帶偏置點(diǎn)的繩系拖拽離軌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究*

劉賀龍，何英姿，談樹萍

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100194)

帶偏置點(diǎn)的繩系拖拽離軌系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)研究*

劉賀龍1，2，何英姿1，2，談樹萍1，2

(1.北京控制工程研究所，北京100190;2.空間智能控制技術(shù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京100194)

考慮空間拖船利用飛網(wǎng)/飛爪對空間殘骸捕獲結(jié)束后繩系拖拽系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性，開展了基于簡化的帶偏置點(diǎn)構(gòu)型的建模及仿真研究.首先，捕獲后的組合體包括空間拖船、系繩和空間殘骸，系繩在空間殘骸一端的牽掛點(diǎn)看作偏置點(diǎn)，給出相應(yīng)的的繩系拖拽系統(tǒng)構(gòu)型;其次，以降軌離軌過程為例，建立系統(tǒng)能量方程，并根據(jù)歐拉-拉格朗日方程給出系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)表達(dá)式并估算系繩張緊情況下的平衡點(diǎn);最后，設(shè)定離軌推力，在不同的初始角速度、系繩張緊或松弛以及不同松弛程度條件下，分析繩系拖拽離軌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.研究表明，空間殘骸小的初始角速度和張緊或略微松弛的系繩能夠保證安全離軌.

繩系拖拽;偏置點(diǎn);安全離軌;

0 引言

人類進(jìn)行太空探索活動(dòng)已將近60年，導(dǎo)致地球軌道上廢棄衛(wèi)星和殘骸的急劇增加空間環(huán)境惡化.由于軌道上物體高速運(yùn)動(dòng)，某些軌道上發(fā)生碰撞的危險(xiǎn)太高使其不再適于衛(wèi)星運(yùn)行，兩個(gè)星體的相撞將會導(dǎo)致數(shù)以千計(jì)的小的高速碎片，空間環(huán)境將進(jìn)一步惡化［1-2］.以GEO軌道為例，GEO軌道資源是極其寶貴且有限的［3］，理論上最多能容納1 800顆衛(wèi)星［4］，但隨著在軌運(yùn)行衛(wèi)星和廢棄衛(wèi)星的增多，該軌道也勢必變得更加擁擠，研究軌道清理的離軌技術(shù)具有重大的理論和實(shí)際意義.目前，研究人員已經(jīng)提出了幾種技術(shù)來實(shí)現(xiàn)對廢棄衛(wèi)星或殘骸的移除.

繩系技術(shù)是目前離軌技術(shù)中的一個(gè)分支，以往的研究多側(cè)重于繩系衛(wèi)星技術(shù)，包括子衛(wèi)星的釋放、回收和在軌保持等.繩系離軌技術(shù)的關(guān)鍵點(diǎn)在于利用不同的繩末端部件，如飛網(wǎng)［5］、在繩端的空間機(jī)器人［6］或單獨(dú)附著于空間殘骸上的系繩［3，7］等，滿足不同的任務(wù)和需求.例如，繩系拖拽的離軌技術(shù)可以清理軌道上的廢棄衛(wèi)星和部件;繩系衛(wèi)星變軌技術(shù)可以節(jié)約通訊衛(wèi)星的燃料;完成空間補(bǔ)給任務(wù)等.

