PCK視角下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)

吳建芳

【關(guān)鍵詞】PCK視角 小學(xué)數(shù)學(xué)

概念教學(xué)

【中圖分類號】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A

【文章編號】0450-9889（2015）01A-

0016-02

美國著名學(xué)者舒爾曼提出了學(xué)科教學(xué)知識（PCK），它是指對將所教的學(xué)科內(nèi)容和教育學(xué)原理有機(jī)融合而成的對具體課題、問題或論點(diǎn)如何組織、表達(dá)和調(diào)整以適應(yīng)學(xué)習(xí)者的不同興趣和能力以及對教學(xué)的理解。PCK要求教師能讀懂學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、學(xué)生的知識基礎(chǔ)、由經(jīng)驗(yàn)帶來的學(xué)習(xí)困難，從而針對一個具體內(nèi)容和特定情境采取合適的教學(xué)方式、教學(xué)評價、恰當(dāng)舉例、師生交流等策略，來幫助學(xué)生消除錯誤，形成正確的理解，這與《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（下文簡稱“新課標(biāo)”）的總體教學(xué)目標(biāo)不謀而合。

概念是整個數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)，它具有抽象的特點(diǎn)，而抽象聯(lián)系著概括。這就是說，數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)要注重讓學(xué)生經(jīng)歷概括的過程，以期讓學(xué)生獲得概念理解的同時培養(yǎng)概括能力，這就對教師的教與學(xué)生的學(xué)提出了較高的要求。筆者認(rèn)為，可從PCK的視角來探尋教學(xué)的對策。下面就以《小數(shù)點(diǎn)的位置移動引起小數(shù)大小的變化》為例，從三個角度進(jìn)行具體闡述。

一、豐富支撐概念的“前期經(jīng)驗(yàn)”

新課標(biāo)將“基本活動經(jīng)驗(yàn)”列為課程總體目標(biāo)之一，這一目標(biāo)的調(diào)整表明，我們對數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)特征和內(nèi)涵的理解發(fā)生了變化。數(shù)學(xué)知識不僅包括整個數(shù)學(xué)共同體所認(rèn)同的“客觀性知識”（科學(xué)形狀的表征），還包括從屬于學(xué)生自己的“主觀性知識”（個體認(rèn)知的表征），即帶有鮮明的個體認(rèn)知特征的數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)。

數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)是個人化的、階段性的、經(jīng)驗(yàn)性的、表象性的、非嚴(yán)格的、可錯的、動態(tài)變化的。在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念之前，學(xué)生在邏輯上已經(jīng)存在了一些與之相關(guān)的經(jīng)驗(yàn)，我們暫且稱為概念的“前期經(jīng)驗(yàn)”。雖然前期經(jīng)驗(yàn)可能是零亂、模糊、不清晰的，但卻可以非常有效地支撐概念的建立。教學(xué)實(shí)踐表明，學(xué)生在數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)過程中產(chǎn)生的問題，有許多就是因?yàn)椤扒捌诮?jīng)驗(yàn)”與現(xiàn)行學(xué)習(xí)的脫節(jié)而造成的。比如就《小數(shù)點(diǎn)的位置移動引起小數(shù)大小的變化》這一課而言，學(xué)生的前期經(jīng)驗(yàn)是“小數(shù)的大小是不變的”（小數(shù)的性質(zhì)），而要改變小數(shù)的大小，對小數(shù)的擴(kuò)大與縮小產(chǎn)生的變化，學(xué)生可謂是“一片空白”?！罢麛?shù)是可以通過在末位增加0或去掉0的方式來進(jìn)行擴(kuò)大或縮小的”，他們面對“9毫米、90毫米、900毫米、9000毫米”的大小關(guān)系是基于對整數(shù)的大小關(guān)系的理解，對“0.009米、0.09米、0.9米、9米”這樣的小數(shù)之間的大小關(guān)系又僅僅停留在米尺上，兩者并沒有發(fā)生深度的遷移，這就造成了學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙所在。

為了豐富概念的“前期經(jīng)驗(yàn)”，增加“前期經(jīng)驗(yàn)”的累積厚度，筆者選擇了“小數(shù)的意義”的幾何直觀模型、小數(shù)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率作為體驗(yàn)小數(shù)的擴(kuò)大與縮小的學(xué)習(xí)起點(diǎn)。

