中學(xué)數(shù)學(xué)中概率與統(tǒng)計(jì)的教育價(jià)值

王志祥， 柏傳志

(淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 江蘇 淮安 223300)

中學(xué)數(shù)學(xué)中概率與統(tǒng)計(jì)的教育價(jià)值

王志祥， 柏傳志

(淮陰師范學(xué)院 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院， 江蘇 淮安 223300)

激發(fā)學(xué)生科學(xué)研究的萌芽思想，有助于其批判性思維的形成，有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)世界的方法論。本文從培養(yǎng)學(xué)生形成科學(xué)研究所需的優(yōu)秀品質(zhì)等四個(gè)方面論述了中學(xué)數(shù)學(xué)中概率與統(tǒng)計(jì)的教育價(jià)值，并結(jié)合實(shí)例表述了如何在教學(xué)中滲透這些教育。

概率與統(tǒng)計(jì)；教育價(jià)值；批判性思維；方法論

0 前言

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)作為一門(mén)重要的數(shù)學(xué)學(xué)科，從1657年荷蘭數(shù)學(xué)家惠更斯發(fā)表了《論賭博中的計(jì)算》這部最早的概率論著作到1933年科爾莫戈羅夫出版了他的著作《概率論基礎(chǔ)》，標(biāo)志著概率論成為一門(mén)嚴(yán)格的演繹科學(xué)，只經(jīng)歷了兩百多年的時(shí)間。在此之后在眾多數(shù)學(xué)家與統(tǒng)計(jì)學(xué)家的共同努力下，這門(mén)學(xué)科得到了迅速的發(fā)展。如今已經(jīng)深入到了科學(xué)技術(shù)、金融、工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和社會(huì)生活的方方面面。每天，只要瀏覽平面媒體，看一看電視，聽(tīng)一聽(tīng)收音機(jī)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)概率統(tǒng)計(jì)的語(yǔ)言已經(jīng)成為人類(lèi)生活的重要部分。正如19世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家拉普拉斯所說(shuō)：“對(duì)于生活中的大部分，最重要的問(wèn)題實(shí)際上只是概率問(wèn)題。你可以說(shuō)幾乎我們所掌握的所有知識(shí)都是不確定的，只有一小部分我們能確定地了解。甚至數(shù)學(xué)科學(xué)本身，歸納法、類(lèi)推法和發(fā)現(xiàn)真理的首要手段都是建立在概率論的基礎(chǔ)之上的。因此，整個(gè)的人類(lèi)知識(shí)系統(tǒng)是與這一理論相聯(lián)系的……。”我們的社會(huì)正在步入大數(shù)據(jù)時(shí)代，“十三五”規(guī)劃綱要已經(jīng)把大數(shù)據(jù)戰(zhàn)略上升到國(guó)家戰(zhàn)略。順應(yīng)時(shí)代的發(fā)展，1996年的《高中數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》中列入了概率內(nèi)容，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(實(shí)驗(yàn))》，在必修課程(數(shù)學(xué)3)、選修課程(系列2、3)中分別列入了概率的內(nèi)容。由于概率與統(tǒng)計(jì)進(jìn)入了高考的考綱，據(jù)筆者了解，有相當(dāng)一部分?jǐn)?shù)學(xué)教師在教學(xué)中將概率教學(xué)的重點(diǎn)放在對(duì)一些概念的死記硬背和對(duì)計(jì)算技能的重復(fù)訓(xùn)練上，沒(méi)能準(zhǔn)確地把握中學(xué)設(shè)置概率內(nèi)容的宗旨，沒(méi)能充分挖掘概率的教育價(jià)值并將之滲透到日常教學(xué)中，筆者甚感惋惜。有的學(xué)者在這方面已經(jīng)做了很多工作。丁亥福賽[1]從學(xué)習(xí)概率有助于培養(yǎng)學(xué)生的辯證思想；有助于增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解；有助于學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活及其他學(xué)科的聯(lián)系；有助于傳統(tǒng)教學(xué)方法的改變等四個(gè)方面論述了高中階段概率與統(tǒng)計(jì)的教育價(jià)值，并研究了高中概率的教學(xué)現(xiàn)狀，提出了教學(xué)原則。周青莉[2]從有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維、有利于學(xué)生辯證思想的形成有；有利于學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)、有利于增強(qiáng)學(xué)生動(dòng)手試驗(yàn)?zāi)芰蛿?shù)學(xué)興趣的培養(yǎng)、有利于學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活以及其他學(xué)科的聯(lián)系五個(gè)方面論述了高中階段概率與統(tǒng)計(jì)的教育價(jià)值。樊德國(guó)從概率原理的哲學(xué)思辨與概率教學(xué)的理性思考兩方面論述了概率與統(tǒng)計(jì)的教育價(jià)值。對(duì)于這些學(xué)者的論述這里不再贅述，筆者將從四個(gè)方面論述概率與統(tǒng)計(jì)的教育價(jià)值，并提出如何在教學(xué)中滲透這些教育價(jià)值。

