工程數(shù)學與數(shù)學建模思想相融合的實例探索

劉君

【摘 要】大學數(shù)學教學改革是現(xiàn)代信息發(fā)展的形勢所趨，培養(yǎng)應(yīng)用型人才需從教學內(nèi)容與方法著手。將數(shù)學建模思想和方法融入到工程數(shù)學的教學中，可有效提高學生的實際應(yīng)用能力。

【關(guān)鍵詞】工程數(shù)學；數(shù)學建模；創(chuàng)新教學

0 引言

工程數(shù)學是大學工科類專業(yè)的基礎(chǔ)課程，這門課程不僅為學生解決實際問題提供了方法，也是進一步學習專業(yè)課程必不可少的基礎(chǔ)課程。廣州城建職業(yè)學院一直本著為城市建設(shè)培養(yǎng)高素質(zhì)技術(shù)技能人才的辦學定位，堅持應(yīng)用型人才的培養(yǎng)模式。近年以來各大高校都在開展高等數(shù)學與數(shù)學建模相融合的教學模式，這已成為應(yīng)用型人才培養(yǎng)下，數(shù)學教學改革的一種有效途徑。

1 學生數(shù)學知識能力的初步調(diào)查

為更清楚地了解學生的應(yīng)用能力，筆者以數(shù)學應(yīng)用能力測試的方式，對廣州城建職業(yè)學院建工造價、會計經(jīng)管等專業(yè)部分學生進行了測試，結(jié)果顯示學生的數(shù)學建模正確率在55%～66%之間，平均得分58.98。

從測試結(jié)果來看，學生對數(shù)學知識的應(yīng)用能力還有待提高，因各專業(yè)對數(shù)學要求不同，導致學生對數(shù)學知識的掌握程度不同。這充分說明高職的數(shù)學教學需根據(jù)不同專業(yè)、不同基礎(chǔ)制定相應(yīng)的教學方式。而通過在《工程數(shù)學》課程中融入數(shù)學建模思想，可有效提高學生對數(shù)學知識的應(yīng)用能力，為后續(xù)專業(yè)課程的學習打下堅實的數(shù)學基礎(chǔ)。

2 將數(shù)學建模思想融入工程數(shù)學課程教學的基本思路

2.1 在工程數(shù)學的基本概念、定義的教學時融入建模思想

數(shù)學來源于生活，因此在教學中應(yīng)重視從現(xiàn)實問題到數(shù)學概念的抽象過程，引導學生建立書本知識與實際問題的聯(lián)系。在大學數(shù)學教學內(nèi)容中，涉及到的模型主要有初等函數(shù)模型、微分方程模型等.微分方程模型是一種比較常見的數(shù)學模型，涉及函數(shù)的導數(shù)的物理意義，弄清它的意義，對學生利用導數(shù)解決諸如邊際收入、邊際成本、人口增長率、交變電路的電流強度等問題奠定基礎(chǔ)。

案例1導數(shù)的概念引入。

導數(shù)對大部分學生來說并不陌生，但也只是僅限于中學時代的淺顯認識，筆者發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學生并不能夠了解到導數(shù)的“變化率”這個物理意義，個人認為教師在教學過程中可采用“系統(tǒng)講授”與“數(shù)學建模思想”相結(jié)合的方式來進行，使學生更為直觀地認識到“變化率”。

1）問題引入

切線的研究是一個經(jīng)典問題，它是導致微分學產(chǎn)生的問題之一。古希臘人通過對圓的切線的認識，將曲線的切線定義為“和曲線只有一個交點的直線”。而近代通過對函數(shù)曲線的研究又進一步認識到，曲線切線的確定是一個動態(tài)的過程，它是常量數(shù)學所不能表述和解決的。只有通過變量數(shù)學研究，才能最終解決曲線的切線問題。

2）導數(shù)的基本概念—變化率

從運動和極限的觀點來看，曲線的切線與其相應(yīng)的割線之間有著密切的聯(lián)系，曲線的切線可定義為割線運動的極限，即k切=lim（Δy/Δx）=y′。

由上式可知，函數(shù)的導數(shù)可以看作是函數(shù)值隨自變量發(fā)生變化的“速度”，即函數(shù)相對于自變量的變化率.因此在解決有關(guān)“變化率”的實際問題時，可以利用一階導數(shù)建立微分方程數(shù)學模型，比如人口增長模型，傳染病的傳播模型、邊際成本、邊際收益等。

2.2 教學案例既要貼近生活，又需緊密結(jié)合教學內(nèi)容

結(jié)合學生數(shù)學基礎(chǔ)，在學生對導數(shù)有基本認識之后，可針對導數(shù)應(yīng)用問題，設(shè)計某些實際應(yīng)用案例，達到融入數(shù)學建模思想和方法的目的。

