關于x2+px+q=0的直觀詮釋

李中文

幾何直觀是領悟數(shù)學最積極而有效的途徑之一.為了更深刻地把握一元二次方程，本文擬從幾何角度對x2+px+q=0（p≠0，p，q為常數(shù)，以下略）的代數(shù)內(nèi)涵作一直觀嘗試，懇與同行商榷.

一、x2+px+q=0的根的模型

已知，如圖1，AB為⊙O的直徑，直線m交⊙O于M、N，AC⊥m于C，BD⊥m于D，則

① AC·BD=CN·DN（由△ACN∽△NDB可得）；

② AC·BD=CM·DM（由△ACM∽△MDB可得）；

③ CM=DN（由平行線等分線段定理和垂徑定理可得）.

由①得AC·BD=CN（CD-CN），

即CN2-CD·CN+AC·BD=0.

由②得AC·BD=CM（CD-CM），

即CM2-CD·CM+AC·BD=0.

不妨設p=-CD，q=AC·BD，

則由一元二次方程根的意義可知，CN、CM就是方程x2+px+q=0的兩根的直觀模型.

二、x2+px+q=0的根的判別式模型

如圖1，過O點作OE⊥m于E，過A作AF⊥DB于F，顯然有BD+AC=2OE（OE為梯形ACDB的中位線），AF=CD（夾在平行線間的平行線段相等），BF=BD-AC，

AB2=AF2+BF2=CD2+（BD-AC）2，

∴AB2-4OE2=CD2+（BD-AC）2-（BD+AC）2=（-CD）2-4AC·BD=p2-4q（前設p=-CDq=AC·BD）.

我們來探求一下AB2-4OE2的符號與x2+px+q=0的根的情況是否存在內(nèi)在的必然聯(lián)系：

1.當AB2-4OE2>0即AB>2OE時，直線m與⊙O相交→方程x2+px+q=0有兩個根CM，CN，且CM≠CN，如圖1.

2.當AB2-4OE2=0即AB=2OE時，直線m與⊙O相切→M，N重合→x2+px+q=0有兩個根CM，CN，且CM=CN，如圖2.

3.當AB2-4OE2<0即AB<2OE時，直線m與⊙O相離，如圖3，將方程x2+px+q=0變形為x（x+p）=-q.

即xAC=BDCD-x（前設p=-CD，q=AC·BD）.

假設此比例式成立，由幾何意義知x須滿足0

如圖3，不妨在CD上取點H，使CH=x，連接AH交⊙O于G，連接BH、BG，則Rt△ACH∽Rt△HDB（兩邊對應成比例，且夾角相等的兩個三角形相似），由此易得∠AHC=∠HBD.∵∠HBD+∠BHD=90°，又∵AB為⊙O的直徑，∴H必在⊙O上，這和直線m與⊙O相離相矛盾，故假設不成立，即無論x取何實數(shù)時方程x2+px+q=0均無實根.

鑒于AB2-4OE2正好等價于p2-4q，無疑將其作為x2+px+q=0的根判別式（Δ=p2-4q）的直觀模型，即Δ=AB2-4OE2.

三、x2+px+q=0的求根公式模型

這是從純幾何角度推導出的關于x2+px+q=0的根與系數(shù)的關系，即韋達定理，我們不妨把它叫作x2+px+q=0的韋達定理模型.

至此，我們已從根的意義、根的判別式、求根公式、根與系數(shù)的關系等四個方面把一元二次方程的代數(shù)內(nèi)涵建構于幾何圖形各元素的有機聯(lián)系之中.筆者不揣拙淺，斗膽將以上諸點鎖定為一元二次方程x2+px+q=0的直觀詮釋，以就教于方家.

【參考文獻】

[1]梁紹鴻.初等數(shù)學復習及研究（平面幾何）[M].北京：人民教育出版社，1978：405-406.