1 概率與統(tǒng)計(jì)的教育價(jià)值

1．1 激發(fā)學(xué)生科學(xué)研究的萌芽

蘇霍姆林斯基說(shuō):“老師無(wú)意間的一句話可能造就一個(gè)天才，也可能毀滅一個(gè)天才?！庇泻枚嘀袑W(xué)老師對(duì)學(xué)生的未來(lái)的發(fā)展有深遠(yuǎn)影響的活生生的例子。這里不乏普通人也不乏有成就的大家。如果教師在教學(xué)中精心地設(shè)計(jì)一些例子，精心準(zhǔn)備好一番話語(yǔ)，說(shuō)不定就造就了一個(gè)天才。那么，在高中階段，在學(xué)生的人生觀、世界觀正在形成的階段，對(duì)未來(lái)，對(duì)科學(xué)研究還很懵懂的階段，教師是可以有所作為的。作為數(shù)學(xué)教師，可以利用的手段不勝枚舉，概率與統(tǒng)計(jì)的教學(xué)中可精心設(shè)計(jì)，激發(fā)學(xué)生的科學(xué)研究的萌芽。

在教授學(xué)生“正態(tài)分布”這部分內(nèi)容時(shí)，數(shù)學(xué)史是必不可少的，筆者總是從棣莫弗最初發(fā)現(xiàn)“正態(tài)分布”，一直談到高斯的重要工作以及德國(guó)馬克十圓面值上的正態(tài)曲線與高斯的頭像。這些內(nèi)容，數(shù)學(xué)史的書(shū)籍中有之，互聯(lián)網(wǎng)上有之，但是學(xué)生很少去讀這些，教師要做個(gè)有心人，將之用在恰當(dāng)?shù)牡胤?，使之發(fā)揮大作用。大數(shù)學(xué)家龐加萊說(shuō)過(guò)：“若想預(yù)見(jiàn)數(shù)學(xué)的將來(lái)，正確的方法是研究它的歷史和現(xiàn)狀。”但筆者不僅僅是在講數(shù)學(xué)史，講數(shù)學(xué)史一方面可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，最主要的一方面，是要告訴學(xué)生，即使“正態(tài)分布”已經(jīng)被發(fā)現(xiàn)將近300年，但是仍然有沒(méi)有解決的問(wèn)題。眾所周知，在兩個(gè)正態(tài)分布的均值的假設(shè)檢驗(yàn)中，當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)差相等時(shí)可以構(gòu)造出精確檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量，但當(dāng)，標(biāo)準(zhǔn)差不等時(shí)迄今為止還沒(méi)有發(fā)現(xiàn)一個(gè)精確的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。在中學(xué)階段不會(huì)涉及這部分內(nèi)容，但是教師總是有辦法告訴學(xué)生，這里還有問(wèn)題沒(méi)有解決。筆者在教學(xué)中總會(huì)說(shuō)這樣的話：“同學(xué)們，你們是新生力量，這個(gè)問(wèn)題說(shuō)不定會(huì)被在座的哪位同學(xué)解決的！”在說(shuō)這句話時(shí)，不難發(fā)現(xiàn)有的同學(xué)點(diǎn)頭稱是，有的同學(xué)雙眸中充滿了憧憬和向往。潛移默化中，我們種下了希望的種子，等著它發(fā)芽。

