巧用變式，減負(fù)增效

鄭麗珍

摘要：變式教學(xué)，是對教學(xué)中的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景等方面的變式。它的核心是設(shè)計(jì)一系列變式的方法，來展示知識發(fā)生、發(fā)展過程，數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)和演變過程，解決問題的思維過程，以及創(chuàng)設(shè)暴露思維障礙情境，從而形成一種思維訓(xùn)練的有效模式。

關(guān)鍵詞：九年級數(shù)學(xué)；變式教學(xué)；教師；學(xué)生

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1992-7711（2017）02-0103

通過近幾年的變式教學(xué)嘗試，筆者淺談幾點(diǎn)體會，僅供各位同行參考。

一、變已知條件

我們在數(shù)學(xué)教學(xué)中經(jīng)常會碰到這樣的問題，有些題型看起來陌生，其實(shí)它只是稍微改變了一下已知條件，而解題的思路和方法并沒有改變。所以，求解時(shí)只要牢牢抓住知識考點(diǎn)，萬變不離其宗。

例1. 拋物線y=x2+x-7與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 個(gè)。

變式一：拋物線y=x2+x-7與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為 個(gè)。

錯(cuò)解：由b2-4ac>0得，拋物線y=x2+x-7與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2個(gè)。

錯(cuò)因：與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)既要考慮與x軸的交點(diǎn)，還要考慮與y軸的，所以共有3個(gè)。

變式二：拋物線y=x2+x+a與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的值。

錯(cuò)解：由b2-4ac>0得，a< 錯(cuò)因同上。正解：由b2-4ac=0得，a=

變式三：拋物線y=x2+x+a與坐標(biāo)軸有三個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍。

變式四：函數(shù)y=（a-2）x2-（2a-1）x+a的圖像與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的值。

錯(cuò)解：只考慮了二次函數(shù)的情況得a=- 。正解：當(dāng)a-2≠0時(shí)，由b2-4ac=0得，a=- ，當(dāng)a-2=0即a=2時(shí)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸也有兩個(gè)交點(diǎn)。∴a取- 和2。

反思：審清題意：有沒有標(biāo)明函數(shù)類型，是與x軸、y軸還是坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。

可見，通過改變已知條件，學(xué)生對知識考點(diǎn)的理解更加透徹了，培養(yǎng)學(xué)生在相同背景、不同條件下遷移知識的能力，跳出了題海戰(zhàn)術(shù)，達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果，增強(qiáng)他們的學(xué)習(xí)信心，使他們的應(yīng)變能力得以提高，進(jìn)而提高教學(xué)質(zhì)量。

二、變問題形式

給定相同的已知條件下，教師通過改變問題的形式，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，從易到難，層層遞進(jìn)，讓不同層次的學(xué)生各得其所。

例2. 如圖，將正方形ABCD沿AD、BC的中點(diǎn)M、N對折，得到折痕MN。再將點(diǎn)C折至點(diǎn)P的位置，折痕為BQ，連結(jié)PQ ， BP。設(shè)正方形ABCD的邊長為1。

問題1：找出圖中相等的量。

問題2：探求PBC的度數(shù)。

問題3：△PQR是否是特殊的三角形？

問題4：Q點(diǎn)是否為CD的中點(diǎn)？

問題5：QP的延長線會不會經(jīng)過點(diǎn)A？

問題6：求MP的長。

問題7：求MP ∶ PN的值是多少？MP ∶ PR ∶ RN又如何？

問題8：聰明的你還能提出哪些有意義的問題？

分析：問題1屬于容易題，人人都會；問題2-5屬于中等題，層層遞進(jìn)、環(huán)環(huán)相扣，加深了學(xué)生對這類題型的理解，并且問題4、5可以用多種方法解決，也體現(xiàn)了一題多解的變式思想。問題6-7屬于難題，可以用相似三角形、勾股定理、方程的思想解決，問題8屬于開發(fā)題，通過諸多問題的變式，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維和求知欲望，同時(shí)讓不同層次的學(xué)生都能吃飽。

可見，變變問題形式，對于一道題不局限于就題論題，而要進(jìn)行適當(dāng)變化引申，拓寬思路，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，展示知識發(fā)生、發(fā)展過程，數(shù)學(xué)問題的結(jié)構(gòu)和演變過程，加深了學(xué)生對知識點(diǎn)的理解，避免題海戰(zhàn)術(shù)，取得事半功倍的效果。

三、變已知圖形

許多數(shù)學(xué)題看似不同，但它們的內(nèi)在本質(zhì)（或者說是解題思路、方法是一樣的），這就要求教師在教學(xué)中重視對這類題目的收集、比較，引導(dǎo)學(xué)生尋求通法通解，并讓學(xué)生自己感悟它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成數(shù)學(xué)思想方法。

