讓學(xué)生真正理解圓的面積公式

許定山

【背景】

一位老師在“圓的面積”新授課的全課總結(jié)環(huán)節(jié)安排了學(xué)生質(zhì)疑，其中有一位學(xué)生的發(fā)言引起了我的注意，她說(shuō)：“既然圓的面積轉(zhuǎn)化成的是一個(gè)近似的長(zhǎng)方形，那圓的面積公式為什么不寫成S≈πr2呢？”這位老師可能是因?yàn)榭煲抡n了，也有可能是對(duì)這個(gè)問(wèn)題沒(méi)有預(yù)設(shè)，不知怎么回答，老師說(shuō)：“因?yàn)樗且粋€(gè)公式，所以必須用等號(hào)?！睂W(xué)生似懂非懂坐下了，很顯然這位老師的回答并不能讓學(xué)生信服。

學(xué)生為什么會(huì)產(chǎn)生這樣的疑問(wèn)？看來(lái)學(xué)生并不認(rèn)為他們學(xué)到的圓的面積公式是準(zhǔn)確公式，這樣的認(rèn)識(shí)到底是個(gè)別學(xué)生或者是個(gè)別班級(jí)，還是一個(gè)普遍現(xiàn)象，帶著這樣的思考，筆者先后對(duì)周邊學(xué)校20個(gè)班級(jí)的六年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，調(diào)查內(nèi)容是這樣的：

把你認(rèn)為正確的答案序號(hào)填在括號(hào)里，可以多選：

1.我們?cè)趯W(xué)習(xí)圓的面積公式時(shí)，是把圓轉(zhuǎn)化成（ ）計(jì)算它的面積的。

A.近似的平行四邊形 B.平行四邊形

C.近似的長(zhǎng)方形 D.長(zhǎng)方形

2.圓的面積公式是（ ）。

A.S=πr2 B.S≈πr2 C.S>πr2 D.S<πr2

考慮到“圓的面積”是五年級(jí)的內(nèi)容，六年級(jí)學(xué)生已經(jīng)把這一知識(shí)擱在一邊一段時(shí)間了，對(duì)一些似是而非的答案可能判斷不準(zhǔn)確，但學(xué)習(xí)“圓的面積”時(shí)已經(jīng)形成的結(jié)論，也就是第一題的D答案和第二題的A答案不應(yīng)有錯(cuò)。于是，我在統(tǒng)計(jì)時(shí)只要第一題所選的答案中包含D，第二題的答案中包含A就算對(duì)。但統(tǒng)計(jì)結(jié)果第一題沒(méi)有選擇D，第二題沒(méi)有選擇A的學(xué)生相當(dāng)普遍，幾乎所有班級(jí)這樣的學(xué)生都超過(guò)了50%，其中第一題沒(méi)有選擇D的竟然高達(dá)95%，很多學(xué)生選擇了C。為什么會(huì)選擇C呢？在與科任老師的交流中，我發(fā)現(xiàn)了這樣的教具或課件：

把最右邊的扇形平均分成兩半，把其中一半移到左邊。這樣就把一個(gè)近似的平行四邊形轉(zhuǎn)化成了近似的長(zhǎng)方形，難怪有這么多的學(xué)生選擇了C。這樣的教學(xué)雖然便于學(xué)生看出長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，但學(xué)生沒(méi)法理解一個(gè)圓能通過(guò)無(wú)限分割真的拼成長(zhǎng)方形。

【原因分析】

針對(duì)這樣的調(diào)查結(jié)果，在與多位老師的交流中，我們普遍感覺(jué)到當(dāng)下的圓面積教學(xué)存在以下不足：

1.學(xué)生操作感知不夠，有很多學(xué)生只拼了16等份或32等份的圓，缺少?gòu)?等份到8等份再到16等份、32等份的完整過(guò)渡，學(xué)生觀察不全面，無(wú)法從中發(fā)現(xiàn)拼成的圖形逐步由近似平行四邊形向長(zhǎng)方形過(guò)渡。

2.教學(xué)中過(guò)多地關(guān)注如何拼以及拼成后面積如何計(jì)算，也就是更注重公式的形成過(guò)程，而如何拼成一個(gè)真正的長(zhǎng)方形筆墨不多。

3.推導(dǎo)過(guò)程只局限在平均分的份數(shù)越多，拼成的圖形就越接近于長(zhǎng)方形，究竟能不能拼成長(zhǎng)方形學(xué)生模棱兩可。