1．2 有助于批判性思維的形成

思維的批判性，是指思維嚴(yán)謹(jǐn)而不疏漏，能準(zhǔn)確地識(shí)別和判斷對(duì)于解決問(wèn)題的思路、方法和結(jié)論，不是輕率地盲從，而是發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，提出質(zhì)疑，進(jìn)行正反兩方面探討，善于覓錯(cuò)、糾錯(cuò)，以批判的眼光去觀察問(wèn)題和審視思維活動(dòng)的全過(guò)程[4]。批判性思維還表現(xiàn)在不盲從權(quán)威，不迷信答案。只要老師能精心地設(shè)置問(wèn)題，便有助于學(xué)生批判性思維的形成。

教學(xué)中有意識(shí)地提出一些容易混淆的概念，或者忽略條件的錯(cuò)題，因勢(shì)利導(dǎo)，讓學(xué)生思考錯(cuò)在什么地方，為什么錯(cuò)？鼓勵(lì)大膽發(fā)表見(jiàn)解，自行探討，識(shí)別真?zhèn)?，是培養(yǎng)思維的批判性的好方法。這時(shí)候，老師一定要站得高些，看得遠(yuǎn)些。

1．3 有助于改變學(xué)生認(rèn)識(shí)世界的方法論

古人云:“窮則變，變則通，通則達(dá)?！边@里的“窮”字，也可以理解為窮盡了某一學(xué)科的所有方法之意。概率與統(tǒng)計(jì)，新的學(xué)科，新的內(nèi)容，認(rèn)識(shí)世界的新的視角。學(xué)生又多了一個(gè)解決問(wèn)題的有力的工具，就會(huì)引起解決問(wèn)題的方法的改變，勢(shì)必會(huì)引起學(xué)生認(rèn)識(shí)世界的方法論的改變。

其一，概率與統(tǒng)計(jì)使學(xué)生認(rèn)識(shí)世界的角度變了。中學(xué)生在長(zhǎng)期的確定性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，習(xí)慣了用純粹、嚴(yán)格的數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題，習(xí)慣了問(wèn)題有確定的、唯一的答案。概率是研究隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的，隨機(jī)現(xiàn)象在相同的條件下并不一定出現(xiàn)唯一的結(jié)果，產(chǎn)生了隨機(jī)性。這樣，從不唯一到唯一，從確定到隨機(jī)。學(xué)生熟悉的世界一下子變了。學(xué)生在驚嘆世界還可以這樣子的同時(shí)，看世界的角度也會(huì)跟著改變。當(dāng)一位同學(xué)去超市買(mǎi)袋食鹽，看到包裝袋上的質(zhì)量為“500±5克”不再奇怪時(shí)；當(dāng)一位同學(xué)不會(huì)因?yàn)橘I(mǎi)了一張沒(méi)有中獎(jiǎng)的彩票而懊惱時(shí)；當(dāng)自己喜愛(ài)的球隊(duì)輸?shù)舯荣惗辉俅沸仡D足時(shí)。我們說(shuō)學(xué)生認(rèn)識(shí)世界的方式改變了，因?yàn)樗麄円庾R(shí)到，世界是隨機(jī)的。

但是，我們說(shuō)，這種改變不是一蹴而就的。高中教材增設(shè)了概率統(tǒng)計(jì)內(nèi)容后，教師普遍感到難教，學(xué)生普遍感到難學(xué)，教師要通過(guò)概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)有效地培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)性數(shù)學(xué)思維。文獻(xiàn)[5]給出的如下6條建議有值得借鑒之處：講清“隨機(jī)”的內(nèi)涵，讓學(xué)生真正體會(huì)到學(xué)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)必須轉(zhuǎn)變固有的思維方式，激發(fā)自覺(jué)培養(yǎng)隨機(jī)性數(shù)學(xué)思維的意識(shí)；剖析典型題目，展示推理過(guò)程，讓學(xué)生明白隨機(jī)性數(shù)學(xué)思維下的推理是合情推理和邏輯推理的綜合；突出隨機(jī)性本質(zhì)，歸并典型模型，提高運(yùn)用隨機(jī)性數(shù)學(xué)思維的能力；注重概率與統(tǒng)計(jì)的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用隨機(jī)性數(shù)學(xué)思維的能力；密切聯(lián)系知識(shí)發(fā)生過(guò)程，師生互動(dòng)，大面積、高效率地激活學(xué)生的隨機(jī)性數(shù)學(xué)思維；營(yíng)造應(yīng)用實(shí)踐空間，使學(xué)生在解決實(shí)際問(wèn)題中領(lǐng)悟與發(fā)展隨機(jī)性數(shù)學(xué)思維。