案例2某基地種植青椒，如何合理安排最佳出售時機，才能使收益最佳？請你由往年市場行情數(shù)據(jù)，試解決如下問題：1）構(gòu)建市場價格與時間的數(shù)學模型；2）構(gòu)建青椒種植成本與時間的數(shù)學模型；3）何時出售純收益最佳？

學生通過進行市場調(diào)查、網(wǎng)絡(luò)搜索等方法搜集相關(guān)數(shù)據(jù)（略），并通過數(shù)據(jù)對應(yīng)的離散圖可以看出，種植成本先降后升，符合二次函數(shù)模型；而價格與時間關(guān)系符合分段函數(shù)模型。

教師協(xié)助學生通過SPSS軟件進行回歸擬合，得到成本、售價與時間t的數(shù)學模型：

種植成本C與時間t的函數(shù)關(guān)系為：Q=（1/200）（t-150）2+100，（0

售價P與時間t的函數(shù)關(guān)系為：P=360-t（0

由上述模型可以看出，種植成本在150天時達到最小，而售價在200天達到最低，這是因為前50天種植成本低，使得市場的青椒供過于求而降價。

純收益=收益-成本，故收上述模型，可建立關(guān)于純收益的數(shù)學模型：

L=P-（1/200）（210-P）2-100（0

L=P-（1/200）（30+P/2）2-100（200

本案例從實際生活出發(fā)，數(shù)據(jù)由學生分組調(diào)查收集，使得問題變得更為靈活，學生查到的數(shù)據(jù)不同，所建立的模型也會有所不同，這無形之中增加了學生的學習數(shù)學的興趣和信心，讓學生真實體會到數(shù)學建模思想，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力。

2.3 深層探討相關(guān)專題模型

在學生對導數(shù)基本概念有一定了解的基礎(chǔ)之上，可對相關(guān)“變化率”的數(shù)學模型進一步深入推廣，如成本函數(shù)、收益函數(shù)等系列變化率模型，使學生能夠更深層次地了解到邊際成本、邊際收益即為自變量增加一個單位時，相應(yīng)的函數(shù)值增加量，亦即函數(shù)隨自變量發(fā)生變化的速度。而針對建工專業(yè)可介紹并深入探討有關(guān)人口增長率的數(shù)學模型，使學生能夠更深層次地認識到函數(shù)變化率的用途。

案例3 關(guān)于人口增長的數(shù)學模型。

馬氏模型的特點是設(shè)定人口的年增長率為常數(shù)r。若人口總數(shù)為時間t的函數(shù)x（t），則由函數(shù)導數(shù)的物理意義可知，人口數(shù)量函數(shù)x（t）的一階導數(shù)，就是人口數(shù)量一年的增長量rx（t），即x′（t）=rx（t），解得x（t）=x0er（t-t0）。

從該模型可以看出，在年增長率為常數(shù)不變的情況下，人口數(shù)量確實是以指數(shù)增長的。

1961年世界人口總數(shù)約為3.06*109，而在此之前10年的人口增長率大約為2%，如果用1961年的人口數(shù)據(jù)，通過上述表達式，計算可得x（t）=3.06*109e0.02（t-1961）。

上述模型能夠較為準確地預測和反映1700-1961年間的世界人口數(shù)量。但當時間跨度較大時，誤差就會比較大，如t=2510時，x=2*1014（2萬億），說明該模型對長期人口預測是不準確的，應(yīng)當給予修正。馬氏模型之所以在預測長期人口總數(shù)時出現(xiàn)錯誤，其原因主要還是實際人口增長率并不是常數(shù)，它會隨著人口的增加而逐漸減少，那么應(yīng)該如何進一步改進呢？

若環(huán)境人口的最大容量為xm，而人口增長率改為r=r*（1-x（t）/xm），即可得到經(jīng)典的阻滯型人口增長數(shù)學模型x′（t）=r（1-x（t）/xm）x（t），x（t0）=x0，解得：x（t）=xm/[1+（xm/x0-1）e-r（t-t0）]。

20世紀初專家們曾用該模型預測了美國的人口總數(shù)量，而計算結(jié)果與1930年之前的美國人口數(shù)據(jù)基本相吻合，但后來的誤差越來越大，那么該模型該如何改進？留給學生課后思考。

3 結(jié)束語

廣州城建職業(yè)學院在數(shù)學建模競賽的推動下，工程數(shù)學課程的教學改革也有了較大的進展，而把數(shù)學建模思想融入到工程數(shù)學課程的教學之中，也是一種推動數(shù)學教學改革的有效途徑，達到以賽促教，競賽與教學相輔相成，從而能夠使教學改革取得較好的成效。

【參考文獻】

[1]楊啟帆，邊馥萍.數(shù)學建模[M].杭州：浙江大學出版社，1990.

[2]同濟大學數(shù)學教研室.高等數(shù)學（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[責任編輯：田吉捷]