洛倫茲變換的幾何導出1)

鄧魁英 楚天廣

?(河北大學工程力學系,河北保定071002)?(北京大學工學院,北京100871)

洛倫茲變換的幾何導出1)

鄧魁英?,2)楚天廣?,3)

?(河北大學工程力學系,河北保定071002)?(北京大學工學院,北京100871)

狹義相對論是牛頓力學的重要發(fā)展,因其概念抽象,國內力學專業(yè)的教學中鮮有涉及.洛倫茲變換在相對論力學中處于核心地位,由其可導出相對論運動學的全部重要結論.本文首先介紹洛倫茲變換的一種典型的代數導出方式,然后利用閔可夫斯基時空圖以完全幾何的方式給出一種不同的更為直觀的導出方式.希望能以一種簡潔明了的方式引導力學專業(yè)的學生學習狹義相對論.

相對論,洛倫茲變換,閔可夫斯基時空圖,經典力學

力學是處理宏觀物體運動問題的一門學科,它包括愛因斯坦相對論 (theory of relativity)[1].狹義相對論是牛頓力學在高速運動極限的發(fā)展,是現代物理理論的基石[2-3],歐美的經典力學教材中一般都會講解[4],但國內力學專業(yè)的教學中鮮有涉及,一定程度上與相對論的主要概念比較抽象、與直覺相悖、難于教學等因素有關.洛倫茲變換在相對論力學中處于核心地位,可以通過多種途徑導出[4-9].本文首先介紹了洛倫茲變換的一種典型的代數導出方式,然后利用閔可夫斯基時空圖以完全幾何的方式給出一種不同的更為直觀的導出方式.這兩種導出方式簡潔明了,且互為補充,本文旨在由此引導力學專業(yè)的學生學習狹義相對論.

狹義相對論的出發(fā)點是相對性原理和光速不變原理兩條基本假定.相對性原理即假定一切物理定律在所有慣性參考系中具有形式不變性,與觀測者的運動速度無關.光速不變原理即假定光子在真空中以恒定速率c傳播,與觀測者的運動速度無關.由這兩條基本假定即可導出洛倫茲變換,進而導出諸如動尺收縮、動鐘變慢、質速關系及質能關系等相對論力學的全部重要結論.在低速運動時,洛倫茲變換可用伽利略變換來近似,相對論力學可用牛頓力學來近似[2-5].

現給定任意兩個慣性參考系S(x,ct) 和S′(x′,ct′),并假定空間軸x和x′的正方向一致.慣性系S′相對于慣性系S以速率u沿空間軸x的正方向做勻速直線運動,且當t=t′=0時,x=x′=0.同一事件在兩個慣性系S和S′中可以分別表示為E(xE,ctE)和E(x′E,ct′E),在下文中非特指某一事件時將省略下標.

根據相對性原理假定,若任意一個事件E(x,ct)在慣性系S中做勻速直線運動,則同一事件E(x′,ct′)在慣性系S′中仍做勻速直線運動,故二者之間存在線性映射關系

由于慣性系S′相對于慣性系S以速率u做勻速直線運動,也即式(1)定義的線性映射將x=ut映射為x′=0,代入式 (1)中的第 1式可得α2=-α1u/c.重新記α1=γ,且u/c=β(0≤β≤1),則可將式(1)中的第1式表示為

同時,相對于慣性系S′中的觀測者,慣性系S以速率u沿空間軸x′的負方向做勻速直線運動,故由式(2)可得

根據光速不變原理假定,光子在慣性系S中的運動軌跡為x=ct,在慣性系S′中的運動軌跡為x′=ct′,二者互為映射,分別代入式(2)和式(3)得

將式(4)中的第1式代入第2式,且空間軸x和x′的正方向一致這一條件決定了γ不能取負值,于是得到

文獻中通常將γ稱為膨脹系數[2].

再將式(2)代入式(3),并考慮到式(5)給出的γ與β之間的關系式,可以直接導出

也即在式(1)的第2式中α3=-γβ,α4=γ.

至此,將式(5)代入式(2)和式(6),便得到了以速率u做相對運動的兩個慣性參考系S(x,ct)和S′(x′,ct′)之間的線性映射關系式

這就是洛倫茲變換(Lorentz transformation),其中β為慣性系S′相對于慣性系S的運動速率u與光速c之比.在式 (7)的變換式中,慣性參考系S(x,ct)的空間軸x與時間軸ct處于完全對稱的位置.當u?c時,式(7)可用伽利略相對性變換來近似,即

此時,慣性系S的空間軸x與時間軸t的位置就不再具有對稱性了.

