幾種常見(jiàn)函數(shù)的求導(dǎo)法

王軍+曹會(huì)君

【摘要】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的重要前提條件，但在高職院校中，學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)的求導(dǎo)比較吃力，總是不知從哪里下手。根據(jù)本人多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，介紹幾種學(xué)生常見(jiàn)錯(cuò)誤與正確的求導(dǎo)方法。

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)；復(fù)合函數(shù)；隱函數(shù)；冪指函數(shù)

由于高職院校主要培養(yǎng)的是高級(jí)技術(shù)專(zhuān)業(yè)人才，所以在課時(shí)設(shè)置時(shí)，高等數(shù)學(xué)的課時(shí)是以“必需，夠用，為專(zhuān)業(yè)課程服務(wù)”的原則來(lái)設(shè)置的，課時(shí)相對(duì)較少，例如我院的高等數(shù)學(xué)課時(shí)只有56學(xué)時(shí)，在這種情況下，高等數(shù)學(xué)課程的教學(xué)采用的是重實(shí)踐的原則，讓學(xué)生掌握好并會(huì)獨(dú)立進(jìn)行計(jì)算，并會(huì)在專(zhuān)業(yè)知識(shí)中解決實(shí)際問(wèn)題。在高等數(shù)學(xué)的運(yùn)算中，一元函數(shù)的微積分的運(yùn)算是基礎(chǔ)，而其中導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算又是微積分的基礎(chǔ)，對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，對(duì)函數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算熟練掌握有一定的困難，幾種常見(jiàn)的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算也經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤，因此，本人根據(jù)多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)幾種常見(jiàn)的函數(shù)的求導(dǎo)方法。

一、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法

復(fù)合函數(shù)是基本初等函數(shù)復(fù)合而成，是數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的函數(shù)?；境醯群瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)可由前人總結(jié)出的求導(dǎo)公式求出，簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可由求導(dǎo)公式和四則求導(dǎo)法則求出。而由基本初等函數(shù)構(gòu)成的復(fù)雜些的復(fù)合函數(shù)在求導(dǎo)時(shí)，學(xué)生在計(jì)算過(guò)程中總是出錯(cuò)，這是學(xué)生沒(méi)有真正掌握復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。下面介紹復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)過(guò)程中會(huì)遇到的步驟：首先看復(fù)合函數(shù)中哪一部分當(dāng)做一個(gè)整體時(shí)，該復(fù)合函數(shù)就對(duì)應(yīng)了一個(gè)基本初等函數(shù)；其次應(yīng)用這個(gè)對(duì)應(yīng)的基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，在套用公式時(shí)公式中的x均換成那個(gè)整體，同時(shí)后面再乘上這個(gè)整體的導(dǎo)數(shù)。以此類(lèi)推，在結(jié)合四則求導(dǎo)法則，所有復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算就都解決了。

例1：求y=cos2x的導(dǎo)數(shù)。

二、隱函數(shù)的求導(dǎo)法

形如F（x，y）=0，其中y又是x的函數(shù)，我們把這樣的函數(shù)稱(chēng)為隱函數(shù)。學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中較難掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)，但其實(shí)是有規(guī)律的：既然隱函數(shù)隱藏于F（x，y）=0方程中，并不需要解方程求出y=f（x），再求導(dǎo)數(shù)，并且有些并不能求出y=f（x）。因此直接面對(duì)方程直接來(lái)求導(dǎo)數(shù)，具體步驟如下：1.方程兩邊同時(shí)對(duì)自變量x求導(dǎo)，在遇到是y的函數(shù)對(duì)x求導(dǎo)時(shí)，按復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，即先對(duì)y求導(dǎo)再乘以y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)y′。2.解出y′。這樣就求出了隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。

在高職的實(shí)際教學(xué)過(guò)程中，以上三種函數(shù)的求導(dǎo)運(yùn)算學(xué)生不易掌握，特此總結(jié)一下為了更好的服務(wù)教學(xué)。