【改進(jìn)措施】

我們有針對(duì)性地對(duì)圓面積教學(xué)進(jìn)行了一些改進(jìn)：

在教學(xué)中增加了4等份和8等份圓的操作，每操作完一種就把它拼成的形狀記錄在電腦上，并且每拼成一個(gè)圖形都讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)像什么圖形，4等份時(shí)竟然有學(xué)生說(shuō)不出像什么圖形，在拼32等份后老師安排了比較環(huán)節(jié)：

師：一開(kāi)始4等份時(shí)你們?yōu)槭裁礇](méi)有發(fā)現(xiàn)拼成的是一個(gè)近似的平行四邊形？有的學(xué)生認(rèn)為上下兩條邊太彎曲了，感覺(jué)一點(diǎn)也不像；有的學(xué)生認(rèn)為就像一只烏龜，誰(shuí)知道會(huì)是近似的平行四邊形。

師：隨著平均分的份數(shù)越來(lái)越多，拼成的圖形的變化趨勢(shì)是怎樣的？

學(xué)生：上下兩條邊不太彎曲了。

學(xué)生：不像烏龜了（笑）。

師：怎么就不像烏龜了呢？

學(xué)生：頭不翹了。

另一學(xué)生：傾斜得不厲害了。

老師對(duì)這名學(xué)生進(jìn)行了表?yè)P(yáng)，老師問(wèn)：要是再繼續(xù)分下去，會(huì)怎樣？在學(xué)生說(shuō)出一些答案后老師在屏幕上出示了64等份的近似平行四邊形。

師：你有什么感受？

生：我感覺(jué)都有一點(diǎn)像長(zhǎng)方形了。（也有的學(xué)生爭(zhēng)執(zhí)，認(rèn)為還應(yīng)該是近似的平行四邊形）

師：不管它是近似的平行四邊形還是長(zhǎng)方形，你會(huì)大概的計(jì)算一下它的面積嗎？老師只給一個(gè)條件，原來(lái)的圓半徑是5厘米。（“大概”兩個(gè)字聲音特意強(qiáng)調(diào)）

學(xué)生嘗試計(jì)算，得出這個(gè)近似圖形面積的計(jì)算方法是πr2。

老師在圓的面積S和πr2之間加上約等號(hào)，面帶苦澀地說(shuō)：圓的面積用這種方法計(jì)算只能得到一個(gè)大概的結(jié)果呀！

師：有沒(méi)有辦法找出求圓面積的準(zhǔn)確公式？（停頓1分鐘多，有的學(xué)生在下面小聲議論）

學(xué)生議論一段時(shí)間后，有學(xué)生舉手說(shuō)：我相信繼續(xù)不斷地分下去，上下兩條邊就不再?gòu)澢恕?/p>

另一個(gè)學(xué)生連忙舉手：斜邊也不再傾斜了。

部分學(xué)生：那就變成了真正的長(zhǎng)方形了。

老師在屏幕上展示長(zhǎng)方形，指出：科學(xué)家正是這樣堅(jiān)持不懈地分下去，最終發(fā)現(xiàn)圓是可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的。

接著再讓學(xué)生自主討論長(zhǎng)方形與圓的關(guān)系，得出圓的面積計(jì)算公式，老師親手把S和πr2之間的約等號(hào)改成等于號(hào)。

本節(jié)課上到這里離下課時(shí)間已經(jīng)不多了，老師勉強(qiáng)帶領(lǐng)學(xué)生完成實(shí)際應(yīng)用就下課了，似乎有些倉(cāng)促，來(lái)不及鞏固了，顯得并不完美。但比起完整的推導(dǎo)過(guò)程，顯然得遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于失，因?yàn)閷W(xué)生真正理解了圓的面積推導(dǎo)過(guò)程，學(xué)生第一次通過(guò)了無(wú)限分割的方法解決了問(wèn)題。從另一個(gè)角度來(lái)看，我們的學(xué)生是千差萬(wàn)別的，很多學(xué)生可能以后并沒(méi)有機(jī)會(huì)接觸數(shù)學(xué)極限的思想，沒(méi)有這樣的教學(xué)他們可能終生都認(rèn)為圓的面積是一道近似公式。

參考文獻(xiàn)：

吳劍春，馬鳳枝.“圓的面積”設(shè)計(jì)及評(píng)析[J].小學(xué)教育科研論壇，2004（21）.

編輯 楊國(guó)蓉