懸索橋鋼桁梁斷面質(zhì)量慣性矩簡化計算方法

華旭剛+楊坤+溫青+陳政清

摘 要：魚骨單主梁模型是分析大跨度鋼桁梁懸索橋抗風性能的常用簡化模型.針對由于懸索橋鋼桁梁斷面桿件眾多造成的其扭轉(zhuǎn)質(zhì)量慣性矩計算繁瑣、精度低的問題，提出一種基于均勻附加扭轉(zhuǎn)質(zhì)量慣性矩前后結(jié)構(gòu)扭轉(zhuǎn)頻率的變化計算鋼桁梁扭轉(zhuǎn)質(zhì)量慣性矩的方法，并給出了該方法的理論說明、適用條件等.以一鋼桁梁懸臂結(jié)構(gòu)為例進行了數(shù)值仿真，結(jié)果表明：附加扭轉(zhuǎn)質(zhì)量慣性矩施加在全截面或上、下弦桿節(jié)點，且鋼桁梁的長細比L/D≥20時，該方法計算的扭轉(zhuǎn)質(zhì)量慣性矩有較高的精度.采用該方法計算了多座鋼桁梁懸索橋的主梁扭轉(zhuǎn)質(zhì)量慣性矩，比較了全桁架模型和單主梁模型扭轉(zhuǎn)振動頻率，驗證了方法的有效性.

關(guān)鍵詞：鋼桁梁；懸索橋；扭轉(zhuǎn)質(zhì)量慣性矩；抗風設(shè)計

中圖分類號：U448.25 文獻標志碼：A

文章編號：1674-2974（2017）03-0001-07DOI：10.16339/j.cnki.hdxbzkb.2017.03.001

Abstract：The simplified “fish-bone” model is commonly employed for the analysis of wind-induced responses of truss-stiffened suspension bridges， and one key step in establishing such a model is the calculation of the mass moment of inertia for the stiffening truss. Due to numerous members in a stiffening truss section， the calculation process of the moment of inertia is usually complicated and imprecise. Therefore， a new method is proposed based on the change in torsional frequencies of a cantilever truss girder caused by attaching the additional mass moment of inertia on the truss nodes， where the theoretical background is given， and the applicable conditions are also investigated. By taking a cantilever truss girder as an example， numerical simulation results show that the proposed method provides the best accuracy when the known mass moment of inertia is uniformly applied to all section nodes or to the nodes of chord joints， and the slenderness ratio of truss girder exceeds 20. Finally， the mass moments of inertia of stiffening truss are obtained by the proposed method， and are then used to establish the simplified “fish-bone” models for several selected suspension bridges. The torsional frequencies obtained by the simplified “fish-bone” models agree well with those predicted by their detailed models， which validates the effectiveness of this simplified method.

Key words：stiffening truss； suspension bridges； mass moment of inertia； wind-resistant design

鋼桁梁具有剛度大、用鋼量省、適應雙層橋面、抗風性能良好等優(yōu)點，在國內(nèi)外大跨度懸索橋中得到廣泛應用，如香港青馬大橋[1]、美國的金門大橋[2]、日本的明石海峽大橋[3]等.在鋼桁架為主梁的懸索橋的主梁節(jié)段模型試驗中，通常采用節(jié)段模型測力法獲得鋼桁梁斷面的靜三分力或顫振導數(shù).為與節(jié)段模型測力法相適應，需要建立鋼桁梁的等效單主梁模型.鋼桁梁斷面的扭轉(zhuǎn)質(zhì)量慣性矩是建立等效單主梁模型的一個重要參數(shù)，其計算的精確與否將直接影響等效單主梁模型的扭轉(zhuǎn)頻率、振型等參數(shù)，因此，如何快捷、有效地計算鋼桁梁的扭轉(zhuǎn)質(zhì)量慣性矩顯得尤為重要.

