導(dǎo)體一定能達(dá)到靜電平衡狀態(tài)嗎？

郭雪鵬

·問題討論·

導(dǎo)體一定能達(dá)到靜電平衡狀態(tài)嗎？

郭雪鵬

（安徽省臨泉第一中學(xué)，安徽阜陽 236400）

對(duì)于長(zhǎng)方體金屬薄導(dǎo)體，建立一個(gè)簡(jiǎn)單模型，求出導(dǎo)體能夠達(dá)到靜電平衡狀態(tài)，長(zhǎng)度存在一個(gè)最小值為外界勻強(qiáng)電場(chǎng)強(qiáng)度，n為金屬導(dǎo)體內(nèi)電子數(shù)密度，e為電子的電荷量．

金屬導(dǎo)體；靜電平衡；勻強(qiáng)電場(chǎng)

1 提出問題

將一個(gè)導(dǎo)體放置在一個(gè)電場(chǎng)中，導(dǎo)體將會(huì)在很短時(shí)間內(nèi)達(dá)到靜電平衡狀態(tài)，之后導(dǎo)體內(nèi)電荷沒有定向運(yùn)動(dòng)．如果這個(gè)導(dǎo)體很薄，例如納米級(jí)的厚度，而外加的電場(chǎng)強(qiáng)度很強(qiáng)，導(dǎo)體內(nèi)的電荷是否足夠多，使得導(dǎo)體在電場(chǎng)中仍然能夠達(dá)到靜電平衡狀態(tài)．對(duì)于導(dǎo)體，是否存在一個(gè)最小的尺度？本文擬建立一個(gè)簡(jiǎn)單模型就這個(gè)問題進(jìn)行討論．

2 建立模型

假設(shè)將一個(gè)長(zhǎng)方體形狀的金屬導(dǎo)體放置在一個(gè)勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E，方向沿y方向，如圖1所示．長(zhǎng)方體長(zhǎng)為a、寬為b、厚度為h．金屬導(dǎo)體能夠自由移動(dòng)的為電子，假設(shè)電子密度數(shù)為n，每個(gè)電子帶電荷量為e．長(zhǎng)方體內(nèi)所有的電子數(shù)為

圖1 金屬導(dǎo)體處于勻強(qiáng)電場(chǎng)

總電荷量為

將長(zhǎng)方體置于勻強(qiáng)電場(chǎng)中，電子將向長(zhǎng)方體左側(cè)面移動(dòng)．如果場(chǎng)強(qiáng)足夠強(qiáng)，金屬導(dǎo)體左側(cè)積累大量的電子．在極端情況下，假設(shè)所有電子都移動(dòng)到左側(cè)面上，且是均勻分布的，那么右側(cè)面將分布有相同數(shù)量的正電荷．左右兩個(gè)側(cè)面的最大感應(yīng)電荷面密度為對(duì)于無限大平行平面薄板，兩板中間的電場(chǎng)強(qiáng)度［1］為為電荷面密度，ε0為真容電容率．將長(zhǎng)方體金屬導(dǎo)體左右側(cè)面看作無限大平行平面薄板，應(yīng)用電場(chǎng)強(qiáng)度公式，而且從（3）式可以看出電荷面密度與側(cè)面的寬b和高h(yuǎn)無關(guān)．在該長(zhǎng)方體導(dǎo)體內(nèi)部，感應(yīng)電荷產(chǎn)生的最大電場(chǎng)強(qiáng)度大小為

若導(dǎo)體能夠達(dá)到靜電平衡，外界電場(chǎng)強(qiáng)度大小不能大于感應(yīng)電荷產(chǎn)生的最大電場(chǎng)強(qiáng)度（6）式意味著，對(duì)于長(zhǎng)方體導(dǎo)體，按照這個(gè)簡(jiǎn)單模型，處于勻強(qiáng)電場(chǎng)E中，要想最終能夠達(dá)到靜電平衡狀態(tài)，長(zhǎng)方體的尺寸存在一個(gè)最小值．如果小于這個(gè)最小值，那么金屬導(dǎo)體內(nèi)的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度不足以和外部電場(chǎng)抵消，導(dǎo)體不能達(dá)到靜電平衡狀態(tài)．

3 總結(jié)

在講解靜電平衡狀態(tài)時(shí)，會(huì)有學(xué)生提出這個(gè)問題，導(dǎo)體是否一定能夠達(dá)到靜電平狀態(tài)．本文就長(zhǎng)方體金屬導(dǎo)體，建立這個(gè)簡(jiǎn)單模型．要想達(dá)到靜電平衡狀態(tài)，長(zhǎng)方體導(dǎo)體的長(zhǎng)度存在一個(gè)最小值

變形為，E為外界勻強(qiáng)電場(chǎng)強(qiáng)度，n為金屬導(dǎo)體電子數(shù)密度．

1 趙凱華，陳熙謀．電磁學(xué)（第3版）［M］．北京：高等教育出版，2010：47－48．

2016－07－23）