由一道力學(xué)例題受到的啟發(fā)

【摘要】討論在應(yīng)用虛位移原理時(shí)選擇廣義坐標(biāo)應(yīng)注意的問題，指出正確理解廣義坐標(biāo)的定義是正確選擇廣義坐標(biāo)的前提。

【關(guān)鍵詞】虛位移 廣義坐標(biāo)

【中圖分類號】G633.7 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）10-0162-02

1717年，伯努利首先發(fā)現(xiàn)了虛功原理，而它的敘述是這樣的：“受理想約束的力學(xué)體系平衡的充要條件是此力學(xué)體系的諸主動(dòng)力在任意虛位移中所做的元功之和等于零”即：

而在直角坐標(biāo)系中寫作

對自由度為s的力學(xué)體系：

式中q為廣義坐標(biāo) ， Qa為廣義力：

由于虛位移 獨(dú)立，平衡方程： 在有關(guān)虛功原理的應(yīng)用題中，坐標(biāo)系的選擇、廣義坐標(biāo)的選擇、對廣義坐標(biāo)定義的理解、對虛功原理的理解均是很關(guān)鍵的問題。本課題試圖通過對下面這道例題深入分析，總結(jié)出用虛功原理解題應(yīng)注意的問題。例題如下：

（1）一根均勻細(xì)桿質(zhì)量為m，擱放在一固定的半圓形容器內(nèi)，在碗內(nèi)的長度為b，求桿的長度l？（設(shè)桿的運(yùn)動(dòng)在鉛垂平面內(nèi)，所有的接觸都是光滑的，圓的半徑為 r且小于l）。

就這個(gè)例子來說，它可以說是一個(gè)平面問題，易知體系自由度S=1，若如下選擇坐標(biāo)系：由于棒的位置可由θ唯一被確定，所以易知體系自由度s=1，θ為廣義坐標(biāo)，棒所受主動(dòng)力只有重力，則： Fx=0 Fy=mg

當(dāng)體系處于平衡時(shí)，根據(jù)虛功原理易知：

因s=1取一個(gè)直角坐標(biāo)系，若以y為廣義坐標(biāo)，則直角坐標(biāo)可以用廣義坐標(biāo)表示為x=x（y）， y=y.因?yàn)?. 則： ，而在此式中廣義力

由于δy是獨(dú)立的，此時(shí)平衡方程為δy=0即： 在此有兩種求解方法：（一）1）：當(dāng)Fx≠0，F(xiàn)y=0 時(shí)，平衡方程可化簡為 2）：Fx=0，F(xiàn)y≠0時(shí)，此時(shí)我們改寫一般情況下的平衡方程 為： ，則此種看法的體系平衡方程為 =0.由此可見，在此處用虛功原理得到： ，得不出我們所要的結(jié)論。（二）若直接用 求解，由于 ，則 .由幾何關(guān)系得： ...（1）

削去b得： ，取微分，當(dāng) =0時(shí)：

…（2）

聯(lián)立（1）、（2）式則有： ，則：

由此可見，在以上兩種求解中，第一種是y為廣義坐標(biāo)來求解的；所選原點(diǎn)是棒上的一點(diǎn)，而且是棒與碗接觸的一點(diǎn)。而第二種則是以x，y為廣義坐標(biāo)求解的。所選原點(diǎn)是碗緣上的一點(diǎn)，也是棒和碗所接觸的那一點(diǎn)，而且這一點(diǎn)是在碗緣上，所得出的結(jié)果是不一樣的。由我們所求的結(jié)果來看，第一種求法是不對的，是因?yàn)閺V義坐標(biāo)的選擇是不正確的，且此點(diǎn)是會(huì)發(fā)生虛位移的點(diǎn)，用來作為坐標(biāo)系原點(diǎn)顯然是不可以的，這是對廣義坐標(biāo)的理解不夠才出現(xiàn)的問題。廣義坐標(biāo)的選取不同，理解不同，所以才導(dǎo)致出現(xiàn)以上這些情況。雖然說選取廣義坐標(biāo)時(shí)是可以任意的，但其前提是所選擇的變量必須是真正的廣義坐標(biāo)，這是一個(gè)很關(guān)鍵的問題，如果我們選擇了一個(gè)不是廣義坐標(biāo)的變量來描述質(zhì)點(diǎn)系的位置，則有可能得到錯(cuò)誤的結(jié)果。若在例一中選擇θ為廣義坐標(biāo)來求桿的平衡位置則有：