鋼桁梁通常由數(shù)量眾多的薄壁工字型或箱型截面構(gòu)件構(gòu)成，由上下弦桿、腹桿、平縱聯(lián)及橫聯(lián)等組成.沿橋跨方向，由于不同位置處的橫斷面的差異性，造成其質(zhì)心沿橋跨方向也在不斷變化，故很難精確計算鋼桁梁的扭轉(zhuǎn)質(zhì)量慣性矩.常規(guī)方法是找到節(jié)點處橫斷面的質(zhì)心位置，并假定沿橋跨方向各橫斷面質(zhì)心位置不變，然后計算鋼桁梁的扭轉(zhuǎn)質(zhì)量慣性矩，并以此作為單主梁模型扭轉(zhuǎn)質(zhì)量慣性矩的初值，不斷調(diào)整單主梁模型中此參數(shù)，來使全桁架模型與單主梁模型中的扭轉(zhuǎn)頻率一致[4].這種方法缺乏理論基礎(chǔ)，主觀性大，且計算繁瑣.于永帥[5]提出一種簡化算法：通過在鋼桁梁上沿橋跨方向均勻附加扭轉(zhuǎn)質(zhì)量慣性矩，利用附加質(zhì)量慣性矩前后2次動力特性的變化反算鋼桁梁自身扭轉(zhuǎn)質(zhì)量慣性矩.這種方法思路清晰，計算便捷，但其對此方法的理論證明、適用條件、附加扭轉(zhuǎn)質(zhì)量慣性矩的施加位置等未作詳細研究.

基于此，本文對該方法作進一步研究.首先，闡述了懸索橋風振分析所用有限元模型的特征，說明了計算扭轉(zhuǎn)質(zhì)量慣性矩的重要性和必要性；然后，詳細地討論了本文提出的鋼桁梁斷面扭轉(zhuǎn)質(zhì)量慣性矩的計算方法，并給出了該方法的理論說明和適用條件；接著，通過數(shù)值仿真，分析了鋼桁梁的長細比、附加扭轉(zhuǎn)質(zhì)量慣性矩的施加位置對計算結(jié)果的影響；最后，應用該方法計算了多座鋼桁梁懸索橋的主梁等效扭轉(zhuǎn)質(zhì)量矩，并驗證了結(jié)果的可靠性.

1 懸索橋動力分析模型

隨著現(xiàn)代大跨橋梁的日漸輕柔化，懸索橋及斜拉橋的抗風抗震性能越來越受到人們的關(guān)注，這方面的研究必須借助三維有限元分析方法[6].我們可以采用由多種單元（包括梁單元、板單元、殼單元等）組合的有限元方法對懸索橋進行分析，但這種方法必會涉及大量的運算，當采用時域法進行隨機動力分析時，為了得到大量樣本的統(tǒng)計結(jié)果，這個問題顯得尤為突出，且往往是行不通的[7].為此，必須將結(jié)構(gòu)的剛度、質(zhì)量、邊界條件等根據(jù)一定的等效原則對結(jié)構(gòu)進行一定的抽象和簡化，建立實用的動力分析模型.目前常用的簡化模型有單主梁、雙主梁、三主梁模型以及實體塊或板殼單元模型[7-9].

單主梁模型把橋面系的剛度（豎向、橫向撓曲剛度、扭轉(zhuǎn)剛度）和質(zhì)量（平動質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量）都集中在中間節(jié)點上，節(jié)點和吊桿之間采用剛臂連接或處理為主從關(guān)系.單主梁模型適用于自由扭轉(zhuǎn)剛度較大的閉口截面主梁.這種模型的優(yōu)點是主梁的剛度和質(zhì)量模擬較為準確，且計算量?。蝗秉c是橫梁的剛度和主梁的翹曲剛度未能得到充分考慮.

雙主梁模型將主梁的豎向剛度平均分配給2根邊主梁以保證豎向剛度的等效，可近似地考慮主梁約束扭轉(zhuǎn)的貢獻，適合于開口或半閉口截面的主梁，缺點是對側(cè)向剛度和約束扭轉(zhuǎn)剛度的模擬不準確.

三主梁模型是目前較完善的一種橋面系模型，它通過適當?shù)膭偠群唾|(zhì)量分配來滿足等效原則，可以克服上述2種模型的缺點，但使用三主梁模型會使結(jié)構(gòu)離散的單元數(shù)大大增加，這對于抗風計算的時域分析的求解效率是十分不利的.

