復(fù)習(xí)路上“對稱”與你有約

浙江省蘭溪市第一中學(xué)高三(1)班(321102) 李匯宇 ● 指導(dǎo)老師:張永華

復(fù)習(xí)路上“對稱”與你有約

浙江省蘭溪市第一中學(xué)高三(1)班(321102) 李匯宇 ● 指導(dǎo)老師:張永華

圖象是軸對稱或中心對稱的函數(shù)，其解析式都有特別地方，可以從其解析式入手，找到解題的突破口．無論是告知具體解析式還是抽象式，都是解題的著力點(diǎn)．收集的競賽題和高考題都有一定的代表性，對解題有很好的指導(dǎo)意義．

對稱;函數(shù);函數(shù)抽象式

在生活當(dāng)中，具有軸對稱和中心對稱的圖形都給人以美感，這也是初中教材中比較重要的知識點(diǎn)，如等腰三角形和平行四邊形，同學(xué)們也會從幾何角度予以證明與計(jì)算．但在高中數(shù)學(xué)中，所接觸的軸對稱和中心對稱很少以圖形(除圓與圓錐曲線外)呈現(xiàn)，更多的是以函數(shù)解析式出現(xiàn)，特別是委婉告知抽象函數(shù)表達(dá)式，令很多同學(xué)無從下手．筆者在一輪復(fù)習(xí)過程中，接觸到一些比較典型的題目，收集整理如下，供讀者參考．

一、直接告知型

盡管題目直接告知對稱軸是什么，但也并非像拋物線對稱軸一樣運(yùn)用自如，如果僅停留在這一層面，就無法深入解決，因?yàn)檩S對稱圖形并非只有拋物線一種，還有一些不知名的函數(shù)圖象．所以要挖掘隱條件，找到更深更隱的等量關(guān)系，從而解決問題．

例1 (2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽吉林省預(yù)賽題)已知函數(shù)f(x)=sinx+acosx的圖象關(guān)于對稱，則函數(shù)g(x)=asinx+cosx的圖象的一條對稱軸是( )．

解析 法一 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sinx+acosx的圖象關(guān)于對稱，所以函數(shù)在取到最值，從而有，化簡整理得，

法二 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=sinx+acosx的圖象關(guān)于x=對稱，所以函數(shù)在取到最值，也即有極值，可考慮用導(dǎo)數(shù)解決.，得求g(x)=asinx+cosx的圖象的一條對稱軸，實(shí)質(zhì)就是求極值點(diǎn)，令易知它的一條對稱軸是:

例2 (2013年高考新課標(biāo)1卷理科)若函數(shù)f(x)= (1－x2)(x2+ax+b)的圖象關(guān)于直線 x=－2對稱，則f(x)的最大值是

解析 因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=(1－x2)(x2+ax+b)的兩個(gè)零點(diǎn)是－1和1，若圖象關(guān)于直線x=－2對稱，必有零點(diǎn)－3和－5，結(jié)合已知(x2+ax+b)是二次項(xiàng)，所以函數(shù)f(x)的解析式為f(x)=(1－x2)(x2+8x+15)=－x4－8x3－14x2+8x+15．

求導(dǎo)數(shù)，得f'(x)=－4x3－24x2－28x+8．

二、間接告知型

題目中一字不提對稱，但卻和對稱性脫不了干系，實(shí)質(zhì)難度更大，我們必須有更扎實(shí)的基礎(chǔ)知識才能以不變應(yīng)萬變．

例4 (2013年新課標(biāo)Ⅱ卷數(shù)學(xué)理)已知函數(shù)f(x)= x3+ax2+bx+c，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的( )．

A．x0∈R，f(x0)=0

B．函數(shù)y=f(x)的圖象是中心對稱圖形

C．若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則f(x)在區(qū)間(－∞，x0)上單調(diào)遞減