目前，關(guān)于繩系衛(wèi)星在軌保持、釋放和回收的研究較多，關(guān)于繩系拖拽變軌/離軌的研究較少.Cho和McClamroch［8］提出了一種最優(yōu)變軌技術(shù)，作用于空間拖船上的連續(xù)推力用來實(shí)現(xiàn)在兩個(gè)圓軌道間的軌道轉(zhuǎn)移.針對小的連續(xù)常值推力的化學(xué)推進(jìn)繩系衛(wèi)星系統(tǒng)，Sun等［9］基于歐拉-拉格朗日方法，采用啞鈴構(gòu)型建立了繩系拖拽系統(tǒng)的模型，將推進(jìn)作用歸一化為繩系衛(wèi)星系統(tǒng)的推進(jìn)系數(shù)，詳盡分析推進(jìn)系數(shù)對繩系衛(wèi)星系統(tǒng)平衡點(diǎn)的影響，并利用分層滑模的設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)了系繩張力控制律，實(shí)現(xiàn)了變軌過程中對面內(nèi)擺角的抑制.Liu等［10］研究了GEO軌道上繩系拖拽離軌問題，將空間殘骸和空間拖船看作質(zhì)點(diǎn)，考慮系繩斷裂、空間拖船與空間殘骸碰撞和系繩纏繞等風(fēng)險(xiǎn)，著重研究了包含加速、平衡、旋轉(zhuǎn)和返回的四階段變軌策略.考慮空間殘骸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、系繩長度和初始角速度的影響，Aslanov［11］研究了通過系繩連接的空間殘骸與空間拖船組合體的動(dòng)力學(xué)問題，研究表明，若空間拖船推力的方向與系繩方向一致，且系繩保持張緊，那么離軌過程就是安全的.一般來說大氣阻力的影響在軌道高度300 km以上可以忽略不計(jì)，若空間殘骸相比空間拖船有較大的橫截面積，那么在空間拖船拖拽殘骸再入過程中，由于氣動(dòng)力作用空間殘骸將快速減速，兩者間可能會發(fā)生碰撞，在文獻(xiàn)［12］中，Aslanov設(shè)計(jì)了一種推力控制策略以避免碰撞.針對空間拖船和廢棄星的繩系組合體，考慮廢棄星上的彈性部件，如帆板的影響，文獻(xiàn)［13］研究了系繩振動(dòng)和帆板彈性模型的相互作用，給出了上述描述問題的數(shù)學(xué)模型，對其簡化模型的分析給出了針對特定廢棄星參數(shù)的系繩剛度特性的要求.

本文結(jié)合一個(gè)仿真算例，在水平拖拽過程中，對繩系拖拽系統(tǒng)進(jìn)行建模和動(dòng)力學(xué)分析，深入分析不同的任務(wù)星初始狀態(tài)及系繩的初始狀態(tài)對系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)演化的影響，分析目標(biāo)星相對系繩的姿態(tài)角，從定性的角度給出較文獻(xiàn)［11］更為寬泛的能夠保證拖拽任務(wù)安全的工作條件，并給出一些建設(shè)性的建議.文章安排如下:首先以繩網(wǎng)為例，對捕獲后的拖拽離軌系統(tǒng)進(jìn)行問題描述，其次，以軌道系為參考坐標(biāo)系建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程;然后分析不同的初始條件下空間殘骸相對系繩的擺角變化及系繩繩長的變化，給出能夠保證拖拽離軌過程安全的一些條件，給出捕獲系統(tǒng)的一些設(shè)計(jì)參考和建議.

1 空間拖拽問題描述

以ROGER項(xiàng)目［14］中飛網(wǎng)捕獲為例，空間殘骸被捕獲后構(gòu)型如圖1所示.

圖1 飛網(wǎng)捕獲空間殘骸Fig.1 Space debris captured by a net

收口完成后，飛網(wǎng)將包裹住空間殘骸，將飛網(wǎng)與空間殘骸看作一個(gè)整體，此時(shí)系繩與空間殘骸的連接點(diǎn)將等效成一個(gè)牽掛點(diǎn)，顯然，該點(diǎn)不在空間殘骸質(zhì)心，稱之為偏置點(diǎn).一般來說，該偏置點(diǎn)到空間殘骸質(zhì)心的距離在幾米的數(shù)量級，而空間拖船和空間殘骸間的系繩長度為幾十米的數(shù)量級，相較于傳統(tǒng)繩系衛(wèi)星研究中兩星之間千米數(shù)量級的距離，在本研究中需要考慮偏置點(diǎn)對拖拽過程的影響.繩網(wǎng)拖拽離軌過程可理解為升軌離軌和降軌離軌操作，以降軌離軌過程為例進(jìn)行研究，不考慮繩網(wǎng)拖拽系統(tǒng)的軌道運(yùn)動(dòng)，僅研究在拖拽過程中，空間殘骸相對系繩的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)及空間拖船與空間殘骸間的相對距離.

