從《射雕英雄傳》到“比例線段之和為1”

胡素芬

[摘 要] 在初三數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)該重視基本圖形的教學(xué). 應(yīng)通過系統(tǒng)的基本圖形教學(xué)，使學(xué)生有規(guī)律地把握幾何基礎(chǔ)知識(shí)，既培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力，又培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維、邏輯思維能力，并且培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維、創(chuàng)新思維能力，最終使學(xué)生形成嚴(yán)密的邏輯推理論證能力，為學(xué)生的終身學(xué)習(xí)和工作創(chuàng)造良好條件.

[關(guān)鍵詞] 基礎(chǔ)圖形；比例線段；同類題型；歸納整理

平行線分線段成比例定理是初三平面幾何的一個(gè)重要定理，它是研究相似圖形的最重要和最基本的理論，它一方面可以直接判定線段成比例，另一方面，當(dāng)不能證明要證的比例成立時(shí)，常用這個(gè)定理把兩條線段的比“轉(zhuǎn)化”成另兩條線段的比. 把平行線分線段成比例定理應(yīng)用在三角形上，就得到了定理的一個(gè)重要推論，這個(gè)推論是判定三角形相似的理論基礎(chǔ).

復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，學(xué)生經(jīng)常覺得上課學(xué)習(xí)平行線分線段成比例定理內(nèi)容很簡(jiǎn)單，但是做題時(shí)卻需要靈活應(yīng)用，很難；教師講述平行線分線段成比例定理的內(nèi)容很容易，但是試卷作業(yè)反饋效果卻不盡如人意. 究其原因，不是學(xué)生不用功——“怎么教都教不會(huì)”，也不是教師的專業(yè)水平不過關(guān)——“自己都不會(huì)怎么教學(xué)生”，而是對(duì)于基礎(chǔ)圖形以及基礎(chǔ)圖形的組合和變式的研究與拓展不夠重視.

看過電視劇《射雕英雄傳》的都知道，劇中有“東邪”“西毒”“南帝”“北丐”“中神通”五位武林高手，他們和平行線分線段成比例定理的教學(xué)也有某種聯(lián)系呢！

“中神通”——王重陽(yáng)

中神通王重陽(yáng)——“中央為土”：原名“王喆”，這姓名的兩個(gè)字皆為“土”形，“中央，色黃”：王重陽(yáng)既為道教大師，而道士用黃冠束發(fā)，因此又被稱作“黃冠”.

王重陽(yáng)少年時(shí)曾大舉義旗，與金兵對(duì)敵，但因不遺余力，動(dòng)用數(shù)千人力，歷時(shí)數(shù)年建成“活死人墓”，在其中暗藏器甲糧草，作為起事之根本. 由于將士傷亡殆盡，王重陽(yáng)憤而出家，自稱“活死人”. 后來生平勁敵林朝英在墓門智激王重陽(yáng)，二人化敵為友，攜手同闖江湖.

林朝英對(duì)王重陽(yáng)甚有情意，欲以身相許，但王重陽(yáng)以國(guó)事為重，不談私情， 兩人本已化敵為友，后來卻又因愛成仇，約在終南山比武決勝，斗了幾千招，始終難分勝負(fù).

最終，林朝英和王重陽(yáng)打賭，石頭上刻字，勝過王重陽(yáng)，逼迫他在出家為道士與跟她一起在古墓中長(zhǎng)相廝守之間作一選擇，但王重陽(yáng)寧愿把自己所建的古墓讓給她居住，自己另在古墓不遠(yuǎn)處蓋了全真觀，出家為道士，那就是重陽(yáng)宮. 而后道書讀得多了，大徹大悟，乃苦心潛修，功成丹圓后，前往山東布教，建立全真教，先后收馬鈺、孫不二、丘處機(jī)等七人為弟子，后世稱“全真七子”.

王重陽(yáng)得知林朝英在活死人墓中逝世，想起她一生對(duì)自己情癡，悲痛萬分，于是悄悄從密道進(jìn)墓，見到兩間石室頂上她遺刻的《玉女心經(jīng)》，招招克敵全真武功，后精研這《玉女心經(jīng)》的破法，終未成功.

后來武林奇書《九陰真經(jīng)》出現(xiàn)在江湖中，引起各路武林人士爭(zhēng)奪. 華山論劍，力壓四強(qiáng)，天下第一，王重陽(yáng)因此奪得《九陰真經(jīng)》. 他決意不練經(jīng)中功夫，但為好奇心所驅(qū)使，禁不住翻閱一遍. 一經(jīng)過目，思索上十余日，即已全盤豁然領(lǐng)悟，后回到活死人墓，在最隱秘處刻下《九陰真經(jīng)》的要旨，并一一指出破除玉女心經(jīng)之法.