實體塊或板殼單元模型中，主梁采用體板單元模擬，能較準確地計算結(jié)構(gòu)整體和局部的變形和內(nèi)力.其缺點是計算量相當大，對計算機硬件的要求比較高[10].

鋼桁梁具有較大的扭轉(zhuǎn)剛度，且考慮到后續(xù)風振響應分析、氣彈模型的設(shè)計，需要采用單主梁計算模式模擬鋼桁架結(jié)構(gòu).

2 扭轉(zhuǎn)質(zhì)量慣性矩

2.1 扭轉(zhuǎn)質(zhì)量慣性矩的定義

扭轉(zhuǎn)質(zhì)量慣性矩，簡稱質(zhì)量慣性矩或質(zhì)量矩，又叫轉(zhuǎn)動慣量，是剛體動力學中的一個重要概念，它表征物體轉(zhuǎn)動慣性的大小.為敘述方便，下文均采用質(zhì)量矩.

質(zhì)量矩為空間中質(zhì)量關(guān)于距離的二次矩.對于離散體系，它對空間任意一條直線z的質(zhì)量矩定義為：

2.2 簡化算法

2.2.1 計算原理

本文提出的是一種基于均勻附加質(zhì)量矩前后結(jié)構(gòu)動力特性的變化計算鋼桁梁質(zhì)量矩的方法.該方法采用質(zhì)量矩均勻分布的懸臂梁模型，通過在鋼桁梁上沿橋跨方向均勻附加質(zhì)量矩，然后根據(jù)附加質(zhì)量矩前后懸臂梁扭轉(zhuǎn)頻率的變化反算鋼桁梁自身的質(zhì)量矩，下面對該理論進行詳細說明.

2.2.2 理論證明

為下文證明方便，限制懸臂梁模型的平動自由度，并將其離散化為只有扭轉(zhuǎn)自由度的N自由度體系，如圖2所示.

式中：φ1為第一階扭轉(zhuǎn)振型； K為N階剛度方陣； M為N階質(zhì)量方陣； k1和m1分別是第一階模態(tài)剛度和模態(tài)質(zhì)量.由于模態(tài)振型φr為任意尺度的無量綱特征向量，不同的模態(tài)振型尺度，模態(tài)質(zhì)量mr和模態(tài)剛度k1不同，因此通常需要對振型進行規(guī)格化，常用的振型規(guī)格化方法有2種[11]：1）按質(zhì)量歸一化的振型規(guī)格化，即結(jié)構(gòu)的模態(tài)質(zhì)量為mr=1；2）特定自由度幅值取1的振型規(guī)格化，即某個自由度的幅值取1，并以這個指定的值為基準確定其他自由度幅值，如指定最大自由度幅值為1.本文采用指定最大自由度幅值為1的方法對振型進行規(guī)格化.

在每個節(jié)段上均附加大小為ΔIm的質(zhì)量矩，前面已經(jīng)證明了質(zhì)量矩均勻分布的懸臂梁模型附加質(zhì)量矩前后，結(jié)構(gòu)的扭轉(zhuǎn)振型不變，因此扭轉(zhuǎn)基頻變?yōu)棣?*，

式中：Im表示鋼桁梁各節(jié)段質(zhì)量矩大?。沪m表示鋼桁梁各節(jié)段附加的質(zhì)量矩大小；ω1，ω1*分別表示質(zhì)量矩附加前后的懸臂鋼桁梁的一階扭轉(zhuǎn)圓頻率；f1，f1*分別表示質(zhì)量矩附加前后的懸臂鋼桁梁的一階扭轉(zhuǎn)頻率.

公式（12）就是計算質(zhì)量矩的依據(jù).為方便使用，現(xiàn)將該方法計算步驟概括如下：

1）建立適當長度的鋼桁梁有限元模型，使其處于懸臂狀態(tài)，計算一階扭轉(zhuǎn)頻率f1；

2）沿梁跨方向在鋼桁梁模型上各節(jié)段處附加質(zhì)量矩大小均為ΔIm的扭轉(zhuǎn)質(zhì)量單元，并計算一階扭轉(zhuǎn)頻率f1*；

3）利用公式（12）計算鋼桁梁各節(jié)段的扭轉(zhuǎn)質(zhì)量慣性矩Im.