其二，方法論的改變必定會(huì)引起解決問(wèn)題的方法的改變?！捌沿S投針”是一個(gè)用概率方法計(jì)算圓周率的近似值的一個(gè)耳熟能詳?shù)睦?，如安鴻志和他的《紅學(xué)中的數(shù)學(xué)思考》將統(tǒng)計(jì)學(xué)用于紅樓夢(mèng)的研究。如果說(shuō)這些離學(xué)生很遠(yuǎn)的話，那么在高中階段，概率也可以解決很多問(wèn)題，特別是在證明一些等式或是不等式中，顯示了其獨(dú)特的優(yōu)越性。

教師要精心挑選一些例子，做到既傳授知識(shí)，又傳授方法。

1．4 培養(yǎng)學(xué)生形成科學(xué)研究所需的優(yōu)秀品質(zhì)

也許高中階段的老師會(huì)說(shuō)，高考是迫在眉睫的事情，現(xiàn)在的學(xué)生離科學(xué)研究還遠(yuǎn)呢，那是他們上大學(xué)以后的事情。其實(shí)不然，只要教師做個(gè)有心人，科學(xué)研究所需的優(yōu)秀品質(zhì)在中學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中也可以得到培養(yǎng)?？茖W(xué)研究所需的優(yōu)秀品質(zhì)有很多，如專(zhuān)注力、合作、勇氣、好奇心、誠(chéng)實(shí)、謙遜、謹(jǐn)慎、客觀、毅力和懷疑等。在高中階段，可以結(jié)合概率與統(tǒng)計(jì)的教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的優(yōu)秀的品質(zhì)。這里舉一個(gè)例子說(shuō)明。

在教授頻率的穩(wěn)定性時(shí)，必然會(huì)用到歷史上的統(tǒng)計(jì)學(xué)家拋硬幣的例子：

實(shí)驗(yàn)者拋硬幣的次數(shù)正面向上的次數(shù)正面向上的頻率德摩根204810610.5181蒲豐404020480.5069費(fèi)勒1000049790.4979皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005

這個(gè)例子一方面說(shuō)明了頻率具有穩(wěn)定性，頻率可以作為事件發(fā)生的概率的估計(jì)，用來(lái)描述一個(gè)事件發(fā)生的可能性的大小。另一方面，還反映了統(tǒng)計(jì)學(xué)家進(jìn)行科學(xué)研究的優(yōu)秀品質(zhì):客觀、誠(chéng)實(shí)、毅力。同時(shí)使學(xué)生明白科學(xué)沒(méi)有捷徑。

教師的教學(xué)不能僅僅停留在傳授知識(shí)或科學(xué)進(jìn)程上面。培養(yǎng)科學(xué)研究的優(yōu)秀品質(zhì)也應(yīng)該成為科學(xué)教育的一部分。

[1] 丁亥福賽.高中概率的教育價(jià)值、教學(xué)現(xiàn)狀及教學(xué)原則[J].教育實(shí)踐與研究，2008(1):46-48.

[2] 周青莉.對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)概率教育價(jià)值的認(rèn)識(shí)[J].西北成人教育學(xué)報(bào)，2009(1):8-79.

[3] 樊德國(guó).高中數(shù)學(xué)《概率》教育價(jià)值初探[J].中學(xué)數(shù)學(xué)雜志，2010(7):12-14.

[4] 喬建國(guó).談概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)與思維品質(zhì)的培養(yǎng)[J].山西大學(xué)師范學(xué)院學(xué)報(bào):綜合版，1994(4):58-59.

[5] 張德然，茹詩(shī)松.高中概率統(tǒng)計(jì)教學(xué)中關(guān)于隨機(jī)性數(shù)學(xué)思維的培養(yǎng)[J].課程·教材·教法，2003(9):39-42.

[責(zé)任編輯：孫義清]

2016-09-22

王志祥(1968-)，男，江蘇沭陽(yáng)人，副教授，碩士，主要從事概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)、教育統(tǒng)計(jì)研究。E-mail:wzqiang@hytc.edu.cn

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1671-6876(2017)01-0092-03