向量在高考數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

徐婧

摘 要：向量這一概念，在我們的高考數(shù)學(xué)中占據(jù)著重要地位，也成為了考試的熱點(diǎn)之一。向量是一種數(shù)學(xué)工具，能夠?qū)⒂?jì)算問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，是數(shù)形結(jié)合必不可少的一種重要手段。向量在很多領(lǐng)域都能體現(xiàn)自身的價(jià)值，運(yùn)用向量方法解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，可能收到意想不到的效果，能夠大大提升解題速度，提高題目正確率。本文從向量在高考中的地位著手，將數(shù)量積、法向量、向量的模等知識(shí)點(diǎn)引入到高考數(shù)學(xué)重要的熱點(diǎn)、難點(diǎn)問(wèn)題中去，簡(jiǎn)單介紹了向量在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：向量 高中數(shù)學(xué) 高考 應(yīng)用

隨著我國(guó)教育水平的提升，向量理論快速發(fā)展。由于在后續(xù)大學(xué)的專業(yè)教育中，很多專業(yè)如力學(xué)專業(yè)、物理學(xué)、機(jī)械類等都需要具備一定的向量知識(shí)，所以向量得到了重視，高考中所涉及的向量問(wèn)題也越來(lái)越多。將向量問(wèn)題運(yùn)用到高考數(shù)學(xué)中來(lái)，既能提升我們的解題速度，更能培養(yǎng)我們的發(fā)散性和邏輯性思維。

1.向量在高考數(shù)學(xué)中的地位

向量理論是近代數(shù)學(xué)理論中的基礎(chǔ)和重要概念之一。向量能夠聯(lián)系起代數(shù)、幾何和函數(shù)不等式，并成為了解決問(wèn)題的有力武器。向量可應(yīng)用范圍廣，可滲透進(jìn)很多的數(shù)學(xué)理論中，并形成新的分析思路和解題方法。向量問(wèn)題歸根結(jié)底是數(shù)形結(jié)合問(wèn)題，將代數(shù)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為幾何關(guān)系，再通過(guò)向量的代數(shù)運(yùn)算得到結(jié)果，既直觀又準(zhǔn)確。向量將函數(shù)、不等式、三角函數(shù)、復(fù)數(shù)、平面幾何、解析幾何等數(shù)學(xué)內(nèi)容交叉聯(lián)系起來(lái)，通過(guò)另一種思路和方法解決這些問(wèn)題，有時(shí)候能夠收到事半功倍的效果，而向量在高考數(shù)學(xué)中也占有著不可替代的地位。

2.向量在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

以下通過(guò)實(shí)例來(lái)分析向量在高考數(shù)學(xué)中的應(yīng)用形式。

2.1向量在函數(shù)導(dǎo)數(shù)中的應(yīng)用

例1：已知向量 ， ，若函數(shù) 在區(qū)間（-1，1）上是增函數(shù)，求t的取值范圍。

解：根據(jù)向量的運(yùn)算可知， ， ，若 在（-1，1）上為增函數(shù)，則 ，因?yàn)?圖像開(kāi)口向下，當(dāng)且僅當(dāng) 且 時(shí)成立，得出t的取值范圍 。

本道高考題，看似是與函數(shù)有關(guān)，其實(shí)就是在考察向量的內(nèi)積運(yùn)算，得出三次函數(shù) ，分析參數(shù)的取值范圍，達(dá)到題設(shè)的條件。合理的使用向量方法，將題目逐步轉(zhuǎn)化為完全的函數(shù)問(wèn)題，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)和理論處理向量問(wèn)題，注重向量的引導(dǎo)性作用。

2.2向量在三角函數(shù)中的應(yīng)用

例2：已知向量 ， ， ，且 ，求 的值。

解：

由已知得， ， ，所以，

利用單位圓看待和研究三角函數(shù)時(shí)，三角函數(shù)本質(zhì)上就是向量。也就是說(shuō)，向量能夠表示出三角函數(shù)。使用向量問(wèn)題解決三角函數(shù)問(wèn)題就是將三角函數(shù)運(yùn)算圖像化、直觀化，簡(jiǎn)單明了，更能體現(xiàn)向量的價(jià)值。

