對概率論中“數(shù)學(xué)期望”概念的教學(xué)思考

吳秀才

【摘要】數(shù)學(xué)期望是隨機變量的一個重要數(shù)字特征，在概率論這門課中占有非常重要的地位，是一個比較抽象的概念，學(xué)生們掌握起來有些困難，本文根據(jù)本節(jié)安排的位置，結(jié)合學(xué)生們的理解力及多年的教學(xué)經(jīng)驗，從引入的教學(xué)方法到對離散型隨機變量“數(shù)學(xué)期望”概念的深刻理解以及如何引申至連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望概念三個方面，談一下作者的教學(xué)方法.

【關(guān)鍵詞】數(shù)字特征；數(shù)學(xué)期望；教學(xué)方法

課題《三本院校公共數(shù)學(xué)課堂有效性研究》，課題編號：SKL-2016-1426.

一、引入的教學(xué)方法

一節(jié)課的引入至關(guān)重要，它是一節(jié)課主要內(nèi)容的形象表達，能夠幫助學(xué)生更快更精準(zhǔn)地進入本節(jié)課的學(xué)習(xí)，通過對本節(jié)的教學(xué)研究，從以下幾個方面來談.

（一）引入隨機變量數(shù)字特征的原因

數(shù)字特征是用數(shù)字描述隨機變量的某一方面的性質(zhì).學(xué)習(xí)了隨機變量的分布，我們知道隨機變量分布函數(shù)能夠全面地描述隨機變量的各種特性，那為什么還要引入數(shù)字特征的概念呢？應(yīng)從兩方面給學(xué)生分析原因，一方面，在實際問題中，往往不需要去全面考察隨機變量的變化情況，而只需知道隨機變量的某些特征就夠了，比如，在考察某班的學(xué)習(xí)成績時，只要知道平均分和描述分散程度的標(biāo)準(zhǔn)差就可以對此班的學(xué)習(xí)情況做出比較客觀的判斷了；另一方面，由于分布函數(shù)并非容易求，在此可舉一個前面求分布函數(shù)的例子，讓學(xué)生體會分布函數(shù)的求法不是那么容易，所以只得退而求其次，研究隨機變量的數(shù)字特征.

（二）本章簡介

在一章開頭，給學(xué)生介紹一章的內(nèi)容概要尤為重要，這樣能夠使學(xué)生對本章知識網(wǎng)絡(luò)有個整體認(rèn)識，并能使學(xué)生帶著問題學(xué)習(xí)，勾起學(xué)習(xí)興趣.數(shù)字特征這一章主要從以下方面講解：（1）反映隨機變量的集中位置的數(shù)字特征——數(shù)學(xué)期望；（2）反映隨機變量離散程度的數(shù)字特征——方差；（3）反映兩個隨機變量相關(guān)程度的數(shù)字特征——協(xié)方差、相關(guān)系數(shù).

（三）引例分析

引例在一節(jié)課中起著關(guān)鍵作用，可以承上啟下，使學(xué)生在復(fù)習(xí)鞏固知識的過程中懂得一些新知識，明白一些新道理，引例為學(xué)習(xí)新知識做一些引導(dǎo)、鋪墊，從而較順利地使學(xué)生將新知識“植入”自己的思想.在此，我選擇賭金分配問題、射擊技術(shù)高低評價問題及權(quán)重分析問題三個引例來引出“數(shù)學(xué)期望”的概念.

1.權(quán)重分析問題

設(shè)隨機變量X的概率分布列為

X100200

fn0.010.99

求X的平均值.

分析：如果這樣計算X=12（100+200）=150顯然不合理，由此讓學(xué)生感覺權(quán)重問題應(yīng)該這樣算X=100×0.01+200×0.99=199.

2.賭金分配問題

關(guān)于賭金分配問題是數(shù)學(xué)期望誕生的歷史背景，可以跟學(xué)生們講問題的由來，就是1654年，一個名叫梅累的騎士就“兩個賭徒的賭金分配問題”求教于帕斯卡，而后帕斯卡與費馬通信討論這一問題，從而建立了概率論的第一個基本概念——數(shù)學(xué)期望.這個著名的賭金分配問題如下：

甲、乙兩人賭博，各拿出50元的賭金，條件約定為五局三勝制.假定已賭三局，甲勝2局輸1局.此時由于不可抗拒的因素賭局被迫終止，問賭資如何分配？

與學(xué)生共同分析以下幾種分配方案：① 各自拿各自的50元；② 甲拿全部賭金；③ 甲、乙按2∶1分配；④ 列舉剩余兩局的勝負可能結(jié)果得出甲有34贏的可能性，乙有14贏的可能性，于是賭金按3∶1分配.很顯然，前三種分配方案都不合理，最終歸結(jié)為第四種尋求理論均值.

用X表示甲獲得賭金數(shù)，則可列概率分布表：

X0100

pk14

34

X=0×14+100×34=75.

教師在講課時亦可對此例稍做改動，如改成“中途不得不停止的乒乓球比賽獎品分配”，以吸引學(xué)生的注意力，加深學(xué)生對概率論與數(shù)理統(tǒng)計這門課解決實際問題的印象.