王重陽(yáng)舊疾復(fù)發(fā)，為了在死后留下一個(gè)克制“西毒”歐陽(yáng)鋒之人，求段智興傳他“一陽(yáng)指”，以“先天功”作為交換，后來王重陽(yáng)假裝病死，以“一陽(yáng)指”破掉了歐陽(yáng)鋒的蛤蟆功，使得歐陽(yáng)鋒退回西域，王重陽(yáng)也在此之后逝去.

王重陽(yáng)和洪七公都有義舉，曾抗擊金兵，以國(guó)家為重，所以在五大常數(shù)中只有0和1供選擇，才有切實(shí)意義. 王重陽(yáng)的武功第一，緣于研究《玉女心經(jīng)》，奪得《九陰真經(jīng)》后，自己禁不住翻閱，有違當(dāng)初華山論劍不研習(xí)《九陰真經(jīng)》功夫之嫌，雖然沒傳授“全真七子”相關(guān)功夫，但是世界還算相對(duì)公平，黃藥師、洪七公、“一燈大師”都練過《九陰真經(jīng)》或運(yùn)用其療傷來恢復(fù)功力，歐陽(yáng)鋒也逆練《九陰真經(jīng)》，武功達(dá)到新高. 雖然在《射雕英雄傳》中，王重陽(yáng)已經(jīng)故去，對(duì)他的描寫只是殘存在部分人的回憶中，但是《九陰真經(jīng)》的江湖地位無人質(zhì)疑.

在日常教學(xué)中，提倡教師和學(xué)生尊重教材、分析教材、研究教材、整合教材、使用教材，同時(shí)強(qiáng)調(diào)“用教材教而非教教材”. 上教版的教材應(yīng)該是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)和出發(fā)點(diǎn). 以上海教育出版社出版的九年級(jí)第一學(xué)期數(shù)學(xué)書上第38頁(yè)例題7為例，來體現(xiàn)這套教材不輸于《九陰真經(jīng)》重要的江湖地位.

從這道課本例題出發(fā)我們發(fā)現(xiàn)，本題的結(jié)論中得到線段的比例之和為1. 聯(lián)想其他類似的簡(jiǎn)單練習(xí)，在煙波浩瀚的九年級(jí)數(shù)學(xué)幾何題海中“線段比例之和為1”的問題仿佛是閃閃發(fā)光的明珠，不僅熠熠生輝，而且隨處可見. 比較基礎(chǔ)而又有代表性的三個(gè)模型如下.

這三個(gè)基礎(chǔ)模型都是由非?；A(chǔ)的兩個(gè)“A字型”組合而成的組合圖形，這樣的基礎(chǔ)模型能夠啟發(fā)、鞏固、重現(xiàn)“求比例之和為1”的結(jié)論，究其解題根源，無非尋求合適的“A字型”比例線段，利用中間比過渡求和.

“東邪”——黃藥師

首先，這五大高手和五行有關(guān)，作者金庸在名字中都有暗示. “東為木”：黃藥師三字表面看來似乎有“草”無“木”，其實(shí)不然，金庸使用的是繁體字，“藥”字的正確寫法是“藥”，一根巨木，赫然在下.

“正中帶有七分邪，邪中帶有三分正”的人物，是“桃花島”的島主，亦是桃花島派武學(xué)創(chuàng)始人. “桃花影落飛神劍，碧海潮生按玉簫”是他一生武功的寫照，武功造詣非凡，為金庸小說中武功絕頂?shù)母呤种? 黃藥師上通天文，下曉地理，五行八卦、奇門遁甲、琴棋書畫，甚至農(nóng)田水利、經(jīng)濟(jì)兵略等亦無一不曉，無一不精.

近年來，作為人口導(dǎo)入大區(qū)，浦東的許多數(shù)學(xué)教育理念和做法都值得我們學(xué)習(xí)，接下來在2014年浦東二模卷第25題第（3）問中尋找“比例線段之和為1”.