由于光滑接觸，體系滿足理想約束條件，根據(jù)虛功原理，桿的平衡條件為主動(dòng)力mg所做虛功等于零，即： 其中 為桿的質(zhì)心c點(diǎn)的虛位移。

由于桿的放置方向， 的位置是受限制的，桿的自由度就只有一個(gè)，我們選擇θ為廣義坐標(biāo)，則c點(diǎn)坐標(biāo)（xc，yc）與θ之間的變換方程為：

由此式微分可求出虛位移表達(dá)式，把代入平衡條件，因y方向的主動(dòng)力為零，故 項(xiàng)無貢獻(xiàn)，于是有平衡方程： ， 是獨(dú)立變量，所以：

平衡時(shí)有： ，則：

但若選質(zhì)心c的x坐標(biāo)xc為廣義坐標(biāo)，則結(jié)果如下： ，顯然 ，而當(dāng)選擇θ或y為廣義坐標(biāo)時(shí)，則可以得到正確的答案。 即：θ=0或π。

雖然以上的分析方法都是有道理的，但還沒有切中問題的要害與實(shí)質(zhì)，再次我談?wù)勛约旱目捶?，我認(rèn)為：在求解一個(gè)物體小環(huán)的平衡位置時(shí)，若以θ來表示質(zhì)點(diǎn)系的位置，它是唯一可以表示小環(huán)m位置的坐標(biāo)，所以θ可稱為廣義坐標(biāo)，由此可得出正確的結(jié)論。 若選擇x 來表示小環(huán)m的位置時(shí)，則一個(gè)x對應(yīng)兩個(gè)y，即同一個(gè)x，小環(huán)可能在左邊也可能在右邊，所以x不能唯一確定小環(huán)m的位置，因此x不能為廣義坐標(biāo)。在這里要指出的是若選y 作為廣義坐標(biāo)時(shí)也可以得到正確的結(jié)果，而這是在排除了 這兩個(gè)點(diǎn)的情況下才得出結(jié)論的，又因?yàn)閺V義坐標(biāo)是唯一能表示質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立變量，如果排除了某些點(diǎn)，這樣的變量是不能稱為廣義坐標(biāo)的，這樣的做法也是不正確的，這是對廣義坐標(biāo)的理解存在偏差。因此我個(gè)人認(rèn)為選擇廣義坐標(biāo)時(shí)有以下幾點(diǎn)可以供參考：

1）在求解虛功原理的問題和平衡問題時(shí)，坐標(biāo)的選取不只是可以選擇廣義坐標(biāo)，只要你找對自己所選的變量是可以描述質(zhì)點(diǎn)的整個(gè)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)或是質(zhì)點(diǎn)的位置時(shí)，就可以根據(jù)問題選擇你所需要的坐標(biāo)。

2）虛功原理是一個(gè)靜力學(xué)原理，在它的表述中已不出現(xiàn)約束力，約束條件只體現(xiàn)在確定的廣義坐標(biāo)上.所以在用虛功原理解題時(shí)，可以不考慮約束反力，若需要考慮的話，我們可以將約束解出，代之以相應(yīng)的約束力，并視為主動(dòng)力.仍然可以用虛功原理來解題。

3）在用虛功原理解題時(shí)當(dāng)所選坐標(biāo)數(shù)超過自由度時(shí)，只要加上相應(yīng)的約束方程，超過多少個(gè)就加上多少個(gè)約束方程，仍然可以用虛功原理求解。

作者簡介：

朱朝啟，男，云南大姚人，大姚縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)，研究方向：物理教育教學(xué)研究，大學(xué)本科，一級教師。