非彈性碰撞之困惑

李俊峰

(清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京100084)

教授講題

非彈性碰撞之困惑

李俊峰1)

(清華大學(xué)航天航空學(xué)院，北京100084)

題目

一根長(zhǎng)為2a的均勻桿與豎直線成θ角，自高處無初速落下,與光滑水平地面作完全非彈性碰撞，桿下端與地面接觸后又立刻離開地面，問：桿下落高度H應(yīng)滿足什么條件？假設(shè)桿始終在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng). (改編自：李俊峰、張雄編著《理論力學(xué)(第2版)》習(xí)題7.31)

解題思路

這個(gè)問題的難點(diǎn)在于，按照學(xué)生以前學(xué)習(xí)中形成的習(xí)慣看法，“完全非彈性碰撞”和“桿下端與地面接觸后又立刻離開地面”這兩個(gè)說法是相互矛盾的，讓學(xué)生困惑，我們先給出相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá).設(shè)桿下端為A，桿質(zhì)心為C，建立直角坐標(biāo)系(如圖1所示)，Ax軸沿著地面.“完全非彈性碰撞”的數(shù)學(xué)表達(dá)：碰撞后瞬時(shí)A點(diǎn)速度的豎直分量uAy=0.“桿下端與地面接觸后又立刻離開地面”的數(shù)學(xué)表達(dá)：碰撞后瞬時(shí)地面的壓力N=0并且A點(diǎn)加速度的豎直分量aAy＞0

圖1

下面分兩個(gè)子問題來研究.

首先，研究剛體碰撞問題，我們可以利用動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理的積分形式，由碰撞前瞬時(shí)桿的角速度和質(zhì)心速度，求得碰撞后瞬時(shí)桿的角速度和質(zhì)心速度.

在桿下落過程中作剛體平動(dòng)，在碰撞前瞬√時(shí)，桿的角速度為零，桿上所有點(diǎn)的速度都等于2gH.

設(shè)碰撞后瞬時(shí)桿的角速度為ω，質(zhì)心速度的水平和豎直分量分別為uCx和uCy，由于地面光滑，不能給桿水平?jīng)_量，故碰撞后瞬時(shí)質(zhì)心速度的水平分量仍然是零，與碰撞前一樣.設(shè)碰撞過程中地面給桿的豎直沖量為Iy(重力等常規(guī)力的沖量可以忽略)，根據(jù)動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理的積分形式，有

這兩個(gè)動(dòng)力學(xué)方程包括3個(gè)未知數(shù)：ω，uCy，Iy，需要再補(bǔ)充一個(gè)運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系式.我們注意到，碰撞后瞬時(shí)桿作平面運(yùn)動(dòng)，C點(diǎn)速度沿著豎直方向，A點(diǎn)速度沿著水平方向(完全非彈性碰撞uAy=0).可知，瞬時(shí)速度中心為C?(如圖2所示)，由此可得

圖2

動(dòng)力學(xué)方程(1)～(2)及運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充條件(3)聯(lián)立解得

接下來，利用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和動(dòng)量矩定理，分析碰撞結(jié)束后瞬時(shí)桿的瞬時(shí)角加速度和質(zhì)心加速度.碰撞后瞬時(shí)，不再有碰撞沖量作用，桿在重力作用下運(yùn)動(dòng)(地面壓力N=0).容易判斷，此瞬時(shí)桿的角加速度為零，桿質(zhì)心加速度即為重力加速度.以C為基點(diǎn)計(jì)算A點(diǎn)的加速度可得aAy=ω2acosθ-g，再利用前面求出的ω和“桿下端與地面接觸后又立刻離開地面”條件之一aAy＞0，可得

10.6052/1000-0879-16-399

(責(zé)任編輯：胡 漫)

本文于2016-12-08收到.

1)E-mail：lijunf@mail.tsinghua.edu.cn

李俊峰.非彈性碰撞之困惑.力學(xué)與實(shí)踐,2017,39(1)：86-87

Li Junfeng.Confussion about non-elastic collision.Mechanics in Engineering,207,39(1)：86-87