例3. 題1：如圖，A是CD上一點(diǎn)，ABC、ADE都是正三角形，求證CE=BD。

題2：如圖，ABD、ACE都是正三角形，求證CD=BE。

題3：如圖，分別以ABC的邊AB、AC為一邊畫正方形AEDB和正方形ACFG，連接CE、BG，求證BG=CE。

題4：如圖，有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)正方形ABCD、BEFG，連接AG、EC，求證AG=EC。

題5：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，ABP繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)能與CBP′重合，若PB=3，求PP′。

反思：上述五題均利用正三角形、正方形的性質(zhì)，為證明全等三角形創(chuàng)造條件，并利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行進(jìn)一步的計(jì)算或證明。教師要把這類題目成組展現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生在比較中感悟它們的共性。

四、變解題方法

教學(xué)中可以一題多解來培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識的能力，培養(yǎng)他們的發(fā)散思維能力，同時(shí)可以激發(fā)他們的好奇心、好勝心，培養(yǎng)他們的探索精神。

例4. 如圖，四邊形ABCD是菱形，CE⊥AB，交AB的延長線于E，CF⊥AD，交AD的延長線于F，請你猜想CE與CF的大小有什么關(guān)系？并證明你的猜想。

分析：解法一：證明△CBE≌CDF（AAS）得CE=CF；

解法二：連結(jié)AC，證明△ACE≌△ACF（AAS）得CE=CF；解法三：先證AC平分∠BAD，再根據(jù)CE⊥AB，CF⊥AD得CE=CF（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）；解法四：根據(jù)S菱形ABCD=AB×CE=AD×CF（等積法），得CE=CF。

反思：巧用多種方法，發(fā)散學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生一題多解的能力，巧用簡便方法，可達(dá)到事半功倍的效果，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

例5. 已知，如圖7，在△ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD=AB，E為AB中點(diǎn)，連接CE，CD。求證：CD=2CE。

分析：解法一：取CD的中點(diǎn)G，連接BG，

利用三角形的中位線（BG）的性質(zhì)和平行線（BG∥AC）的性質(zhì)

可證△BEC≌△BGC（SAS），∴CE=CG∴CD=2CE

解法二：取AC的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，

利用三角形的中位線（EF）的性質(zhì)和等角（∠ABC=∠ACB）

的補(bǔ)角相等（即∠DBC=∠EFC）可證△EFC∽△DBC∴CD=2CE

解法三：取AC的中點(diǎn)F，連結(jié)BF，巧用全等易證CE=BF，

利用三角形的中位線（BF）的性質(zhì)可得2BF=CD∴CD=2CE

解法四：（利用平行四邊形的判定、性質(zhì)和全等）延長CE到F，使CE=EF，

易證四邊形AFBC是平行四邊形 ∴BF=AC=BD BF∥AC

∴∠CBF+∠ACB=180°∵AB=AC ∴∠ACB=∠ABC

∵∠DBC+∠ABC=180°∴∠CBD=∠CBF ∴△CBD≌△CBF（SAS）

∴CD=CF=2CE

解法五：（巧用相似）

∵AC=AB=2AE AD=2AC

∴AE∶AC=AC∶AD=1∶2

又∵∠A=∠A

∴△AEC∽△ACD

∴CE∶CD=1∶2 即CD=2CE

反思：由已知條件，首先應(yīng)該聯(lián)想到等腰三角形的性質(zhì)，還應(yīng)考慮中點(diǎn)可能聯(lián)系到三角形中位線的性質(zhì)，由求證的結(jié)論CD=2CE，應(yīng)聯(lián)想到若改為CE∶CD=1∶2，可考慮相似三角形，由中點(diǎn)還可以考慮平行四邊形對角線等知識。通過本題的變式復(fù)習(xí)，鍛煉了學(xué)生靈活運(yùn)用等腰三角形、三角形中位線、三角形全等、三角形相似、平行四邊形等有關(guān)知識，加強(qiáng)了解輔助線作法，同時(shí)激發(fā)了學(xué)生的興趣，提高了課堂的有效性。

實(shí)踐證明，變式教學(xué)能擺脫“題?！弊儽粍铀季S為主動自覺思維，形成“趣學(xué)”“樂學(xué)”的氛圍，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人，減小差生面，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維品質(zhì)，提高教學(xué)效益；并且適當(dāng)?shù)淖兪浇虒W(xué)是課堂教學(xué)藝術(shù)的一種表現(xiàn)形式，它防止習(xí)題課被上成一種枯燥乏味的課，學(xué)生害怕的課；它是活躍課堂氣氛、調(diào)動學(xué)生積極性的一種有效途徑；是促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、探索、推理能力的一種主要手段，能有效地提高課堂效率，最終達(dá)到提高教學(xué)質(zhì)量的目的。

（作者單位：浙江省江山市城北中學(xué) 324100）