2.2.3 適用條件

由證明過程知，結(jié)構(gòu)的質(zhì)量矩需要滿足其沿梁跨均勻分布，且沿梁跨方向在各節(jié)段施加的附加質(zhì)量矩大小相同.

3 數(shù)值仿真分析

為了驗證簡化算法的可行性和計算結(jié)果的精確性，通過ANSYS對影響鋼桁梁質(zhì)量矩計算結(jié)果的因素進行分析.

3.1 有限元模型

主梁采用板桁結(jié)合型鋼桁加勁梁，主桁架為帶豎腹桿的華倫式結(jié)構(gòu)，由上弦桿、下弦桿、豎腹桿和斜腹桿組成.主桁桁高9 m，桁寬35.4 m，節(jié)間長度8.4 m.在主桁架每個節(jié)點處設(shè)置一道主橫桁架，下平聯(lián)采用K形體系，節(jié)點處橫斷面如圖3所示.

建立有限元模型時，上下弦桿、腹桿、平縱聯(lián)、橫梁等采用beam188單元，橋面板采用shell63單元.為驗證該方法所計算結(jié)果的正確性，兩者的密度均取為0，兩者的扭轉(zhuǎn)質(zhì)量慣性矩通過mass21單元施加，各節(jié)段（節(jié)段長度為8.4 m）質(zhì)量矩Im均取為4.028×107 kg·m2，具體到各節(jié)點的質(zhì)量矩大小見表1（考慮到橋面板的影響，故頂層節(jié)點的質(zhì)量矩較大）.建立加勁梁有限元模型如圖4所示，后處理時質(zhì)量矩陣采用集中質(zhì)量矩陣.

3.2 影響因素

鋼桁梁質(zhì)量矩計算結(jié)果的主要影響因素有2個，一是鋼桁梁的長細比L/D（L表示鋼桁梁的長度，D表示鋼桁梁寬度和高度的較大值），二是附加質(zhì)量矩的施加位置.

1）鋼桁梁的長細比： 鋼桁梁為組合結(jié)構(gòu)，從單一桿件分析，各桿件受力以軸力為主，可近似看成二力桿；但從整體來看，主桁上、下弦桿以及平、縱聯(lián)在適當間距內(nèi)提供了桁架承受較大彎矩的能力；橫梁和上下平聯(lián)連接2片主桁能夠提供整體抗扭剛度.當鋼桁梁長度遠大于梁寬度和梁高度時，桁架結(jié)構(gòu)成為一個具有明顯梁特性的單梁[4].

為研究鋼桁梁的長細比對質(zhì)量矩計算結(jié)果的影響，選取長細比分別為L/D≈10（L=352.8 m），20（L=740 m）和55（L=1 933.6 m）的3個鋼桁梁進行計算.

2）附加質(zhì)量矩施加位置：桁架橫斷面有多個節(jié)點，在不同節(jié)點處附加質(zhì)量矩對計算結(jié)果可能會產(chǎn)生影響.原桁架橫斷面左右對稱，故附加質(zhì)量矩應左右對稱施加，在不同位置處附加質(zhì)量矩時的工況見表2.

3.3 計算結(jié)果

利用簡化算法可以得到鋼桁梁的質(zhì)量矩（稱為計算值），將計算值與真實值（見表1）作比較，得到計算誤差，如圖5—圖7所示.鋼桁梁取不同長細比時，用簡化算法計算其質(zhì)量矩過程相似，所以僅給出了L/D=10時工況一的計算步驟，見表3.這里，ΔIm表示鋼桁梁各節(jié)段的附加質(zhì)量矩大小，fi表示懸臂鋼桁梁的一階扭轉(zhuǎn)頻率，Im表示鋼桁梁各節(jié)段的質(zhì)量矩大小.為保證計算結(jié)果的穩(wěn)定性，計算時選取了不同大小的附加質(zhì)量矩.