2014年浦東新區(qū)二?？荚嚱Y(jié)束，對(duì)于這道壓軸題，有的學(xué)生愛它愛之深，有的學(xué)生恨它恨之切，正如世人對(duì)“桃花島主”的落英神劍、玉簫劍法、玉漏催銀劍和碧海潮生曲的復(fù)雜而糾結(jié)的情感一樣. 如今翻出各種解法細(xì)細(xì)品味，陳題多解，回味無窮！

“西毒”——?dú)W陽(yáng)鋒

“西毒”歐陽(yáng)鋒——“西為金”：“鋒”賴“金”利. 作為音樂家的歐陽(yáng)鋒，常備樂器不是吉他，而是鐵箏，仍是“金”制，“西，色白”；長(zhǎng)居白駝山，他本人、侄兒、部屬皆作白衣裝.

作為射雕時(shí)代中的頭號(hào)反派人物，只想武功天下第一，使用毒蛇、靈蛇杖法、蛤蟆功等，因逆練郭靖亂改的《九陰真經(jīng)》，第二次華山論劍中奪得天下第一，卻被黃蓉用計(jì)逼瘋，跟自己的影子打斗，接著離開華山，而瘋，后來與洪七公在華山比武. 洪七公之功由正轉(zhuǎn)逆，歐陽(yáng)鋒則反，由逆轉(zhuǎn)正，兩人內(nèi)力頓時(shí)合而為一，水乳交融，一人是在寒冷徹骨時(shí)，因?qū)Ψ絻?nèi)力傳來而如沐春風(fēng)，另一人是在全身炙熱時(shí)，接受對(duì)方內(nèi)力而頓感清涼，兩人當(dāng)下融為一幅“太極之圖”. 就在此刻，洪七公一躍而起，抱住歐陽(yáng)鋒，說“咱倆殊途同歸，最后變成哥倆好”. 歐陽(yáng)鋒霎時(shí)回光返照，心中一片澄明，與洪七公相擁大笑，兩人在笑聲中同時(shí)辭世.

在研究2015年徐匯一模試卷第22題的過程中看似跟“線段比例之和為1”無關(guān)，但是如果將此題進(jìn)行變式和拓展，不難發(fā)現(xiàn)又回到了“線段比例之和為1”問題上來.

試題再現(xiàn) 如圖9，MN經(jīng)過△ABC的頂點(diǎn)A，MN∥BC，AM=AN，MC交AB于點(diǎn)D，NB交AC于點(diǎn)E，連接DE.

（2）因?yàn)镈E∥BC，DE=1，BC=3，所

完成這道題目之后進(jìn)行反思，輕而易舉地發(fā)現(xiàn)如果此題的圖進(jìn)行一些微小的變化，就能尋覓“比例之和為1”的倩影，尤其是模型2將反復(fù)出現(xiàn)，同側(cè)三角形模型猶如江南水鄉(xiāng)的撐傘姑娘，渾身散發(fā)著美麗和芬芳.

回顧變式和拓展過程，就像第二次華山論劍，風(fēng)云變幻. 在完成最基本的任務(wù)后，教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行進(jìn)一步拓展、反思和小結(jié). “線段比例之和為1”如蛤蟆功，又如靈蛇拳法：手臂猶似忽然沒了骨頭，在許多看似沒有線段比例之和的問題中揭開問題的面紗也能發(fā)現(xiàn)線段比例之和為1的本質(zhì)，猶如變了一根軟鞭，打出后能在空中任意拐彎.

“南帝”——段智興

“南帝”，真名段智興，《天龍八部》中主角段譽(yù)的孫子，大理國(guó)的皇帝，后因故出家，法號(hào)“一燈”，出自《法華經(jīng)》：以一燈傳諸燈，終至萬燈皆明. “南為火”：一燈大師之“燈”待“火”點(diǎn)燃. 其秘技為“一陽(yáng)指”，而太陽(yáng)是最大的一個(gè)火球，“南，色赤”：“燈”與“陽(yáng)”皆作赤紅色.

第一次華山論劍，“東邪”“西毒”“南帝”“北丐”“中神通”五個(gè)人大戰(zhàn)七天七夜，全真教創(chuàng)始人“中神通”王重陽(yáng)奪得天下第一，天下武林奇書《九陰真經(jīng)》被王重陽(yáng)奪得，其目的是避免天下武林大亂. 為防自己死后無人能阻歐陽(yáng)鋒，而在第一次華山論劍的第二年來到大理，用先天功交換了段智興的“一陽(yáng)指”，卻不料，與王重陽(yáng)同來的老頑童和段智興深愛的妃子劉瑛有染，并誕下私生子. 不料某一日鐵掌幫幫主“鐵掌水上漂”裘千仞潛入皇宮并襲擊瑛姑之子，瑛姑因而向段智興求醫(yī)，而段智興本欲施救，待打開嬰兒襁褓時(shí)看到錦帕上刺著“鴛鴦織就欲雙飛”知道自己的皇妃心里仍惦記著周伯通，因而醋意大發(fā)，加上他即將要參加華山論劍，而救人將消耗大量功力，猶豫之間，未救而致其死亡，后因心懷愧疚，萬念俱灰之下段智興出家為僧，法號(hào)“一燈”.

