基于高考試題的高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)研究

郭志宏

【摘要】在高中教育階段，不等式知識是數(shù)學(xué)教學(xué)過程中的重點知識，也是一大難點知識，為使學(xué)生準(zhǔn)確掌握、牢固記憶不等式知識，必須選擇科學(xué)的、合理的、有效的教學(xué)方法.使學(xué)生在面對將不等式知識與三角、方程、函數(shù)等結(jié)合在一起的高考試題時，能夠靈活運用不等式知識，準(zhǔn)確地分析試題、解答試題.本篇論文中，筆者針對高考試題中的不等式知識，探討高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)的相關(guān)有效措施.

【關(guān)鍵詞】高考試題；高中數(shù)學(xué)；不等式教學(xué)

高考數(shù)學(xué)中，與不等式知識相關(guān)的試題相對來說比較多.基于這樣的原因，高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，必須加強對不等式知識的關(guān)注與重視，并要在不等式教學(xué)過程中運用科學(xué)的、合理的、有效的教學(xué)方法，以便提高教學(xué)效率與教學(xué)質(zhì)量，使學(xué)生準(zhǔn)確掌握、牢固記憶、靈活運用不等式知識.

一、培養(yǎng)與加強學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力

在高考試題中，不等式知識通常會與三角、方程、函數(shù)等知識結(jié)合在一起，并以此來考查學(xué)生的思維能力、解題能力.

例如，（2014安徽，文13）設(shè)函數(shù)f（x）=2|x-1|+x-1，g（x）=16x2-8x+1，記f（x）≤1的解集為M，g（x）≤4的解集為N.

（Ⅰ）求M；

（Ⅱ）當(dāng)x∈M∪N時，證明x2f（x）+x[f（x）]2≤14.

本題考查不等式選講、含絕對值不等式的解法、不等式的證明等，解答本題的關(guān)鍵是能利用分類討論思想，去掉絕對值，轉(zhuǎn)化成為常見不等式求解.本題（Ⅱ）轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)問題求解，實現(xiàn)了化生為熟的解題策略.

在此題的教學(xué)過程中，教師先要引導(dǎo)學(xué)生找出試題中的已知信息，并運用已有知識來分析、轉(zhuǎn)化、解決問題.通過科學(xué)、合理地分析問題、解答問題，不僅改善了學(xué)生的解題能力，在一定程度上也加強了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想.那么，學(xué)生再碰到這種問題就會游刃有余了.

二、實現(xiàn)教學(xué)生活化

在不等式教學(xué)過程中，將不等式知識與三角、方程、函數(shù)等知識有機聯(lián)系起來進行教學(xué)，可以提高學(xué)生對知識的靈活運用能力，使學(xué)生更快、更準(zhǔn)確地解答試題，但也大大增加了學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)難度.面對這樣的問題，可以通過將不等式教學(xué)與生活中常見的實例結(jié)合起來，在生活情境中對不等式知識與其他知識進行結(jié)合教學(xué)，有利于提高教學(xué)效率與教學(xué)效果.例如，在講解關(guān)于利用不等式對最值進行求解的知識時，教師就可以結(jié)合生活中的常見實例進行教學(xué).

例如，（2015陜西，理10）某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品均需用A，B兩種原料.已知生產(chǎn)1噸每種產(chǎn)品需原料及每天原料的可用限額如表所示，如果生產(chǎn)1噸甲、乙產(chǎn)品可獲利潤分別為3萬元、4萬元，則該企業(yè)每天可獲得最大利潤為（）

A.12萬元

B.16萬元

C.17萬元

D.18萬元

甲乙原料限額

A（噸）3212

B（噸）128

解析設(shè)該企業(yè)每天生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品分別為x、y噸，則利潤z=3x+4y.

由題意可列3x+2y≤12，x+2y≤8，x≥0，y≥0， 其表示如圖陰影部分區(qū)域：

當(dāng)直線3x+4y-z=0過點A（2，3）時，z取得最大值，所以zmax=3×2+4×3=18，故選D.

引用這一實例，學(xué)生理解了利用不等式對最大值進行求解，就是對利潤的最大值進行求解，從而使學(xué)生更容易理解關(guān)于不等式最值的概念，之后教師再引導(dǎo)學(xué)生對不等式最值的知識點及習(xí)題等進行練習(xí)，從而可以使學(xué)生更好地掌握、牢固記憶不等式最值的相關(guān)知識.

三、綜合性提高

在高考試題中，通過不等式的基本知識、基本方法在代數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、復(fù)數(shù)、立體幾何、解析幾何等各部分知識中的應(yīng)用，深化數(shù)學(xué)知識間的融會貫通，從而提高分析問題、解決問題的能力.而在應(yīng)用不等式的基本知識、方法、思想解決問題的過程中，又提高學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)及創(chuàng)新意識.

例如，（2013四川，理21）已知函數(shù)f（x）=x2+2x+a，x<0，lnx，x>0， 其中a是實數(shù).設(shè)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））為該函數(shù)圖像上的兩點，且x1

（Ⅰ）指出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的圖像在點A，B處的切線互相垂直，且x2<0，求x2-x1的最小值；

（Ⅲ）若函數(shù)f（x）的圖像在點A，B處的切線重合，求a的取值范圍.

解決函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的解答題要充分注意數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用以及不等式的應(yīng)用.此題中，從第一步到第三步，簡單不等式的解法、絕對值不等式的解法、不等式恒成立問題等始終貫穿著整道題.

四、結(jié)束語

在不等式的學(xué)習(xí)和高考試題中，對于不等式的考查主要是基于其作為解題工具，進而培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題和實際問題的解決能力和抽象化的數(shù)學(xué)思維能力.這就要求教師充分掌握數(shù)學(xué)教育理論和高考指導(dǎo)思想，將其充分落實到教學(xué)過程中，滿足學(xué)生各方面的需求，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維和探索、創(chuàng)造能力.使學(xué)生能夠準(zhǔn)確掌握、牢固記憶、靈活運用不等式知識，最終可以更好地面對高考，取得理想的成績.