由圖5-圖7可知：

1）就鋼桁梁的長細比L/D而言，隨著長細比的增加，質(zhì)量矩計算誤差減小.當L/D=20，附加質(zhì)量矩采用4節(jié)點或10節(jié)點加載時，質(zhì)量矩計算誤差在3%以內(nèi)；當L/D=55，附加質(zhì)量矩采用4節(jié)點或10節(jié)點加載時，質(zhì)量矩計算誤差在0.1%以內(nèi).

2）就附加質(zhì)量矩施加位置而言，4節(jié)點、10節(jié)點加載與1節(jié)點、2節(jié)點加載相比，質(zhì)量矩計算誤差更小，即上下弦桿加載或全截面加載時，質(zhì)量矩計算誤差更小.

下面從力學角度對以上2種因素進行簡要分析.在簡化算法的推導過程中，得到一個結(jié)論：質(zhì)量矩均勻分布的懸臂梁模型在附加質(zhì)量矩前后，結(jié)構(gòu)的一階扭轉(zhuǎn)振型不變.然而對于鋼桁梁懸臂結(jié)構(gòu)，這個結(jié)論很難嚴格成立.

當懸臂鋼桁梁長細比較小時（L/D=10），無論附加質(zhì)量矩在何處加載，質(zhì)量矩計算誤差均較大.原因是懸臂鋼桁梁的長細比較小，其在扭轉(zhuǎn)時會發(fā)生翹曲，造成同一橫截面各節(jié)點扭轉(zhuǎn)角有明顯差異，平截面假定不再滿足，故附加質(zhì)量矩前后，很難保證它的一階扭轉(zhuǎn)振型嚴格不變.

未附加質(zhì)量矩時，懸臂鋼桁梁的剛度、質(zhì)量分布較合理，其一階扭轉(zhuǎn)振型為桁架斷面整體的扭轉(zhuǎn)變形，不會發(fā)生局部變形.附加質(zhì)量矩后，結(jié)構(gòu)剛度不變，質(zhì)量分布發(fā)生變化.對于工況一和工況二，附加質(zhì)量矩施加的位置處剛度比較小，可能導致結(jié)構(gòu)一階扭轉(zhuǎn)時發(fā)生局部變形，從而造成較大的計算誤差.對于工況三，附加質(zhì)量矩施加的位置處剛度比較大，結(jié)構(gòu)一階扭轉(zhuǎn)振型沒有局部變形.對于工況四，橫斷面各節(jié)點均附加質(zhì)量矩，同一斷面內(nèi)質(zhì)量分布均勻變化，結(jié)構(gòu)的一階扭轉(zhuǎn)振型沒有局部變形.

3.4 一階扭轉(zhuǎn)頻率對比

理論上，若懸臂鋼桁梁與懸臂單主梁滿足剛度、質(zhì)量（矩）、邊界條件等效，則兩者的頻率等動力特性參數(shù)應該基本相同.

這里，鋼桁梁長細比取L/D=55，附加質(zhì)量矩采用全截面加載.建立懸臂單主梁模型時，各節(jié)段（節(jié)段長度為8.4 m）質(zhì)量矩大小仍取為4.028×107 kg·m2，計算得到鋼桁梁豎向、側(cè)向的慣性矩分別為11.8 m4和230 m4，扭轉(zhuǎn)慣性矩為11.1 m4，計算不同的附加質(zhì)量矩下懸臂鋼桁梁和懸臂單主梁的一階扭轉(zhuǎn)頻率，計算結(jié)果見表4.這里，ΔIm表示鋼桁梁各節(jié)段的附加質(zhì)量矩大小，f桁表示懸臂鋼桁梁的一階扭轉(zhuǎn)頻率，f單表示懸臂單主梁的一階扭轉(zhuǎn)頻率.

需要說明的是，第一，質(zhì)量矩只影響扭轉(zhuǎn)有關(guān)頻率及振型，因此實際建模時，不需要沿梁長限制各節(jié)段的豎向和側(cè)向自由度，只需找到懸臂梁的一階扭轉(zhuǎn)頻率.第二，附加質(zhì)量矩不可太小或太大，若太小，附加質(zhì)量矩前后結(jié)構(gòu)頻率變化甚微，則公式（12）可能會造成較大的計算誤差；若太大，則可能導致質(zhì)量矩陣出現(xiàn)畸變，從而難以求解特征值.

