線性代數(shù)在解析幾何中的應(yīng)用

內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(010022) 張 靖 ●

線性代數(shù)在解析幾何中的應(yīng)用

內(nèi)蒙古師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院(010022) 張 靖 ●

行列式、矩陣和線性方程組是線性代數(shù)中最基礎(chǔ)也是最重要的內(nèi)容，利用線性代數(shù)這三個(gè)代表性的知識(shí)來解決解析幾何中的問題，不但能使問題簡(jiǎn)化，而且可以加深代數(shù)與幾何的相互滲透．

行列式;矩陣;線性方程組

線性代數(shù)的起源是求解線性方程組，在17世紀(jì)，笛卡爾和費(fèi)馬在幾何空間引入了坐標(biāo)系，從而建立了幾何和代數(shù)的一座橋梁．通過解析幾何，線性代數(shù)得以被具體表示．線性代數(shù)與空間解析幾何是相互聯(lián)系、相互促進(jìn)的．可以更確切的一點(diǎn)是空間解析幾何是線性代數(shù)的基石，而線性代數(shù)是空間解析幾何的推廣并使之抽象化．

一、行列式在幾何中的應(yīng)用

定義1 設(shè)向量c由兩個(gè)向量a，b按下列方式定義:

向量c叫做向量a與b的向量積，記作c=a×b．

向量積c=a×b可用三階行列式表示:

一、求三角形面積

例1 已知三角形ABC的頂點(diǎn)分別是A(1，2，3)、B(3，4，5)和C(2，4，7)，求三角形ABC的面積．

解 根據(jù)向量積的定義，可知三角形ABC的面積

二、證明向量位置關(guān)系

定理1 三向量a、b、c共面的充分必要條件是它們的混合積［a b c］=0，即

例2 已知A(1，2，0)、B(2，3，1)、C(4，2，2)、M(x，y，z)四點(diǎn)共面，求M點(diǎn)的坐標(biāo)x、y、z所滿足的關(guān)系式．

三、求平面方程

例3 求過三點(diǎn)M1(2，－1，4)、M2(－1，3，－2)、M3(0，2，3)的平面的方程．

根據(jù)平面的點(diǎn)法式方程得所求平面的方程為14x+ 9y－z－15=0．

二、矩陣在幾何中的應(yīng)用

1．矩陣的秩的應(yīng)用

定理2 已知平面 π1:A1x+B1y+C1z=D1與平面π2:A2x + B2y + C2z = D2，設(shè) 線 性 方 程 組的系數(shù)矩陣為A，增廣矩陣為，則

例4 判斷兩平面x－y+2z－6=0，2x+y+z－5=0的位置關(guān)系，如果相交求出兩平面的夾角．

通過矩陣的線性變換得

則秩(A)=2;

則秩(A)=2，所以兩平面相交．

二、正交矩陣的應(yīng)用

例5 已知xOy平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)P(x，y)，當(dāng)點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角度φ時(shí)得到新的點(diǎn)P'，求點(diǎn)P'的坐標(biāo)．

三、線性方程組在幾何中的應(yīng)用

1．齊次線性方程組存在非零解的應(yīng)用

定理3 n元齊次線性方程組有非零解的充分必要條件是其系數(shù)行列式等于零．

例6 設(shè)一平面經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn)P(6，－3，2)，且與平面π1:4x－y+2z=8垂直，求此平面的方程．

解 由于所求平面π經(jīng)過原點(diǎn)，所以其方程可設(shè)為Ax+By+Cz=0，這里平面π的法向量n=(A，B，C)．因?yàn)槠矫姒信c平面π1垂直，所以有4A－B+2C=0．

聯(lián)立這三個(gè)方程得到一個(gè)關(guān)于未知數(shù)A，B，C的三元方程組，根據(jù)題意知A，B，C中一定有一個(gè)不為零，即方程組有非零解，那么，計(jì)算這個(gè)三階行列式

即得平面π的方程為2x+2y－3z=0．

2．克萊姆法則的應(yīng)用

例7 已知三個(gè)平面分別為π1:x－y－z=2，π2:2xy－3z=1，π3:3x+2y－5z=0．判斷這三個(gè)平面是否相交于一點(diǎn)，如果是，請(qǐng)求出交點(diǎn)坐標(biāo)．

(法一)解 如果這三個(gè)平面相交于一點(diǎn)，即說明聯(lián)立這三個(gè)平面所得三元線性方程組有唯一解，即求解線性方程組

因?yàn)榉匠探M的系數(shù)矩陣的行列式

那么應(yīng)用克萊姆法則可知方程組有唯一解，并且

(法二)應(yīng)用逆矩陣方法．

解 線性方程組的矩陣形式為Au=b，這里A為方程組的系數(shù)矩陣，u為未知數(shù)列矩陣，b為常數(shù)項(xiàng)列矩陣．因?yàn)橄禂?shù)矩陣的行列式所以系數(shù)矩陣A可逆．那么u=A－1b

［1］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)［M］．北京:高等教育出版社，2014．

［2］馮錫剛．解析幾何中矩陣的秩的應(yīng)用［J］．教學(xué)管理與科研，2000(1):60－61．

［3］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．線性代數(shù)［M］．北京:高等教育出版社，北京，2014．

［4］潘杰，蘇化明．齊次線性方程組有非零解的幾何應(yīng)用［J］．高等數(shù)學(xué)研究，2013，16(1):34－35．

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