2 拖拽系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型

2.1 坐標(biāo)系定義

空間拖船-系繩-空間殘骸的構(gòu)型如圖2所示，圖3表示的是空間殘骸本體坐標(biāo)系到系繩坐標(biāo)系的姿態(tài)旋轉(zhuǎn).

圖2 繩系拖拽系統(tǒng)示意圖Fig.2 Configuration of tether tugging deorbiting system

圖3 姿態(tài)角定義Fig.3 Definition of Attitude

本研究中，H為空間拖船質(zhì)心，S為空間殘骸質(zhì)心，O為二者質(zhì)心.參考坐標(biāo)系Oxoyozo以O(shè)為原點(diǎn)，Oyo沿軌道面負(fù)法向，Ozo指向地心，Oxo沿組合體前進(jìn)方向，廣義坐標(biāo)定義為q1，2=x，y;繩系坐標(biāo)系Sxtytzt原點(diǎn)位于空間殘骸質(zhì)心，該坐標(biāo)系由Oxoyozo作旋轉(zhuǎn)α(2)→β(3)得來，括號內(nèi)代表旋轉(zhuǎn)軸順序，α，β分別描述繩系系統(tǒng)的面內(nèi)和面外擺角，空間拖船與空間殘骸質(zhì)心的距離SH=s.定義廣義坐標(biāo)q3=s，q4=α，q5=β，如圖2所示;空間殘骸本體坐標(biāo)系Sxyz按轉(zhuǎn)序ψ(1)→θ(2)→φ(1)得來，括號內(nèi)代表旋轉(zhuǎn)軸順序，定義廣義坐標(biāo)q6=ψ，q7=θ，q8=φ，詳見圖3.Oxoyozo到Sxtytzt的旋轉(zhuǎn)矩陣Cto= C3(β)C2(α);Sxtytzt到 Sxyz的旋轉(zhuǎn)矩陣 CBt= C1(φ)C2(θ)C1(ψ).空間殘骸本體相對Sxtytzt的角速度為

Sxtytzt相對Oxoyozo的角速度為

其中，E1=［1 0 0］Τ，E2=［0 1 0］Τ，E3=［0 0 1］Τ，那么，空間殘骸相對參考系Oxoyozo的角速度為:

系統(tǒng)質(zhì)心在參考系 Oxoyozo內(nèi)的坐標(biāo)表示為ρO=［x，y，0］Τ;

空間拖船質(zhì)心在參考系Oxoyozo內(nèi)的坐標(biāo)表示為，速度表示為

空間殘骸質(zhì)心在參考系Oxoyozo內(nèi)的坐標(biāo)表示為，速度表示為

其中，ηS=mS/(mS+mH)，ηH=mH/(mS+mH)，mS為空間殘骸質(zhì)量，mH為空間拖船質(zhì)量，定義空間殘骸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J=diag{Ix，Iy，Iz};定義繩網(wǎng)系統(tǒng)在空間殘骸上的附著點(diǎn)P為rPB=［a，b，c］Τ，在坐標(biāo)系 Oxoyozo內(nèi)，該點(diǎn)的坐標(biāo)描述為:rPO=rSO+系繩在 Oxoyozo內(nèi)表示為 l=rHP=rPO- rHO，系繩單位向量表示為

系繩繃緊時(shí)，作用于系繩上的張力大小表示為

其中，ct為彈性系數(shù)，kt為阻尼系數(shù)，l0為繩系初始長度，rHO為l的繩長.