2.3向量在平面幾何中的應(yīng)用

例3：O是平面上的一個(gè)點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足 ， ，則P的軌跡一定通過(guò)三角形ABC的__心。

解：設(shè) ， ，分別為AB和AC上的單位向量，所以， 向量所對(duì)應(yīng)的方向是三角形中角BAC的角平分線AD的方向。因?yàn)?，所以， 的方向相同，而 ，即點(diǎn)P在AD上移動(dòng)，P的軌跡過(guò)三角形ABC的內(nèi)心。

平面幾何就是主要研究圖形的數(shù)學(xué)問(wèn)題，向量法能夠有效的處理三角形的三線四心問(wèn)題，中線、角平分線、高、重心、垂心、內(nèi)心、外心等。在處理這些問(wèn)題中，使用向量方法，可以不再糾結(jié)平面幾何關(guān)系問(wèn)題，不用考慮輔助線，不用理清楚線線、線形之間的復(fù)雜關(guān)系，只需要根據(jù)題目條件列出向量式，通過(guò)計(jì)算的方法，就能輕松的解決問(wèn)題。

2.4向量在解析幾何中的應(yīng)用

例4：橢圓 的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)角F1PF2為鈍角時(shí)，點(diǎn)P 的橫坐標(biāo)的取值范圍是____。

解： ，設(shè)P（x0，y0），則 ，因?yàn)榻荈1PF2為鈍角，所以 ，得 ，又由于 ，即 ，所以 。

向量在解析幾何中的應(yīng)用要比平面幾何更有效、更適用，也更有針對(duì)性。因?yàn)橄蛄靠梢酝ㄟ^(guò)坐標(biāo)表示，有自身的一套坐標(biāo)計(jì)算方法，而解析幾何就是通過(guò)坐標(biāo)的表示計(jì)算，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直接的數(shù)學(xué)計(jì)算，更加精確也更直接。正是由于兩者的共性，向量與解析幾何有著密不可分的天然聯(lián)系。舉幾個(gè)例子，平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離就是以這兩點(diǎn)為起始終止點(diǎn)向量的模；兩直線垂直就是兩向量?jī)?nèi)積為零；兩直線平行、斜率相同就是相應(yīng)向量對(duì)應(yīng)坐標(biāo)成比例等。如果在這些問(wèn)題中考慮使用向量方法，就不在考慮平面關(guān)系，而是直接計(jì)算得出結(jié)論，能夠忽略由于難以做出幾何判定而題目難以進(jìn)行的問(wèn)題。

3.結(jié)語(yǔ)

向量是一個(gè)數(shù)學(xué)模塊的交叉點(diǎn)，有著許多的數(shù)學(xué)應(yīng)用，有著獨(dú)特的多樣化，有著巨大的活力和潛力。向量是一種數(shù)學(xué)工具，它建立起了從代數(shù)到幾何的一個(gè)橋梁，將代數(shù)問(wèn)題幾何化能夠更直觀，更形象，思路更加清晰，分析更加容易；將幾何問(wèn)題代數(shù)化能夠更簡(jiǎn)便易行，更具有解題規(guī)律，只看重公式計(jì)算，忽略由于幾何判斷不準(zhǔn)所導(dǎo)致的錯(cuò)誤問(wèn)題。一旦能夠運(yùn)用向量數(shù)形結(jié)合，兼具優(yōu)勢(shì)，向量以其方法的程序性、快捷性、靈活性和實(shí)用性就能成為一種解題利器，因此是高考知識(shí)點(diǎn)中較為突出的部分。向量對(duì)于我們高中學(xué)生高考成績(jī)、未來(lái)發(fā)展都至關(guān)重要，在解題過(guò)程中我們應(yīng)該多多嘗試使用向量方法，對(duì)比總結(jié)，最終形成自己的一套解題思維。但需要注意的是，向量有其獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，但也存在不足，就是計(jì)算量較大，計(jì)算難度較為復(fù)雜，需要我們耐心細(xì)致。

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