追根溯源 瑕不掩瑜
——2016年高考全國卷Ⅰ物理第35題賞析

楊培軍 王 鵬

追根溯源 瑕不掩瑜
——2016年高考全國卷Ⅰ物理第35題賞析

楊培軍1王 鵬2

（1．安徽省阜陽市教科所，安徽阜陽 236031；2．安徽省界首市界首中學(xué)，安徽阜陽 236500）

通過追根溯源，找出該高考題的出處及演變過程，分析了題目及官方答案存在的瑕疵及修改意見，并應(yīng)用動(dòng)量定理和變質(zhì)量體系的運(yùn)動(dòng)方程兩種方法求解．

圓柱體模型；動(dòng)量定理；變質(zhì)量體系的運(yùn)動(dòng)方程

2016年高考全國卷Ⅰ物理第35（2）題是一道很出色的試題，內(nèi)容如下．

例1．某游樂園入口旁有一噴泉，噴出的水柱將一質(zhì)量為M的卡通玩具穩(wěn)定地懸停在空中．為計(jì)算方便起見，假設(shè)水柱從橫截面積為S的噴口持續(xù)以速度v0豎直向上噴出；玩具底部為平板（面積略大于S）；水柱沖擊到玩具底板后，在豎直方向水的速度變?yōu)榱?，在水平方向朝四周均勻散開．忽略空氣阻力．已知水的密度為ρ，重力加速度大小為g．求：

（1）噴泉單位時(shí)間內(nèi)噴出的水的質(zhì)量；

（2）玩具在空中懸停時(shí)，其底面相對(duì)于噴口的高度．

讀完該題后，會(huì)有教師覺得眼熟，確實(shí)在不少競(jìng)賽輔導(dǎo)書中均能找到類似的題目．例如文獻(xiàn)［1］中有這樣一道題．

例2．如圖1所示，由噴泉中噴出的水柱，把一個(gè)重為W 的垃圾桶倒頂在空中．水以速率v0、恒定的質(zhì)量增率（即單位時(shí)間噴出的質(zhì)量）從地下射向空中．求垃圾桶可停留的最大高度．設(shè)水柱噴到桶底后以相同的速率反彈．

文獻(xiàn)［2］中也有一道類似的題目．

圖1

例3．由噴泉噴出的豎直水柱把一個(gè)質(zhì)量為M的垃圾桶倒頂在空中，若水以恒定的速率v0從面積為S的小孔中噴出射向空中，在沖擊桶底后以原速率豎直濺下，如圖2所示，求垃圾桶停留的高度．

圖2

圖3

目前筆者發(fā)現(xiàn)的最早的類似題目來自文獻(xiàn)［3］．

例4．如圖3所示，由噴泉中噴出的水柱，把一個(gè)質(zhì)量為m的垃圾桶倒頂在空中．水以恒定的速率v0從面積為S的小孔中噴出，射向空中，在沖擊垃圾桶桶底以后，有一半的水吸附在桶底，并順內(nèi)壁流下，其速度可忽略，而另一半則以原速率豎直濺下．求垃圾桶停留的高度H．

這道題先是出現(xiàn)在大學(xué)普通物理學(xué)力學(xué)的課后習(xí)題中，然后成為競(jìng)賽和自主招生的練習(xí)題，最后又演變成高考題．此題如此備受青睞，究其原因，可能是因?yàn)榇祟}有鮮明的生活背景，容易引起學(xué)生的興趣；而且能考察學(xué)生多方面的知識(shí)和技能．下面以兩種方法求解．

1 解法1：動(dòng)量定理結(jié)合圓柱體模型

我們先解例1．在噴泉出水口處截取很短的一段圓柱體水柱，其長度為Δl＝v0Δt，其質(zhì)量為這是時(shí)間Δt內(nèi)噴出的水的質(zhì)量，除以時(shí)間即可得噴泉單位時(shí)間內(nèi)噴出水的質(zhì)量為

接下來求解第2問．水噴出之后只受重力，做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)其即將與玩具底板接觸時(shí)速度為v，水柱截面積為S′，由流體連續(xù)性方程得

并設(shè)該過程上升的高度為h．根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得

我們緊貼玩具底板截取很短的一段圓柱體水柱，為了與第1問截取的水柱相區(qū)別，設(shè)這一水柱的質(zhì)量為Δm′＝ρvΔt′S′，顯然這一水柱中的水會(huì)在時(shí)間Δt′內(nèi)全部撞擊玩具底板．考慮該水柱與玩具底板的碰撞過程，以豎直向上為正方向，由動(dòng)量定理得，

由于Δmg很小，可忽略，解得

我們也可以以第1問所截取的圓柱體水柱，當(dāng)其將要與玩具底板碰撞時(shí)，由于水柱體積不變，有

很容易發(fā)現(xiàn)4道題的區(qū)別僅僅是水沖擊玩具底板或垃圾桶桶底之后運(yùn)動(dòng)情況有所不同，因此只要將例1的解題過程稍加改變，即可解出其余3題．對(duì)于例2，只需將（5），（6）式改為－Δmv－Δmv＝－FNΔT，F(xiàn)N＝W，即可得出．例3與例2幾乎一樣，結(jié)果為．例4的計(jì)算稍微麻煩一些，需將（5）式改為－FNΔt，可得