由式(7)中的第2式和式(8)中的第2式可知,相對論力學相對于牛頓力學的革新,關鍵在于不再采用絕對同時性假定,而假定同時(simultaneity)也具有相對性,即對于在一個慣性參考系中不同地點同時發(fā)生的兩個事件,在另一個做相對運動的慣性參考系中觀測,二者就不再是同時發(fā)生的了.

由式(7)的洛倫茲變換可知,在兩個慣性系S和S′中分別觀測同一事件E時,其時空坐標滿足條件

此式蘊含著相對論時空的一個重要不變量,即閔可夫斯基距離測度.歐氏空間中的距離測度在相對論時空中不再適用.另外,式(7)的雅各比行列式的值等于1,即

也即做相對運動的兩個慣性參考系之間的洛倫茲變換是保面積的.

由式(7)可知,洛倫茲變換將慣性系S中的運動軌跡x=βct和ct=βx分別映射為慣性系S′中的x′=0和ct′=0.若將慣性參考系S(x,ct)的空間軸x和時間軸ct用平面內的兩條互相垂直的坐標軸來表示,則光子的運動軌跡沿著各象限的角平分線,而慣性參考系S′(x′,ct′)的空間軸x′=0和時間軸ct′=0則關于光子的運動軌跡對稱.此即為閔可夫斯基時空圖(圖1).

圖1 閔可夫斯基時空圖與光錐

在閔可夫斯基時空圖中,因果律決定了可能事件E(xE,ctE)只能發(fā)生在以光子的運動軌跡為邊界且以ct為軸的光錐內(圖1).勻速直線運動的軌跡是位于光錐內的一條直線,如慣性系S′的時間軸ct′即為在慣性系S中觀測到的慣性系S′的運動軌跡.

閔可夫斯基時空圖為相對論運動學的討論提供了一種非常直觀簡明的方式.但就我們所知,文獻中尚未見到如何從閔可夫斯基時空圖出發(fā)利用幾何方式導出式(7)中的洛倫茲變換,此即為我們在下文中的主要工作.

在圖2所示的閔可夫斯基時空圖中,慣性系S的空間軸x和時間軸ct互相垂直,作菱形OADB.在圖3所示的閔可夫斯基時空圖中,慣性系S′的空間軸x′和時間軸ct′互相垂直,則菱形OADB相應變換為正方形O′A′D′B′.那么,圖2中等腰三角形OAD內的任意一個事件E(xE,ctE)總與圖3中等腰直角三角形O′A′D′中的一個事件E(x′E,ct′E)對應,故可認為二者的面積相等,表示為

也即假定慣性參考系S(x,ct)和S′(x′,ct′)之間的線性變換是保面積的.這是我們以幾何方式導出洛倫茲變換的出發(fā)點.

圖2 閔可夫斯基時空圖與菱形OADB

圖3 閔可夫斯基時空圖與正方形O′A′D′B′

在圖2所示的閔可夫斯基時空圖中,作AK垂直于OB,則菱形OADB的面積

設事件A在慣性系S中可以表示為A(xA,ctA),則由圖2中的幾何關系及運動學關系xA=utA顯然可得

和

再由式(14)通過三角關系可得

將式(13)和式(15)代入式(12)中,得到在圖2所示的閔可夫斯基時空圖中菱形OADB的面積

而在圖 3所示的閔可夫斯基時空圖中,正方形O′A′D′B′的面積顯然為

于是由式(11)可知

此式對于在慣性系S′中觀測時靜止于原點O′處的任意事件A′(0,ct′A′)均成立,也即式 (18)為式 (9)的特例.從由式(12)導出式(18)的過程我們可以非常直觀地看出,式(9)中的閔可夫斯基距離測度與式(10)中洛侖茲變換的保面積性是完全等價的.

設事件E在慣性系S和S′中可以分別表示為E(x,ct)和E(x′,ct′).由圖4可知,慣性系S′中的同時線EA與慣性系S中的空間軸x的夾角也為θ,并注意到運動學關系xA=utA,則

結合式(14)中已知的關系式tanθ=β,可以解得

又由式(18)及xA=utA可知

將式(20)代入式(21),便導出了

此即為式(7)中洛倫茲變換的第2式.

圖4 閔可夫斯基時空圖與事件E

再注意到圖4中慣性系S′中的同地線EG與慣性系S中的時間軸ct的夾角也為θ,由幾何關系還可知

于是有

同樣結合式(14)中的tanθ=β,可以得到

又由式(18)及運動學關系xF=utF可得

將式(25)代入式(26),便導出了

此即為式(7)中洛倫茲變換的第1式.

至此,我們便通過幾何的方式導出了由式 (22)和式(27)表示的洛倫茲變換,其中起關鍵作用的是式(18)蘊含的相對論時空中的閔可夫斯基距離測度.