3.射擊技術(shù)高低評價問題

下面是射手甲和乙在過去的100次射擊中的成績，其中隨機變量X和Y是命中環(huán)數(shù)，pk為統(tǒng)計頻率，考察兩個射手的射擊技術(shù)的高低.

X8910

pk0.30.10.6

Y8910

pk0.20.50.3

分析：從表格明顯看出兩人技術(shù)都不錯，因為都在8環(huán)以上，那就考察理論平均環(huán)數(shù)：

X甲=1100（8×30+9×10+10×60）=9.3，

X乙=1100（8×20+9×50+10×30）=9.1.

繼而將上面算式換成

X甲=8×0.3+9×0.1+10×0.6=9.3，

X乙=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1

得結(jié)論：從理論均值角度來講，甲的水平高.在此跟學(xué)生們指出理論平均值實際等于隨機變量取值與其相應(yīng)概率乘積之和，也就是以概率為權(quán)的加權(quán)平均.

二、離散型隨機變量“數(shù)學(xué)期望”定義的深刻理解

定義：設(shè)離散型隨機變量X的分布律為P{X=xi}=pk，k=1，2，…，若正項級數(shù)∑∞i=1|xi|pk收斂，則稱級數(shù)∑∞i=1xipk為隨機變量X的數(shù)學(xué)期望，記為E（X）=∑∞i=1xipk.

注解1：數(shù)學(xué)期望又叫均值，簡稱期望.

注解2：數(shù)學(xué)期望是一個確定的常數(shù)，不是隨機的，離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望是一個絕對收斂的無窮級數(shù)的和，如果隨機變量X取值有限，期望E（X）就是一個加權(quán)平均值.

注解3：不是所有隨機變量的數(shù)學(xué)期望都一定存在，在這里必須提出注意的是滿足正項級數(shù)∑∞i=1|xi|pk收斂，即∑∞i=1xipk絕對收斂，有的隨機變量的數(shù)學(xué)期望是不存在的，例如，PXi=（-1）k2kk=12k，絕對收斂是為保證級數(shù)的和唯一，離散型隨機變量分布律中pk地位相同，先寫這一項還是那一項對級數(shù)的和不產(chǎn)生影響，而絕對收斂級數(shù)滿足重排各項后其和不變，條件收斂保證不了這一點.

例如，∑∞n=1（-1）n-11n=1-12+13-14+…是條件收斂，

現(xiàn)將級數(shù)中的一些項做如下調(diào)整：

根據(jù)收斂級數(shù)滿足結(jié)合律，給上面級數(shù)加括號：

由此說明條件收斂的級數(shù)在更改各項順序后其和會改變.在此，也許學(xué)生們感覺求期望要先經(jīng)過判斷才可求，所以，教師可以聲明，實際作業(yè)中讓求期望就直接求，可以不必在判斷上下很大功夫.

注解4：期望值是隨機變量取值的平均值，反映了隨機變量取值的集中位置，并不等同于常識中的“期望”，也許與隨機變量取值的每個結(jié)果都不相同，換言之，“期望值”并不一定包含于隨機變量取值的集合中，例如，擲一顆六面的骰子，已知各面朝上是等可能的，求擲的點數(shù)的數(shù)學(xué)期望.

由定義計算E（X）=1×16+2×16+3×16+4×16+5×16+6×16=3.5，顯然骰子的任何一面不可能是35.

三、關(guān)于如何引申到連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望定義

對連續(xù)型隨機變量的取值是整個區(qū)間，并且取每個單點值時的概率都為0，因此，不能直接利用上述離散型隨機變量數(shù)學(xué)期望的定義計算，但可以將取值區(qū)間無限細分，將連續(xù)型隨機變量離散化，運用定積分的思想引申.設(shè)某一連續(xù)型隨機變量X的取值區(qū)間為（-∞，+∞），則將其任意分割成n份，并記第i個子區(qū)間為[xi-1，xi]（記λ=max{Δxi}），在此區(qū)間上概率近似為f（ξi）Δxi（其中f（x）為密度函數(shù)），從而每個小區(qū)間上的數(shù)學(xué)期望近似為xif（ξi）Δxi，繼而將上述近似期望值求和后再取極限，即得E（X）=limλ→0∑ni=1xif（ξi）Δxi=∫+∞-∞xf（x）dx，由此得連續(xù)型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的定義為：設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為f（x），如果積分∫+∞-∞xf（x）dx絕對收斂，則此積分的值為連續(xù)型隨機變量X的數(shù)學(xué)期望.

四、結(jié)束語

一節(jié)新授課的成功與否取決于恰到好處的引入和對新概念的注解，講好新概念的引入和注解能夠幫助學(xué)生們透徹理解并接受新概念，不僅僅是概率論中“數(shù)學(xué)期望”這樣非常重要而又抽象的概念需要在引入和注解上精講，對于任意一個數(shù)學(xué)概念在講之前都應(yīng)該規(guī)劃好如何引入才能使學(xué)生容易理解，又如何對定義進行深層次的注解才能使學(xué)生很快接受，我想這是作為教師應(yīng)該深入探討的問題.

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