2.2 動(dòng)力學(xué)方程

根據(jù)上節(jié)各表達(dá)式，組合體系統(tǒng)的總動(dòng)能:

本例中，系繩單位向量的方向始終與空間殘骸所施加力的方向相反.在參考系Oxoyozo中，由系繩產(chǎn)生的作用于空間拖船的力表示為FH=τul，系繩產(chǎn)生的作用于空間殘骸的力表示為FS=-FH=-τul;由變軌推力產(chǎn)生的作用于空間拖船的力F=［Fx，F(xiàn)y，0］Τ.由此，可計(jì)算出各廣義坐標(biāo)對應(yīng)的廣義力為

由歐拉-拉格朗日方程

即可得到繩網(wǎng)系統(tǒng)捕獲后，拖拽離軌過程中系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程.

本文重點(diǎn)考慮拖拽離軌過程中空間殘骸相對系繩的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)，討論不同初始工況下，系繩與空間殘骸是否會發(fā)生纏繞.由式(8)～(10)可以看出，給出系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)表達(dá)式將帶來非常繁重的數(shù)學(xué)推導(dǎo)工作，雖能給出一般的表達(dá)結(jié)論，但非常不利于研究分析.因此進(jìn)行簡化處理，假設(shè)空間殘骸是繞x軸的軸對稱體，即Ix≠Iy=Iz，網(wǎng)收緊后，偏置點(diǎn)在負(fù)x軸端，即b=c=0，初始時(shí)刻，系統(tǒng)處于水平拖拽狀態(tài)，無面外拖拽力，F(xiàn)x=F，F(xiàn)y=0，此時(shí)系統(tǒng)動(dòng)能表示為

廣義力表達(dá)式分別表示為Qx=F，Qy=0，Qα=0，Qβ=0，Qs=-ηSF+(s+acosθ)τ/l，Qφ=0，Qψ=0，Qθ=(saτsinθ)/l，此時(shí)繩長的表 達(dá) 式 l=降軌離軌過程中，繩網(wǎng)系統(tǒng)在空間殘骸上的附著點(diǎn)a＜0，此時(shí)θ的平衡點(diǎn)為0，面內(nèi)擺角α的平衡點(diǎn)也是0;若是升軌過程，繩網(wǎng)系統(tǒng)在空間殘骸上的附著點(diǎn)為a＞0，此時(shí)θ的平衡點(diǎn)為-π，面內(nèi)擺角的平衡點(diǎn)也是-π.

由以上廣義力的表達(dá)式可以看出，僅需考慮廣義坐標(biāo)s和θ的運(yùn)動(dòng).這里可以理解為:在簡化的拖拽模型中，我們僅關(guān)心任務(wù)星與空間殘骸的質(zhì)心距離和空間殘骸的俯仰角運(yùn)動(dòng).研究質(zhì)心間距的目的是探討拖拽過程中，任務(wù)星與空間殘骸是否會發(fā)生碰撞;根據(jù)空間殘骸姿態(tài)角的定義，研究其俯仰角的目的是探討空間殘骸是否會與系繩發(fā)生纏繞和切割行為，并進(jìn)一步分析拖拽過程是否安全.由歐拉-拉格朗日方程，給出如下形式的首次積分:

當(dāng)θ=0時(shí)，拖拽系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程表示為:

其中，ξ的表達(dá)式為:

以系繩張緊為例，在一般情況下，對式(14)～(15)的平衡點(diǎn)進(jìn)行分析.理想平衡狀態(tài)下，系繩長度看作定值，假設(shè) ˙φ=0，l≈s+acosθ，令可得或 sinθeq=0.令Γ=cosθeq，系統(tǒng)平衡點(diǎn)為

3 仿真分析

考慮系繩的彈性效應(yīng)和阻尼效應(yīng)，給定參數(shù)為: Ix=3 000 kg·m2，Iy=Iz=10 000 kg·m2，a=-2 m，b=c=0，mH=1 000 kg，mS=3 000 kg，彈性系數(shù)為ct=589 N/m，阻尼系數(shù)kt=104 N·s·m-1， F=-20 N.給定初始條件，空間拖船質(zhì)心到牽掛點(diǎn)初始距離l*0=50 m，若系繩張緊，那么在拖拽過程中，該距離表示為l，初始繩長l0=50 m，定義繩長偏差仿真結(jié)果如圖4所示.