由圖4可知,事件E(x,ct)在慣性系S中的速率為v=x/t,同一事件E(x′,ct′)在慣性系S′中的速率為v′=x′/t′.將式(27)與式(22)相比可得

再將u/c=β代入其中即可得

此即為相對論運動學中同一事件在不同慣性參考系中運動速率之間的關系式.當u?c時,式(29)即可用牛頓力學中同一動點在不同慣性參考系中運動速率之間的關系式來近似,即

由式(29)可知,當v=c時,v′=c,即光子在所有慣性參考系中的速率保持不變,這就是作為狹義相對論出發(fā)點的兩個基本假設之一.值得一提的是,不少工作指出,光速不變原理假定對于導出洛倫茲變換并不是必要的[6-9].任何非伽利略時空線性變換必然要求存在一個速率上限,以此為基礎導出的廣義洛倫茲變換使得相對論的理論基礎更為穩(wěn)固,即使將來發(fā)現超光速粒子的存在,相對論中以光速不變原理假定為前提導出的相關結論經適當調整后仍然成立[8-9].

洛倫茲變換在狹義相對論中處于核心地位,可用其將相對性原理假定更具體地表述為：一切物理定律的方程式在洛倫茲變換下具有形式不變性[2].由洛倫茲變換出發(fā),便可導出諸如動尺收縮、動鐘變慢、質速關系及質能關系等相對論力學的全部重要結論.同樣也可以利用閔可夫斯基時空圖從幾何的角度為這些重要結論給出更為直觀的解釋[10].

從本文以幾何方式導出洛倫茲變換的過程可以清楚地看出,狹義相對論仍然假定空間是平直、均勻和各向同性的,時間是均勻流逝的,而牛頓力學是相對論力學在低速運動極限的近似.但牛頓萬有引力公式在洛倫茲變換下不具有形式不變性,愛因斯坦為解決這個困難建立起來的廣義相對論則是一種彎曲時空引力理論[3-5],該理論預言的引力波(gravitational waves)于整整100年后的2015年9月14日第一次被科學家直接探測到[11].

綜上所述,本文利用閔可夫斯基時空圖從幾何的角度導出了洛倫茲變換,與其代數導出互為補充,有利于學習者從更直觀的角度理解狹義相對論的平直時空假定和非歐距離測度等概念,以及相對論力學相對于牛頓力學的關鍵革新,即不再采用絕對同時性假定,而是利用光速不變性定義了同時的相對性.本文在導出洛倫茲變換的過程中只應用了基本的線性代數和平面幾何知識,希望能以這種簡潔明了的方式引導力學專業(yè)的學生學習狹義相對論.

1 錢學森．我對今日力學的認識．力學與實踐,1995,17(4)：1-1

2 張元仲．從牛頓力學到狹義相對論．力學與實踐,2005,27(4)：1-7

3 張元仲．廣義相對論的產生與發(fā)展．力學進展,2002,32(4)：495-504

4 Goldstein H,Poole C.Safko G.Classical Mechanics(3rd edn).San Francisco：Addison-Wesley,2001

5 Einstein A.Relativity：The Special and the General Theory.New York：Pi Press,2005

6 Dunstan DJ.Derivation of special relativity from Maxwell and Newton.Phil Trans R Soc A,2008,366：1861-1865

7 Levy-Leblond JM.One more derivation of the Lorentz transformation.Am J Phys,1976,44：271-277

8 Lee AR,Kalotas TM.Lorentz transformations from the fi rst postulate.Am J Phys,1975,43：434-437

9 戴又善．狹義相對論與運動速度上限．北京大學學報(自然科學版),2013,49(3)：356-364

10 楊志萬．閔氏時空圖在相對論教學中的應用．大學物理,2016, 35(2)：27-29

11 Abbott BP,et al.Observation of gravitational waves from a binary black hole merger.Phys Rev Lett,2016,116：061102

(責任編輯：胡 漫)

O412.1

A

10.6052/1000-0879-16-125

2016-04-13收到第1稿，2016-06-05收到修改稿.

1)河北大學優(yōu)秀博士引進人才項目(2014-304)和國家“973計劃”項目(2012CB821200)資助.

2)鄧魁英，博士，副教授，主要研究方向為復雜系統(tǒng)動力學與控制.E-mail：RossDeng@pku.edu.cn

3)楚天廣，博士，教授，主要研究方向為復雜系統(tǒng)動力學與控制.E-mail：chutg@pku.edu.cn

鄧魁英,楚天廣.洛倫茲變換的幾何導出.力學與實踐,2017,39(1)：82-86

Deng Kuiying,Chu Tianguang.Geometric derivation of the Lorentz transformation.Mechanics in Engineering,2017, 39(1)：82-86