2 高考題和官方答案的不足之處

對(duì)于高考題例1，筆者覺得題目和官方答案都略有瑕疵．首先水柱上升過程會(huì)變粗，截面積變大，但是題目只告訴我們玩具底板面積略大于S，并且沒有配圖（其他3題均有圖），這難免會(huì)讓一些較真的學(xué)生思考：玩具底板面積會(huì)不會(huì)小于水柱的截面積？因此筆者覺得題目應(yīng)當(dāng)略加修改：配圖或者明確告訴學(xué)生玩具底板面積不小于水柱的截面積．而且噴泉把垃圾桶倒頂在空中并不難實(shí)現(xiàn)，也很容易想象出來，但是想把一個(gè)卡通玩具（底部是平面）穩(wěn)定地頂在空中難度著實(shí)有些大，不太符合實(shí)際，因此筆者覺得這方面不如不改，還是垃圾桶好（其他3題都是垃圾桶）．對(duì)于官方解答，筆者覺得問題出在連續(xù)性方程（3）式該如何處理上．先看一下官方網(wǎng)站上的答案：

（1）設(shè)Δt時(shí)間內(nèi)，從噴口噴出的水的體積為ΔV，質(zhì)量為Δm，則

由（8）、（9）式得，單位時(shí)間內(nèi)從噴口噴出的水的質(zhì)量為

（2）設(shè)玩具懸停時(shí)其底面相對(duì)于噴口的高度為h，水從噴口噴出后到達(dá)玩具底面時(shí)的速度大小為v．對(duì)于Δt時(shí)間內(nèi)噴出的水，由能量守恒得

在h高度處，Δt時(shí)間內(nèi)噴射到玩具底面的水沿豎直方向的動(dòng)量變化量的大小為

設(shè)水對(duì)玩具的作用力的大小為F，根據(jù)動(dòng)量定理有

由于玩具在空中懸停，由力的平衡條件得

聯(lián)立（10）～（14）式得

官方解答回避了連續(xù)性方程，似乎是為了降低難度，但是卻導(dǎo)致解答的嚴(yán)密性出了問題：（13）式成立的依據(jù)何在？時(shí)間為什么一定是Δt？根據(jù)前面的分析可以看出，（13）式的正確性還是要用連續(xù)性方程（3）式來解釋．所以對(duì)于這一題，連續(xù)性方程是無法回避的．不過這樣一來，此題就有超綱之嫌了，可在題目中明確告訴學(xué)生或者提示學(xué)生（例如設(shè)置一小問）注意連續(xù)性方程．

3 解法2：變質(zhì)量體系的運(yùn)動(dòng)方程

變質(zhì)量體系的運(yùn)動(dòng)方程在物理競(jìng)賽中明確要求掌握，因此我們用它來求解上述4題．其形式如下：

（主體參與兩種或更多與外界質(zhì)量交換），如圖4所示．上述4題均屬于第2種情況．該方程當(dāng)然是由動(dòng)量定理推導(dǎo)出來的，具體過程可參考力學(xué)教材，不再贅述．

圖4

在例1中，主體為卡通玩具，由于其靜止在半空中，因此（6）式中主體的速度v＝0．附體1為沖擊玩具的水，其速度u1＝v，即水流即將與玩具接觸時(shí)的速度，附體2為流失的水，其速度為

主體的質(zhì)量變化率（增加）為單位時(shí)間內(nèi)沖擊玩具的水的質(zhì)量，由（7）式得于水沖擊玩具之后立即全部流失或者反彈，所以主體即玩具的質(zhì)量不變，即m＝M，然后即可得出主體的質(zhì)量變化率（減少）F為變質(zhì)量體系所受的外力，在上述4題中均為重力，由于短時(shí)間內(nèi)水的質(zhì)量很小，重力忽略不計(jì)，因此外力等于玩具的重力，F(xiàn)＝Mg．Δm＝ρv0ΔtS＝Δm′＝ρvΔt′S′．

將上述分析結(jié)果代入（16）式得以豎直向上為正方向，化簡(jiǎn)得ρv0vS＝Mg，解出速度v，代入（4）式即可求出結(jié)果．

例4對(duì)應(yīng)的（18）式為

以下步驟從略．

4 意義和體會(huì)

本題來源于鮮活的生活實(shí)景，考查學(xué)生物理觀念中的物質(zhì)觀念、運(yùn)動(dòng)觀念、能量觀念；在解答試題的過程中，考查了學(xué)生的模型構(gòu)建、數(shù)理結(jié)合等科學(xué)思維的應(yīng)用能力，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生的學(xué)以致用以及正確的科學(xué)價(jià)值觀．在全國多省自主命題的幾年里，動(dòng)量守恒定律“一枝獨(dú)秀”，考了又考，動(dòng)量定理幾乎很少涉及，而全國卷Ⅰ的第35題則告訴我們情況正在發(fā)生變化，因此該題對(duì)全國的考生有著重要意義，值得我們深入思考．該題同時(shí)也告訴我們，高考題的命制及解答既要注意嚴(yán)密性，還要符合實(shí)際情況．

1 程稼夫．中學(xué)奧林匹克競(jìng)賽物理教程力學(xué)篇［M］．合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2002：127．

2 楊榕楠．更高更妙的物理高考高分與自主招生決勝篇［M］．杭州：浙江大學(xué)出版社，2013：114．

3 鄭永令，賈起民．力學(xué)［M］．上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，1989：178．

4 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書物理選修3－1［M］．北京：．由人民教育出版社，2010．

2016－08－11）

本文系安徽省規(guī)劃辦立項(xiàng)課題“高中物理教學(xué)中數(shù)理結(jié)合的實(shí)踐研究”（課題批號(hào)：JG11152）的研究成果之一．