后來黃蓉身受重傷來到一燈住處尋求救治，一燈大師為黃蓉療傷，因使用了含有“先天功”的“一陽(yáng)指”以致元?dú)獯髠?，后瑛姑來此尋? 郭靖假扮一燈擋住一刀后，瑛姑才覺悔意，后一燈出現(xiàn)，瑛姑則羞愧而遠(yuǎn)去，隨后與師弟一起翻譯了《九陰真經(jīng)》中總綱的梵文部分，也借助《九陰真經(jīng)》所載的療養(yǎng)法門，終得復(fù)原功力.

嘉定寶山無論在教育上，還是在教學(xué)中都勤于探索，積極改革，讓我們一起來欣賞2012年寶山一模第25題.

我們知道，互相垂直且有公共原點(diǎn)的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系，如果坐標(biāo)系中的兩條坐標(biāo)軸不垂直，那么這樣的坐標(biāo)系稱為“斜坐標(biāo)系”.

試題再現(xiàn) 如圖16，P是斜坐標(biāo)系xOy中的任意一點(diǎn)，與直角坐標(biāo)系相類似，過點(diǎn)P分別作兩坐標(biāo)軸的平行線，與x軸、y軸交于點(diǎn)M，N，若M，N在x軸、y軸上分別對(duì)應(yīng)實(shí)數(shù)a，b，則有序數(shù)對(duì)（a，b）叫做點(diǎn)P在斜坐標(biāo)系xOy中的坐標(biāo).

（1）如圖17，已知斜坐標(biāo)系xOy中，∠xOy=60°，試在該坐標(biāo)系中作出點(diǎn)A（-2，2），并求點(diǎn)O，A之間的距離；

（2）如圖18，在斜坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)B（4，0），點(diǎn)C（0，3），P（x，y）是線段BC上任意一點(diǎn)，試求x，y之間一定滿足的一個(gè)等量關(guān)系式；

（3）若問題（2）中的點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線上，其他條件不變，試判斷上述x，y之間的等量關(guān)系是否仍然成立，并說明理由.

不難看出，在這道題的解答過程中，“線段比例之和為1”這個(gè)結(jié)論再現(xiàn)江湖，無論點(diǎn)P的位置在線段BC上還是在線段BC的延長(zhǎng)線上都可以套用模型3，即三角形內(nèi)部模型來解決.

“北丐”——洪七公

“北丐”洪七公，“北為水”：七公姓“洪”，果見洪水滔滔. “北，色黑”：書中不曾描寫七公衣服顏色，但他作為丐幫老頭子，估計(jì)不管衣服原色為何，上身之后，必將改造成唯一色調(diào)：總是黑.

洪七公為丐幫幫主，為人正義且機(jī)智，生性貪吃，曾經(jīng)因貪吃誤事，自斷其右手食指，故也稱“九指神丐”，無論黑白兩道都十分敬重他. 在桃花島，洪、黃、歐陽(yáng)三人以音樂比試武功，島主吹簫，歐陽(yáng)彈箏，洪七公沒錢買樂器，只好鼓著兩片腮幫子作“仰天長(zhǎng)嘯”狀，實(shí)為艱苦樸素、廉潔自律之典范. 洪七公和藹正義，具有一切正派人物所應(yīng)具有的優(yōu)點(diǎn)，一直率領(lǐng)丐幫抗擊金兵，其獨(dú)門武學(xué)為“打狗棒法”及“降龍十八掌”.

洪七公一生最大的敵人為“西毒”歐陽(yáng)鋒，曾被其暗算多次，幾乎喪命. 晚年與歐陽(yáng)鋒于華山比武，兩人打了四日，總之是打得神困力倦，幾欲虛脫，斗過棍棒，休息了一下，兩人接著又比拼內(nèi)力，結(jié)果竟戰(zhàn)到兩個(gè)均已奄奄一息. 兩人隔天又開始比起了紙上談兵，比法是洪七公按招式逐一告訴楊過打狗棒法，楊過演給歐陽(yáng)鋒看，歐陽(yáng)鋒再思考破解的杖法，兩人拆解了三天，到第三日，歐陽(yáng)鋒已破解“打狗棒法”的前三十五路，而“打狗棒法”的第三十六路“天下無狗”，這一式則讓歐陽(yáng)鋒思考到一夜之間須眉盡白，似乎老了十多歲，這才將之破解. 后比試內(nèi)功，耗盡功夫，歐陽(yáng)鋒恢復(fù)記憶，兩人大笑，互相擁抱而逝.