圖4 初值為零條件下繩長偏差Fig.4 Tether length variation in zero initial condition

該仿真結(jié)果表明拖拽過程中，在初值為零條件下，彈性效應(yīng)導(dǎo)致系繩變長，阻尼效應(yīng)使得該形變的振幅隨時(shí)間越來越小，最終系繩阻尼效應(yīng)引起的系繩張力為零，系繩形變引起的張力大小為15 N，與|F|ηS的值一致;由拖拽系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程易知，空間殘骸的俯仰角相對系繩坐標(biāo)系將始終為0，表明在零初值條件下，拖拽降軌離軌過程是一個(gè)安全的過程.

下面討論不同非零初始條件下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.不同的初始條件意味著空間拖船不同的初始角速度、系繩張緊/松弛和不同松弛程度等.

Case A:系繩張緊，不同初始角速度

在系繩張緊的前提下，考慮到空間殘骸相對系繩坐標(biāo)系角速度的表達(dá)形式(1)，令，選取不同的值(仿真圖中示作ψ')，分別選取為= 0.05 rad/s，=0.071 6 rad/s，=0.09 rad/s，= 0.12 rad/s.此時(shí)，系統(tǒng)平衡點(diǎn)依次為θeq=0，θeq= 0.525 9 rad，θeq=0.999 7 rad，θeq=1.264 8 rad.仿真結(jié)果以線型對上述4種情況進(jìn)行區(qū)分，依次對應(yīng)實(shí)線、點(diǎn)劃線、虛線和點(diǎn)線.仿真結(jié)果如圖5～7所示.

圖5 質(zhì)心距離曲線—Case AFig.5 position of mass of center in Case A

圖6 繩長偏差曲線—Case AFig.6 Tether length variation in case A

圖7 俯仰角曲線—Case AFig.7 Pitch angle curve in Case A

Case B.系繩固定松弛長度，不同初始角速度

在系繩松弛的條件下，采用與A中一樣的初始條，繩長偏差初值=-2 m，仿真結(jié)果如圖8～10所示:

從圖8～10仿真結(jié)果可以看出，在系繩松弛條件下拖拽過程將表現(xiàn)的更加復(fù)雜，根本原因在于空間殘骸一直在自由漂浮與受迫運(yùn)動(dòng)間切換，但仍有一定的規(guī)律:從圖8～9可以看出，由于初始時(shí)刻系繩松弛，拖拽過程中，系繩松弛的長度在逐漸縮短;圖10表明，隨著初始時(shí)刻角速度的增大，拖拽過程中俯仰角的幅值也在增大，小的角速度初值對拖拽過程影響不大，若角速度初值達(dá)到一定范圍后，也會發(fā)生系繩與空間殘骸纏繞的危險(xiǎn)，不利于拖拽過程.

圖8 質(zhì)心距離曲線—Case BFig.8 Position of mass of center in Case B

圖9 繩長偏差曲線—Case BFig.9 Tether length variation in Case B

圖10 俯仰角曲線—Case BFig.10 Pitch angle curve in Case B

Case C.固定初始角速度，不同松弛長度

圖11 繩長偏差曲線—Case CFig.11 Tether length variation in Case C

圖12 俯仰角曲線—Case CFig.12 Pitch angle curve in Case C

Case C的仿真結(jié)果表明，在給定的初始條件下，當(dāng)系繩松弛長度逐漸增加時(shí)，在拖拽離軌過程中，繩長偏差仍可逐漸變小，俯仰角仍在一定范圍內(nèi)波動(dòng)，但隨著初始松弛長度的增加，擺角幅值急劇增大，篇外的試驗(yàn)表明，若再增加初始松弛長度，系繩將與空間殘骸發(fā)生纏繞，拖拽過程不再穩(wěn)定.

