淺析高考數(shù)學(xué)中“最值問題”的思考方向與求解策略

江蘇省如皋第一中等專業(yè)學(xué)校(226500) 盧坤宏 ●

淺析高考數(shù)學(xué)中“最值問題”的思考方向與求解策略

江蘇省如皋第一中等專業(yè)學(xué)校(226500) 盧坤宏 ●

數(shù)學(xué)最值問題的求解已成為新課改形勢下高考數(shù)學(xué)中的必考點(diǎn)與高中數(shù)學(xué)課堂重點(diǎn)研究對象．本文借助于兩道最值例題，從高中數(shù)學(xué)中最常見的最值問題的四個(gè)思考方向(函數(shù)、三角函數(shù)、均值定理、線性規(guī)劃)著手分析出各個(gè)方向所必備的條件與解決問題的策略．

最值問題;思考方向;解決策略;函數(shù);三角函數(shù);均值定理;線性規(guī)劃

例題1 已知正數(shù)x，y滿足x+y=4，求xy的最大值．

一、利用函數(shù)的單調(diào)性求最值

函數(shù)是數(shù)學(xué)研究的重要對象，函數(shù)思想一直貫穿高中的數(shù)學(xué)教學(xué)中，因此函數(shù)也就必然成為高考的重要內(nèi)容．函數(shù)隨著單調(diào)性的改變，圖象此起彼伏，圖象上就出現(xiàn)了高點(diǎn)與低點(diǎn)，對應(yīng)的函數(shù)值出就出現(xiàn)了大值與小值．因此函數(shù)的單調(diào)性必然成為求解最值問題的重要工具．

1．利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值

二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)是學(xué)生在高中階段學(xué)習(xí)的一個(gè)重要函數(shù)．根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性和它的圖象特點(diǎn)不難知道它有最大值(最高點(diǎn))或最小值(最低點(diǎn))，因此二次函數(shù)在求解最值中必然會有重要作用．

我們通過例題1來品味二次函數(shù)在求解最值中的作用．

分析 若我們運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)求解本題，首先我們應(yīng)該看到例題1中含有兩個(gè)變量x，y，而我們高中階段所學(xué)習(xí)的函數(shù)均為一個(gè)自變量，所以我們應(yīng)首先選擇消去一個(gè)變量，降二元為一元．但在消元過程中學(xué)生容易顧此失彼，忽視變量的取值范圍．通過分析我們不難得到如下解題過程:

因?yàn)檎龜?shù)x，y滿足x+y=4，所以y=4－x(x∈(0，4))，因此xy可化為xy=x(4－x)=－x2+4x x∈(0，4)．根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)不難得出當(dāng)x=2時(shí)，xy有最大值為4．

通過分析求解我們可以總結(jié)出運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)求解問題的策略:(1)消元(化多元為一元，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)形式);(2)定范圍(確定函數(shù)定義域);(3)求最值(根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)確定最值)

2．高次多項(xiàng)式函數(shù)及超越函數(shù)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解

導(dǎo)數(shù)作為研究函數(shù)的一個(gè)重要工具，它以獨(dú)特的方式來闡述了函數(shù)單調(diào)性的變化規(guī)律，從而確立了它在研究函數(shù)(尤其是高次多項(xiàng)式函數(shù)及超越函數(shù))中的重要地位．

我們通過例題2來體會導(dǎo)數(shù)在最值求解中的作用．

通過分析求解我們可以總結(jié)出運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求解問題的策略:(1)求導(dǎo)(確定函數(shù)的單調(diào)性);(2)判斷最值點(diǎn)．

二、利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值

正弦函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+B(A＞0，ω＞0)是學(xué)生高中階段學(xué)習(xí)的另一個(gè)重要函數(shù)，它在自然科學(xué)中有著重要的作用．正弦函數(shù)具有獨(dú)特的單調(diào)性與有界性，確立了它在最值求解中的重要地位．

我們分別通過例題1、例題2來體會正弦函數(shù)的作用．

分析 若我們運(yùn)用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解，首先我們應(yīng)該考慮到正弦函數(shù)的有界性，變量必須限制在特定的范圍內(nèi)，而且必須能構(gòu)造出sin2α+cos2α=1的形式．

