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    把握分類討論標(biāo)準(zhǔn) 破解導(dǎo)數(shù)應(yīng)用困局

    2017-04-15 01:26:52安徽省樅陽縣會宮中學(xué)246740
    數(shù)理化解題研究 2017年7期
    關(guān)鍵詞:定義域極值零點(diǎn)

    安徽省樅陽縣會宮中學(xué)(246740)

    朱賢良● 付朝華●

    把握分類討論標(biāo)準(zhǔn) 破解導(dǎo)數(shù)應(yīng)用困局

    安徽省樅陽縣會宮中學(xué)(246740)

    朱賢良● 付朝華●

    導(dǎo)數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要概念之一,運(yùn)用導(dǎo)數(shù)來求解函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問題是高考數(shù)學(xué)命題的常見角度,但含參的導(dǎo)數(shù)問題也是考生公認(rèn)的難點(diǎn)與易錯點(diǎn)之一.究其根源,伴隨著參數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題往往需要分類討論,而如何進(jìn)行分類討論、如何把握分類討論的標(biāo)準(zhǔn)就成為破解導(dǎo)數(shù)應(yīng)用困局的關(guān)鍵.

    我們知道,利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值問題一般流程如下:

    在涉及含參函數(shù)的單調(diào)性等相關(guān)問題中,往往在第二、三、四、五步可能需要就參數(shù)的取值進(jìn)行分類討論,主要是要考慮到導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在與否(有沒有、有幾個)、導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)如何劃分定義域(是否在定義域內(nèi)、多個零點(diǎn)孰大孰小)、導(dǎo)函數(shù)符號是否確定、函數(shù)最值點(diǎn)是否確定(極值點(diǎn)還是區(qū)間端點(diǎn))等.以下結(jié)合具體例題,一一說明之.

    一、考慮導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在與否

    在上述流程的第二步中,需要考慮到導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)存在與否:是否存在?存在又有幾個?這往往是第一個分類討論的標(biāo)準(zhǔn).

    例1 (2014年高考安徽卷·理18文20改編)設(shè)函數(shù)f(x)=1+(1+a)x-x2-x3,其中a∈R.試討論f(x)的單調(diào)性.

    分析 由題知,f′(x)=-3x2-2x+1+a.

    x(-∞,x1)(x1,x2)(x2,+∞)f′(x)-+-f(x)↘↗↘

    評注 本題中的導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù),在考慮導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是否存在時,一般先考慮導(dǎo)函數(shù)能否進(jìn)行因式分解(提公因式或十字相乘),若可以,則必存在零點(diǎn);若不可以,則選擇判別式進(jìn)行判斷.特別需要注意的是,當(dāng)判別式等于0時,導(dǎo)函數(shù)有唯一零點(diǎn),此零點(diǎn)并非函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),此時函數(shù)f(x)在定義域上單調(diào).

    二、考慮導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是否分布在定義域內(nèi)

    在上述流程的第三步中,需要考慮到導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)是否分布在定義域內(nèi)、零點(diǎn)將定義域劃分成哪幾個區(qū)間.若不確定,則需分類討論之.

    分析 由題可得,f′(x)=x2-(2a+1)x+a2+a=(x-a)[x-(a+1)].

    由f′(x)=0得,x=a或x=a+1.

    接下來需要就兩個零點(diǎn)a與a+1是否分布在定義域[0,2]內(nèi)展開討論:

    ①當(dāng)a

    ②當(dāng)0

    x(0,a+1)(a+1,2)f′(x)-+f(x)↘↗

    ③當(dāng)0

    x(0,a)(a,a+1)(a+1,2)f′(x)+-+f(x)↗↘↗

    ④當(dāng)0

    x(0,a)(a,2)f′(x)+-f(x)↗↘

    ⑤當(dāng)2≤a

    綜上所述,當(dāng)a≤-1或a≥2時,f(x)的遞增區(qū)間為[0,2];

    當(dāng)-1

    當(dāng)0

    當(dāng)1≤a<2時,f(x)的遞增區(qū)間為(0,a),遞減區(qū)間為(a,2).

    評注 本題中的分類討論是源于導(dǎo)函數(shù)f′(x)的兩個零點(diǎn)a與a+1是否在定義域[0,2]內(nèi),這也正是分類的標(biāo)準(zhǔn).

    三、考慮導(dǎo)函數(shù)多個零點(diǎn)的大小是否確定

    在就導(dǎo)函數(shù)f′(x)的零點(diǎn)劃分定義域時,既要考慮到導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是否在定義域內(nèi),還要考慮到多個零點(diǎn)的大小問題.倘若多個零點(diǎn)的大小關(guān)系不確定,也需要進(jìn)行分類討論.

    例3 設(shè)函數(shù)f(x)=x2-(a+2)x+alnx+2a+2,其中a∈R.試判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

    x(0,1)(1,+∞)f′(x)-+f(x)↘↗

    x(0,a2)(a2,1)(1,+∞)f′(x)+-+f(x)↗↘↗

    x(0,1)(1,a2)(a2,+∞)f′(x)+-+f(x)↗↘↗

    綜上所述,當(dāng)a≤0時,f(x)的遞增區(qū)間為(1,+∞),遞減區(qū)間為(0,1);

    當(dāng)a=2時,f(x)的遞增區(qū)間為(0,+∞);

    評注 本題在分類討論求解時,既考慮到了導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)是否在定義域內(nèi),又考慮到了兩個零點(diǎn)孰大孰小,分類標(biāo)準(zhǔn)清晰.

    四、考慮導(dǎo)函數(shù)的符號是否確定

    導(dǎo)函數(shù)f′(x)的正負(fù)情況,決定了函數(shù)的單調(diào)性.而有些時候,f′(x)的正負(fù)情況并不確定,則需要分類討論之.

    ②若a>1,則在定義域[1,+∞)上,y=(1-a)x2-x+a≥0,f′(x)≤0,即f(x)在[1,+∞)上遞減.

    x(1,a1-a)(a1-a,+∞)f′(x)-+f(x)↘↗

    當(dāng)a>1時,f(x)在[1,+∞)上遞減;

    五、考慮函數(shù)最值點(diǎn)是否確定

    在判斷函數(shù)的單調(diào)性之后,還需要確定函數(shù)的最值點(diǎn)是某一極值點(diǎn)還是區(qū)間的端點(diǎn),這就需要判斷函數(shù)的極值與端點(diǎn)處函數(shù)值的大?。舨淮_定,則分類討論處理.

    x0(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,2)2f′(x)+0f′(x)0f′(x)f(x)3-3a>0↗f(x1)>0↘f(x2)↗3a-1

    最大值是哪個?如何判斷?

    綜上所述,

    分類討論思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要思想方法,在歷年高考試題中都有所考查.應(yīng)用導(dǎo)數(shù)處理含參函數(shù)的單調(diào)性等問題時,要注意思維的嚴(yán)密性與邏輯性,弄清楚分類討論的原因與標(biāo)準(zhǔn),確保不重不漏、準(zhǔn)確合理.

    G632

    B

    1008-0333(2017)07-0006-03

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