丐幫為天下第一大幫，洪七公對(duì)外用“降龍十八掌”抗擊金兵，對(duì)內(nèi)用“打狗棒法”劫富濟(jì)貧，為人善良，就是面對(duì)“老毒物”遇到危險(xiǎn)差點(diǎn)被火燒，也冒著生命危險(xiǎn)去救他，滿滿的正能量. 以同樣2012年嘉定寶山二模卷第25題第（3）問為例，再現(xiàn)“比例之和為1”的精彩.

試題再現(xiàn) 如圖21，在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)P到∠ACB兩邊的距離相等，且PA=PB.

（1）先用尺規(guī)作出符合要求的點(diǎn)P（保留作圖痕跡，不需要寫作法），然后判斷△ABP的形狀，并說明理由.

（2）設(shè)PA=m，PC=n，試用m，n的代數(shù)式表示△ABC的周長(zhǎng)和面積.

同一年份同一批學(xué)生面對(duì)一模和二模的數(shù)學(xué)試卷時(shí)，如果能夠比較熟練地掌握“線段比例之和為1”的幾個(gè)基本模型，不僅能夠增加對(duì)壓軸題的了解和研究，還能夠在分析問題的時(shí)候披荊斬棘，能夠在解決問題的時(shí)候所向披靡.

以上海教育出版社的教材為“中神通”，挖掘課本上的例題和習(xí)題的教學(xué)作用和價(jià)值，抽象概括出基本模型，配合四道各個(gè)區(qū)縣的模擬考試題正如“東邪”“西毒”“南帝”“北丐”四位武林高手華山論劍，刀光劍影中凸顯“平行線分線段成比例定理”的教學(xué)價(jià)值和解題價(jià)值，輾轉(zhuǎn)騰挪間強(qiáng)化“線段比例之和為1”在數(shù)學(xué)范圍內(nèi)的應(yīng)用價(jià)值.

當(dāng)然，初中競(jìng)賽當(dāng)中毫無疑問各大杯賽是數(shù)學(xué)問題研究最具代表性的顏值擔(dān)當(dāng)，而“定倒數(shù)和問題”無疑是比較具有代表性的一類問題.

而這一類“定倒數(shù)和問題”通過添加平行線都能夠轉(zhuǎn)化成三類基本模型，根據(jù)符合模型的條件直接應(yīng)用模型的結(jié)論就可以順利解決問題. 就像“南帝”的“一陽(yáng)指”，看上去并沒有什么巨大威力，實(shí)際上一通則百達(dá)，掌握這一招，不僅能夠夯實(shí)基本技能的把握和基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固，而且可以沖出考綱在自招和競(jìng)賽中小試牛刀.

一個(gè)好的數(shù)學(xué)教學(xué)題材，能夠凸顯數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)地位，可以將數(shù)學(xué)知識(shí)遷移到其他學(xué)科；一個(gè)好的數(shù)學(xué)教學(xué)題材，會(huì)讓我們的備課過程苦心經(jīng)營(yíng)，會(huì)讓我們的數(shù)學(xué)課上得有聲有色，會(huì)讓學(xué)生聽得津津有味；一個(gè)好的數(shù)學(xué)教學(xué)題材，會(huì)讓教學(xué)效果事半功倍，會(huì)讓數(shù)學(xué)教學(xué)研究工作散發(fā)勃勃生機(jī).

在日常教學(xué)中，對(duì)同類型題的整理進(jìn)行一定的歸類整理，不需刻意過多，但是需要教師有一顆善于歸納整理的心，需要教師有一雙尋找、發(fā)現(xiàn)的眼睛. 對(duì)于教材中出現(xiàn)的經(jīng)典例題，歸其類，識(shí)其形，析其法，究其因，終將能得其果. 以一個(gè)個(gè)知識(shí)點(diǎn)為背景連成一串知識(shí)點(diǎn)，用一道道有代表性的例題串成一組組題組，這無疑是促進(jìn)學(xué)與教的一個(gè)有效、可行的途徑. 這樣既可以達(dá)到復(fù)習(xí)的效果，又可以提升解題能力.

正如《射雕英雄傳》的主題曲所唱：

問世間是否此山最高，

或者另有高處比天高，

在世間自有山比此山更高……