4 結(jié)論

本文開展了繩系拖拽系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模問題及仿真研究，這一類問題由飛網(wǎng)/飛爪捕獲系統(tǒng)簡化而來.捕獲后的組合體包括空間拖船、空間殘骸和系繩，在偏置點(diǎn)存在的條件下，分別給出各坐標(biāo)系的定義，給出組合體系統(tǒng)的動(dòng)能方程;針對一種簡化的拖拽情況，通過歐拉-拉格朗日方法建立了這種工況下姿態(tài)角和兩星質(zhì)心距離的運(yùn)動(dòng)方程;在空間拖船不同的初始角速度、初始系繩張緊/松弛和不同初始松弛程度條件下，研究了繩系拖拽系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)行為.研究表明，在系繩張緊或較小的松弛程度前提下，小的初始角速度能夠保證拖拽離軌過程是安全的.

根據(jù)簡化模型分析繩網(wǎng)拖拽離軌過程的研究結(jié)論，給出如下幾點(diǎn)建議:

首先，對空間殘骸采用繩或繩-網(wǎng)組捕獲前，應(yīng)大致確定空間殘骸角速度信息，以確認(rèn)該目標(biāo)能否直接捕獲，否則反向提出對空間拖船的任務(wù)需求;

其次，確認(rèn)空間殘骸的自旋軸，沿軸捕獲，并配合合適的部件，如萬向結(jié)，將極大程度上克服空間殘骸自旋導(dǎo)致的系繩扭轉(zhuǎn)問題，保證任務(wù)成功;

最后，確保繩或繩網(wǎng)釋放并捕獲后，系繩處于繃緊或略有松弛狀態(tài)，保證空間拖船與系繩在拖拽過程中不發(fā)生接觸或纏繞，例如在空間拖船一端增加卷揚(yáng)機(jī)構(gòu)用以控制繩長，同時(shí)也可以增加張力檢測裝置，通過控制系繩上的張力來穩(wěn)定空間殘骸與系繩的相對姿態(tài);考慮用網(wǎng)對空間殘骸進(jìn)行捕獲的情況，收口裝置應(yīng)將空間殘骸包裹的越緊越好，這樣將極大程度上避免系繩松弛.

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Dynamics of Tether Tugging Deorbiting System in the Presence of Offset

LIU Helong1，2，HE Yingzi1，2，TAN Shuping1，2
(1.Beijing Institute of Control Engineering，Beijing 100190，China; 2.Science and Technology on Space Intelligent Control Laboratory，Beijing 100194，China)

The dynamical characteristics of tether tugging deorbiting system after the capture by net or gripper are focused on.The modeling and simulation about a simplified configuration in the presence of offset are studied.The combination after capture consists of space tug，tether and space debris.A simplified configuration is proposed，whose attachment point of tether on space debris is viewed as a fixed offset.Then，taking the descending process as an example，the energy equation is given and the dynamic equations of the system are formulated based on Euler-Lagrange method.The equilibrium point is obtained under proper assumption that the tether is tight.At last，the dynamical characteristics of the system are analyzed with different initial angular velocities when tether is tight or slack.The results demonstrate that a safe deorbiting can be guaranteed when the initial angular velocity of the object satellite is small，and when the initial tether is either tight or slightly slack.

tether tugging;offset;safe deorbiting

V471+.6

A

1674-1579(2017)01-0042-07

10.3969/j.issn.1674-1579.2017.01.007

劉賀龍(1988—)，男，博士生，研究方向?yàn)榭臻g操作;何英姿(1970—)，女，研究員，研究方向?yàn)榭刂评碚撆c控制工程;談樹萍(1978—)，女，高級工程師，研究方向?yàn)榭刂评碚撆c控制工程.

*國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61304037).

2016-00-00