D．若x0是f(x)的極值點(diǎn)，則f'(x0)=0

解析 若c=0則有f(0)=0，所以A正確．由f(x)= x3+ax2+bx+c，求導(dǎo)得，f'(x)=3x2+2ax+b，再令f'(x)＞0，f'(x)＜0，無論不等式有解無解，都不影響其對稱性(如圖1－4)，其對稱中心橫坐標(biāo)就是二階導(dǎo)數(shù)為零時(shí)的x值，即f″(x)=0，所以中心對稱點(diǎn)就是(，，其實(shí)也就是拐點(diǎn)．這樣看來，一般三次函數(shù)圖象均為中心對稱圖象，所以B正確．由三次函數(shù)的圖象可知，若x0是f(x)的極小值點(diǎn)，則極大值點(diǎn)在x0的左側(cè)，所以函數(shù)在區(qū)間(－∞，x0)單調(diào)遞減是錯(cuò)誤的，D正確．故選C．

例5 設(shè)方程2x+x+2=0和方程log2x+x+2=0的根分別為 p和 q，設(shè)函數(shù) f(x)=(x+p)(x+q)+2，則( )．

解析 因?yàn)榉匠?x+x+2=0和方程log2x+x+2= 0的根分別為函數(shù)y=2x，y=log2x與直線y=－x－2的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，而函數(shù)y=2x，y=log2x互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于y=x對稱，又直線y=－x－2與直線y=x垂直，且兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1，－1)，所以p+q=－2，則f(x) =x2+(p+q)x+pq+2=x2－2x+pq+2，該二次函數(shù)圖象的對稱軸為x=1，從而f(2)=f(0)＜f(3)．故選A．

三、綜合抽象型

這種題型就是文首提及的以抽象函數(shù)形式告知，老師在課堂上經(jīng)常提及的，如(1)f(a－x)=f(a+x)圖象關(guān)于x=a軸對稱;

當(dāng)a=0，b=0時(shí)，上兩式就是偶、奇函數(shù)的代數(shù)形式，所以說明奇偶函數(shù)是所在位置比較特殊的對稱圖形，有很多一下看不透的問題就是在奇偶函數(shù)基礎(chǔ)上經(jīng)過平移產(chǎn)生，混淆學(xué)生視線，導(dǎo)致無從下手．

例6 (2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷)已知真命題:“函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)P(a、b)成中心對稱圖形”的充要條件為“函數(shù)y=f(x+a)－b是奇函數(shù)”．

(1)將函數(shù)g(x)=x3－3x2的圖像向左平移1個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位，求此時(shí)圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式，并利用題設(shè)中的真命題求函數(shù)g(x)圖像對稱中心的坐標(biāo);

(3)已知命題:“函數(shù) y=f(x)的圖像關(guān)于某直線成軸對稱圖像”的充要條件為“存在實(shí)數(shù)a和b，使得函數(shù)y =f(x+a)－b是偶函數(shù)”．判斷該命題的真假．如果是真命題，請給予證明;如果是假命題，請說明理由，并類比題設(shè)的真命題對它進(jìn)行修改，使之成為真命題(不必證明)．

(1)平移后圖象對應(yīng)的函數(shù)解析式為y=(x+1)3－3 (x+1)2+2，整理得y=x3－3x．由于函數(shù)y=x3－3x是奇函數(shù)，由題設(shè)真命題知，函數(shù)g(x)圖象對稱中心的坐標(biāo)是(1，－2)．

(3)此命題是假命題．

舉反例說明:函數(shù)f(x)=x的圖象關(guān)于直線y=－x成軸對稱圖象，但是對任意實(shí)數(shù)a和b，函數(shù)y=f(x+a)－b，即y=x+a－b總不是偶函數(shù)．修改后的真命題:“函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=a成軸對稱圖象”的充要條件是“函數(shù)y=f(x+a)是偶函數(shù)”．

［1］王紅權(quán)．含絕對值的不等式問題復(fù)習(xí)研究［J］．中學(xué)教研(數(shù)學(xué))，2016(12):34

［2］章建躍．如何設(shè)計(jì)三次函數(shù)的高考復(fù)習(xí)［J］．中小學(xué)數(shù)學(xué)，2016(1－2):封底

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