4 工程應用實例

常見的大跨度懸索橋的鋼桁梁，各桿件截面沿梁跨變化不大，其質(zhì)量分布沿梁長可近似看作均勻分布，滿足該方法的適用條件.本文以洞庭湖二橋和矮寨大橋為例，來驗證該方法的有效性.

洞庭湖二橋為主跨為1 480 m的雙塔雙跨鋼桁架懸索橋，橋跨布置為（1 480+453.6） m，主梁全長為1 933.6 m.主橋主纜的孔徑布置為（460+ 1480+491） m，主纜垂垮比F/L=1/10，主索中心距為35.4 m，采用平面索布置.主梁是鋼桁梁，其有關(guān)信息與上面數(shù)值仿真分析中的鋼桁梁相同；主塔為門式框架橋塔，兩岸錨碇為重力式錨碇.矮寨大橋為主跨為1 176 m的單跨鋼桁架懸索橋，有關(guān)該橋的詳細信息可參見文獻[12]，這里不再詳述.

計算鋼桁梁質(zhì)量矩時，為減小計算誤差，采用全截面加載，懸臂梁跨度取原橋主梁全長，所使用單元類型與上文數(shù)值仿真分析中相同.所不同的是鋼桁架各桿件及橋面板的質(zhì)量矩不再采用mass21單元施加，而是按實際密度加以考慮，計算結(jié)果見表5.這里，ΔIm表示節(jié)間長度的桁梁所附加質(zhì)量矩大?。ǘ赐ズ蛑髁骸髽蛑髁旱墓?jié)間長度分別為8.4 m，7.25 m），fi表示懸臂鋼桁梁的一階扭轉(zhuǎn)頻率，Im表示節(jié)間長度的鋼桁梁質(zhì)量矩大小.需要說明的是，這里已驗證了附加質(zhì)量矩前后，懸臂鋼桁梁的一階扭轉(zhuǎn)振型未發(fā)生改變.這里給出了洞庭湖二橋加勁梁的懸臂梁模型在附加質(zhì)量矩前后的一階扭轉(zhuǎn)振型圖（圖8）.

理論上，懸索橋的全桁架模型和單主梁模型兩者計算的結(jié)構(gòu)動力特性基本上是一樣的.為驗證該方法計算得到的質(zhì)量矩的正確性，單主梁模型中的質(zhì)量矩參數(shù)采用該方法計算得到的數(shù)值，計算扭轉(zhuǎn)相關(guān)頻率，并與全桁架模型的計算結(jié)果對比，見表6.由表6知，本文方法計算得到的質(zhì)量矩準確度高.

5 結(jié) 論

本文討論了一種基于附加質(zhì)量矩前后結(jié)構(gòu)動力特性的變化計算鋼桁梁質(zhì)量矩的方法.

數(shù)值仿真結(jié)果表明：1）鋼桁梁的長細比L/D對質(zhì)量矩的計算有較顯著的影響，L/D≥20時，該方法計算的質(zhì)量矩有較高的精度.對于鋼桁梁簡支梁，其長細比L/D一般小于20，故此方法對計算鋼桁梁簡支梁的質(zhì)量矩有局限性.2）附加質(zhì)量矩的施加位置對質(zhì)量矩的計算結(jié)果有較顯著影響，當附加質(zhì)量矩均勻附加在全截面或上、下弦桿時計算精度更高.此外，附加質(zhì)量矩時，沿梁跨方向，要保證在鋼桁梁各節(jié)段處均勻附加扭轉(zhuǎn)質(zhì)量單元；沿橫斷面方向，要保證附加扭轉(zhuǎn)質(zhì)量單元左右對稱分布.

采用該方法分別得到了洞庭湖二橋和矮寨大橋加勁梁的質(zhì)量矩，并將該參數(shù)應用到單主梁模型中，計算了洞庭湖二橋的動力特性，并與全桁架模型的計算結(jié)果進行了對比.結(jié)果表明，兩者扭轉(zhuǎn)相關(guān)頻率基本相等，驗證了該方法的有效性.

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