師：（如圖1）每小塊地磚的面積是0.01平方米，那么10塊、100塊地磚可以鋪多少平方米？

生1：10塊地磚的面積是0.1平方米，100塊地磚的面積是1平方米。

生2：因?yàn)?0個0.01是0.1，100個0.001是1。

（師揭示：0.01×10=0.1 0.01×100=1）

師：誰能用擴(kuò)大或縮小來說說0.001、0.1和1之間的大小關(guān)系？

生1：0.01擴(kuò)大到它的10倍是0.1，0.01擴(kuò)大到它的100倍是1。

生2：1縮小到它的是0.1，1縮小到它的是0.01。

簡潔的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)材料，讓學(xué)生進(jìn)行富有意義的小數(shù)擴(kuò)大與縮小的變化，并且以幾何直觀圖和小數(shù)計(jì)算單位之間的進(jìn)率本質(zhì)聯(lián)系為依托，初步建立起圖形、算式、語言的多元表征，為學(xué)生積累概念的“前期經(jīng)驗(yàn)”提供了很大的空間，從而有效地支撐數(shù)學(xué)概念的建立，幫助學(xué)生克服學(xué)習(xí)的障礙。

二、多元表征概念的“數(shù)學(xué)本質(zhì)”

由于數(shù)學(xué)對象并非物質(zhì)世界中的真實(shí)存在，而只是抽象思維的產(chǎn)物，因此，從這一角度去分析概念的外部表征，特別是符號表征，事實(shí)上就充當(dāng)了數(shù)學(xué)對象的“物質(zhì)承載者”，這是概念的“外化”過程。與“外化”相對立的，概念又必然有一個“內(nèi)化”或重新建構(gòu)的過程，只有這樣，我們才能真正地掌握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)。

概念表征是概念在頭腦中的呈現(xiàn)方式。同一概念，其表征的形式不同，其思維加工的方式也不盡相同。在實(shí)際教學(xué)中，數(shù)學(xué)概念表征形式不恰當(dāng)或者形式太單一，都會引起學(xué)生對于概念的“數(shù)學(xué)本質(zhì)”把握不準(zhǔn)。比如《小數(shù)點(diǎn)的位置移動引起小數(shù)大小的變化》，只從“金箍棒長度”90、9、0.9、0.09……這樣單一的表征形式來研究概念，肯定會造成學(xué)生的學(xué)習(xí)困難。從數(shù)學(xué)的角度看，因?yàn)橛小耙粋€數(shù)乘以（除以）10、100、1000……”這樣的計(jì)算需要，所以才產(chǎn)生了這樣的變化規(guī)律。小數(shù)的擴(kuò)大（縮?。┦切枰?，小數(shù)點(diǎn)的位置移動是結(jié)果。而且孫悟空的“金箍棒變長、變短”是神話，這與小數(shù)點(diǎn)位置的移動關(guān)系不具有數(shù)學(xué)上的邏輯性，概念的產(chǎn)生沒有成為數(shù)學(xué)本身的需要，反而引起小數(shù)點(diǎn)的位置移動與小數(shù)大小的變化關(guān)系因果倒置。

對此，教師可以組織更能凸顯概念“數(shù)學(xué)本質(zhì)”的素材，來豐富概念的表征形式，幫助學(xué)生掃除學(xué)習(xí)障礙。小數(shù)的擴(kuò)大或縮小是數(shù)學(xué)計(jì)算的需要，但是僅僅有1、0.1、0.01的體驗(yàn)是不夠的，它更需要有一般意義的實(shí)際情境來支撐。要在實(shí)際情境中，讓學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)計(jì)算的實(shí)際需要，同時利用形、式、數(shù)以及學(xué)生的語言等多種形式來表征小數(shù)的擴(kuò)大與縮小。

師：（如圖2）某種正方體的小方塊重1.025克，這樣的10塊、100塊、1000塊有多重？請先估一估大約有多重？

生1：10塊大約是10克、100塊大約是100克、1000塊大約是1000克。

生2：通過觀察、估算，我知道了1.025×10=10.25、1.025×100=102.5、1.025×1000=1025。

師：說一說你是怎么樣理解1.025、10.25、102.5、1025大小關(guān)系的？

生：1.025擴(kuò)大到它的10倍是10.25，1.025擴(kuò)大到它的100倍是102.5，1.025擴(kuò)大到它的1000倍是1025。同樣的道理，1025縮小到它的、、分別是102.5、10.25、1.025。

這樣通過列式估算、觀察圖形、解釋得數(shù)“三位一體”的過程，體驗(yàn)小數(shù)的擴(kuò)大與縮小，最后利用語言概括小數(shù)的擴(kuò)大與縮小的變化?？梢?，概念的表征形式多元了，更能促進(jìn)學(xué)生從多角度、全方位地把握概念的“數(shù)學(xué)本質(zhì)”。

三、降低概念外延的“學(xué)習(xí)干擾”

小學(xué)數(shù)學(xué)中的部分概念是可以用下定義（屬+種差）的方式來表述概念的本質(zhì)屬性、解釋概念的內(nèi)涵，但更多的概念是不能或不宜下定義的，只能以描述的方法加以說明，比如“小數(shù)點(diǎn)的位置移動引起小數(shù)大小的變化”便是其中之一。筆者認(rèn)為，在教學(xué)定義性概念時應(yīng)側(cè)重于對概念內(nèi)涵的理解，與之相對的是，在教學(xué)描述性概念時，應(yīng)側(cè)重于對概念外延的拓展，既要注意階段性，又要有整體觀念。