對于例題1有正數(shù)x，y滿足x+y=4，滿足了變量有界的特征．我們可以作如下考慮:設(shè) x=4 cos2α，y=4 sin2α，則xy=4 cos2α×4 sin2α=4(sin2α)2，根據(jù)正弦函數(shù)的有界性可以得到 －1≤sin2α≤1，從而有0≤4 (sin2α)2≤4，故0≤xy≤4，因此xy的最大值為4．

通過分析求解我們可以總結(jié)出能運(yùn)用正弦函數(shù)性質(zhì)求解問題必須具備這樣的條件:變量有界，可構(gòu)造出sin2α +cos2α=1，從而實(shí)現(xiàn)向三角函數(shù)的轉(zhuǎn)化．具備這一條件的問題，我們的求解策略如下:(1)

換元轉(zhuǎn)化(將原變量分別用sinα，cosα替換，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的形式);(2)整理變形(化歸為f(x)=Asin(ωx +φ)+B);(3)運(yùn)用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解．在求過程中要注意新元的范圍．

三、利用均值定理求最值

均值定理建立了和與積之間的不等關(guān)系，它獨(dú)特的表述形式?jīng)Q定了它能夠解決“和定求積”或“積定求和”的相關(guān)問題．從而確立了它在求解最值問題中的重要地位，也就自然成為了高中階段學(xué)生解決最值問題的重要工具．

我們通過上述兩個(gè)例題分別來體會均值定理在求解最值問題中的作用．

四、利用線性規(guī)化求最值(數(shù)形結(jié)合求最值)

線性規(guī)劃是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，它是“以形助數(shù)”即主要利用圖形的直觀性來解決問題．通過研究目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，使目標(biāo)函數(shù)具體化和明朗化，從而找到最優(yōu)解(最值)．作為高中數(shù)學(xué)中運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想解決問題的一個(gè)重要代表，當(dāng)然線性規(guī)劃也必然成為研究最值問題的一個(gè)重要工具．

通過對兩例題的分析，我們可以看到最值問題的求解的思考方向大致有函數(shù)、三角函數(shù)、均值定理、線性規(guī)劃這四個(gè)方向．而各個(gè)方向所必備的條件與解決問題的策略又有不同的特點(diǎn)．(1)函數(shù)方向必須具備這一特征:能通過消元，化歸為一元函數(shù)．化歸的函數(shù)為二次函數(shù)，我們可以通過二次函數(shù)的性質(zhì)與圖象特點(diǎn)求解;若不是二次函數(shù)可以借助導(dǎo)數(shù)來求解．(2)三角函數(shù)方向必須具備這一特征:條件有界，能構(gòu)造出sin2α+cos2α=1的形式．具備這一特征的最值問題我們可以通過換元，將變量用sinα，cosα替換，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的形式．從而實(shí)現(xiàn)運(yùn)用三角函數(shù)的有界性求解最值．(3)均值定理方向必須具備這兩特征:(1)條件中各變量均為正數(shù);(2)條件中各變量之間必須滿足一個(gè)“定量”關(guān)系．具備這兩個(gè)特征可以思考運(yùn)用均值定理來求解．(4)線性規(guī)劃方向必須具備這一特征: (1)約束條件確定(“定量”)，可作出可行域(幾何圖形); (2)目標(biāo)函數(shù)(最值)，具有一定的幾何意義．具備這兩個(gè)特征可以思考運(yùn)用線性規(guī)劃思想來求解．

當(dāng)然這只是筆者平時(shí)教學(xué)過程中解決最值問題的粗淺的思考方向與解決的策略，我們遇到具體問題時(shí)，還需要具體分析．只有真領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的方法與思想，才能融會貫通，遇題不驚，應(yīng)變有道．

［1］陳克勝．求函數(shù)最值的方法舉例［J］．高等函授學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)．2006(2)．

［2］吳鍔．透視函數(shù)最值解法解決常見最值問題［J］．中學(xué)課程輔導(dǎo)，2014(8)．

［3］張明明．論高中數(shù)學(xué)常見最值問題及解題策略［J］．課程教育研究(新教師教學(xué))，2014(9)．

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