傳遞矩陣，其非零元素為

1.3 計(jì)算步驟

用上述方法求解曲線橋空間振動(dòng)特性的計(jì)算流程如圖3所示。

圖3 曲線箱梁橋空間振動(dòng)特性的求解流程圖

Fig.3 The flow chart to calculate the vibration characteristics of space curved box bridge

2 計(jì)算實(shí)例

某單跨均質(zhì)簡(jiǎn)支曲線箱梁橋，橋長(zhǎng)40 m，橋?qū)? m，曲率半徑為R=70 m。全橋截面形式為等截面單箱單室截面，計(jì)算簡(jiǎn)圖及主梁截面如圖4所示。

圖4 曲線箱梁橋計(jì)算簡(jiǎn)圖及截面尺寸(m)

Fig.4 Calculation diagram and the section dimensions of the curved box bridge (m)

采用文中所推導(dǎo)的曲線箱梁橋的振動(dòng)特性傳遞矩陣，對(duì)橋梁算例進(jìn)行計(jì)算機(jī)編程運(yùn)算，得到該橋梁的自振頻率，并將其與有限元法(將全橋劃分為40個(gè)梁?jiǎn)卧?，選用midas civil軟件計(jì)算所得)計(jì)算結(jié)果相比較，結(jié)果如表1。

表1 曲線箱梁橋的前8階自振頻率

根據(jù)自振頻率求得各階振型，見圖5所示(圖中，x軸代表橋長(zhǎng))。其中第1,3,6,8振型為豎向振型，第4振型為水平橫向振型，第2,5,7振型為繞水平橫向的彎曲振型。

對(duì)比表1及圖5得到，Cayley-Hamilton傳遞矩陣法的計(jì)算結(jié)果與有限單元法的計(jì)算結(jié)果非常接近，最大誤差僅為0.55%，可見本文Cayley-Hamilton傳遞矩陣法有效。此外，由圖5(d)可以看出第四振型為橋梁橫向振動(dòng)，且幅度較大，這是由于曲線橋一端設(shè)置鏈桿支承，不能在橫向給予足夠約束導(dǎo)致，因此對(duì)于曲線橋梁的支承一般需設(shè)置點(diǎn)鉸支承或者抗扭支承。

(a)第一振型

(b)第二振型

(c)第三振型

(d)第四振型

(e)第五振型

(f)第六振型

(g)第七振型

(h)第八振型

3 結(jié) 論

通過算例分析可看出，Cayley-Hamilton傳遞矩陣法和空間有限元法計(jì)算得到的曲線箱梁梁橋的頻率和振型基本一致，可見Cayley-Hamilton傳遞矩陣法有效。

由上述曲線箱梁橋的計(jì)算步驟及元件傳遞矩陣的推導(dǎo)過程可看出，Cayley-Hamilton傳遞矩陣法是一種顯式精確解析法，計(jì)算精度高。該方法為復(fù)雜元件傳遞矩陣的求解提供了一種新思路，可用于求解經(jīng)代換得到n個(gè)一階微分方程的元件的動(dòng)力傳遞矩陣的求解。

Cayley-Hamilton傳遞矩陣法可用于離散結(jié)構(gòu)體系，連續(xù)結(jié)構(gòu)體系及離散、均質(zhì)相混合的復(fù)雜結(jié)構(gòu)體系；并可以推廣應(yīng)用于結(jié)構(gòu)在地震荷載及風(fēng)荷載等外力作用下的動(dòng)力反應(yīng)分析。此外，由于傳遞矩陣與剛度矩陣可相互轉(zhuǎn)化，從而為用有限元法與傳遞矩陣法求解復(fù)雜體系動(dòng)力學(xué)問題提供了新的思路。

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A Cayley-Hamilton transfer matrix method for solving the vibration characteristics of curved box beams

YAN Xianli1, LI Qingning2

(1. Department of Civil Engineering, Shanxi University, Taiyuan 030013, China; 2. School of Civil Engineering, Xi’an University of Architecture and Technology, Xi’an 710055, China)

A new Cayley-Hamilton transfer matrix method was proposed by integrating the Cayley-Hamilton theorem and the transfer matrix method. It was based on the theory of differential equations and matrix analysis. Adopting this method, the space vibration transfer matrix of the discrete curved box girder bridge model was derived taking into account the spatial bending, shear, torsion, tension, compression, warping and their coupling effects. With a simply supported single span curved bridge as an example, a calculation programming was conducted to obtain the vibration frequency and vibration mode of the bridge by using the derived matrix. And compared with the results of the finite element method, the results agree well with each other. It demonstrates that this method is effective.

bridge engineering; vibration characteristics; Cayley-Hamilton transfer matrix method; curved box beam

國(guó)家自然科學(xué)基金(51078306)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20136120120022)；國(guó)家自然科學(xué)基金(51408453)

2015-07-30 修改稿收到日期：2015-12-03

閆仙麗 女，博士，講師，1984年9月生

李青寧 男,博士,教授,博士生導(dǎo)師，1952年4月生 E-mail: lqn419@126.com

U441.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.08.022