概念的外延是指概念所指的對象范圍，是具體的、具有概念所反映的特有屬性的那些事物。如果教學(xué)素材提供的數(shù)據(jù)比較特殊，不能凸顯概念的一般屬性，就有可能造成學(xué)生對概念外延把握的困難。比如《小數(shù)點(diǎn)的位置移動引起小數(shù)大小的變化》教材提供的數(shù)據(jù)（如圖3），難點(diǎn)是小數(shù)點(diǎn)位置移動位數(shù)不夠時，要在一個數(shù)的最左邊添上0、去掉0或在最右邊添上0、去掉0。0.009、0.09、0.9、9從小往大看既要對一個數(shù)最左邊去掉0又要在最右邊添上0，9、0.9、0.09、0.009從大往小看既要對一個數(shù)最左邊添上0又要在最右邊去掉0。而學(xué)生之前對小數(shù)點(diǎn)位置的移動毫無經(jīng)驗(yàn)，增加了學(xué)生對小數(shù)點(diǎn)位置的觀察難度，不能凸顯小數(shù)點(diǎn)位置移動的一般性，從而影響了學(xué)生掌握規(guī)律。

對此，教師可以為學(xué)生提供比較容易觀察的數(shù)據(jù)，突出概念外延的一般性，采用從“一般過渡到特殊”的方式來分散教學(xué)的難點(diǎn)。1.025、10.25、102.5、1025的小數(shù)點(diǎn)位置的變化，不需要添上0或去掉0，比0.009、0.09、0.9、9更能凸顯一般性，更有利于學(xué)生對小數(shù)點(diǎn)位置的觀察比較，從而促進(jìn)學(xué)生對概念的意義建構(gòu)。選擇1.025、10.25、102.5、1025作為探究對象，再配上虛擬小數(shù)點(diǎn)（小方框），有利于學(xué)生關(guān)注到小數(shù)點(diǎn)位置的移動，幫助學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

師：10.25、102.5、1025的小數(shù)點(diǎn)與1.025的小數(shù)點(diǎn)相比較位置發(fā)生了什么變化？

生：1.025的小數(shù)點(diǎn)向右移動一位就是10.25，1.025的小數(shù)點(diǎn)向右移動兩位就是102.5，1.025的小數(shù)點(diǎn)向右移動三位就是1025。

師：以1025的小數(shù)點(diǎn)位置為標(biāo)準(zhǔn)呢？

生：1025的小數(shù)點(diǎn)向左移動一位就是102.5，1025的小數(shù)點(diǎn)向左移動兩位就是10.25，1025的小數(shù)點(diǎn)向左移動三位就是1.025。

之后，組織學(xué)生交流1.025、10.25、102.5、1025隨著小數(shù)的擴(kuò)大與縮小，小數(shù)點(diǎn)的位置又是如何變化的？從而概括小數(shù)的擴(kuò)大（縮?。┡c小數(shù)點(diǎn)位置變化的規(guī)律。最后，再從位數(shù)夠用的逐步過渡到小數(shù)末尾添上0、整數(shù)部分的最左邊添上0等特殊情況。

綜上所述，PCK理論中關(guān)于“學(xué)生的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)困難”和“幫助學(xué)生學(xué)會教學(xué)的策略”的內(nèi)容，可以指導(dǎo)教師更為科學(xué)有效地實(shí)施概念教學(xué)。運(yùn)用PCK的視角可以更準(zhǔn)確地剖析學(xué)生的學(xué)習(xí)困難，尋找學(xué)生的學(xué)習(xí)障礙，找準(zhǔn)學(xué)習(xí)的現(xiàn)實(shí)起點(diǎn)，科學(xué)地選擇和設(shè)計(jì)學(xué)習(xí)材料，有效地組織數(shù)學(xué)思維活動。如果學(xué)生概念的“前期經(jīng)驗(yàn)”不足，我們可以組織豐富概念“前期經(jīng)驗(yàn)”的數(shù)學(xué)活動；如果概念的表征形式不能凸顯“數(shù)學(xué)本質(zhì)”，就可以整合一些凸顯概念“數(shù)學(xué)本質(zhì)”的學(xué)習(xí)材料，改變表征形式；如果學(xué)習(xí)材料所提供的信息使概念所反映的外延太特殊，可以按照“一般到特殊”的策略來排除學(xué)生的學(xué)習(xí)干擾，幫助學(xué)生理解概念的本質(zhì)、形成數(shù)學(xué)的技能，從而培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)情感。

（責(zé)編 林 劍）