微積分學(xué)的初等化問題分析

西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)(710072) 李子研 ●

微積分學(xué)的初等化問題分析

西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)(710072) 李子研 ●

微積分作為高中數(shù)學(xué)中的組成內(nèi)容，如何從新的視角對(duì)其初等化進(jìn)行研究，是值得我們要探索的一個(gè)重要課題．本文基于函數(shù)和導(dǎo)數(shù)，利用不等式來對(duì)微積分基本定理進(jìn)行驗(yàn)證．

微積分;初等化;導(dǎo)函數(shù);新視角

微積分在數(shù)學(xué)發(fā)展史上有著非常久遠(yuǎn)的歷史，從正式作為數(shù)學(xué)學(xué)科分支之一開始到現(xiàn)在，其誕生了許多定理與公式．近幾年，有關(guān)微積分的初等化研究逐漸吸引人們注意，利用數(shù)學(xué)中的初等內(nèi)容對(duì)微積分進(jìn)行研究成為一個(gè)嶄新的研究點(diǎn)．

一、定積分的初等定義及微積分初等化研究的新視角

(1)定積分的初等定義

關(guān)于定積分的定義，跳出極限概念范疇，從數(shù)學(xué)初等內(nèi)容對(duì)定積分定義進(jìn)行理解，相較起來，初等定義要比極限定義更加簡(jiǎn)單明了，這也是微積分初等化研究所具有價(jià)值的一個(gè)體現(xiàn)．對(duì)定積分進(jìn)行初等化定義，假設(shè)f(x)在某一區(qū)間上有定義，若有一個(gè)二元函數(shù)，它同時(shí)滿足非負(fù)性與可加性條件，則可以稱該二元函數(shù)f(x)是在這一區(qū)間上的一個(gè)積分系統(tǒng)．若積分系統(tǒng)唯一，則任意子區(qū)間端點(diǎn)值所對(duì)應(yīng)的二元函數(shù)解，即為f(x)在這一子區(qū)間上的定積分，通常記作在上面的定義中，完全沒有用到極限的概念，定義表述簡(jiǎn)單易懂，對(duì)于高中學(xué)生來說，要相對(duì)容易掌握，這樣對(duì)于微積分知識(shí)的學(xué)習(xí)也變得相對(duì)容易些．

(2)微積分初等化研究的新視角

從幾何意義上對(duì)數(shù)學(xué)中的定積分進(jìn)行理解不難發(fā)現(xiàn)，一個(gè)定義在［a，b］上的函數(shù)f(x)在某一區(qū)間［m，n］上的積分，其實(shí)就是該函數(shù)與x軸和直線x=m、x=n之間圍起來所得到的區(qū)域面積．根據(jù)這一特性分析，假設(shè)將［a，x］所圍曲邊梯形面積記為F(x)，并將其折合成同等大小的矩形，那么矩形的高就在該區(qū)間內(nèi)某兩點(diǎn)p、q所對(duì)應(yīng)函數(shù)值之間，進(jìn)而有不等式()f q．該不等式的成立為微積分初等化的研究提供了全新的視角，使人們可以嘗試通過不等式來對(duì)微積分相關(guān)問題進(jìn)行研究，降低微積分學(xué)習(xí)難度．

二、微積分的初等化研究方法

(1)分析不同意義下的導(dǎo)數(shù)基本性質(zhì)

在高等數(shù)學(xué)中，導(dǎo)數(shù)分為一致可導(dǎo)，加強(qiáng)可導(dǎo)等類型，不同類型下的導(dǎo)數(shù)所表現(xiàn)出的基本性質(zhì)不盡相同，而導(dǎo)數(shù)具備怎樣的基礎(chǔ)性質(zhì)，直接關(guān)系著微積分初等化的研究效率、研究成果與研究方向．所以我們?cè)趯?duì)大學(xué)高數(shù)微積分進(jìn)行初等化研究時(shí)，首先應(yīng)分析不同意義(即一致可導(dǎo)和加強(qiáng)可導(dǎo))下的導(dǎo)數(shù)基本性質(zhì)．

對(duì)一致可導(dǎo)函數(shù)，通過命題假設(shè)和借助相關(guān)定義、定理分析其基本性質(zhì)，得到一致可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)具有唯一性;所得到的導(dǎo)數(shù)若符號(hào)不變，則表明原函數(shù)單調(diào);若導(dǎo)數(shù)為強(qiáng)可導(dǎo)，則也一致可導(dǎo);兩個(gè)原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)相等則兩者之間僅相差一個(gè)常數(shù);一致可導(dǎo)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)具有一致連續(xù)性和第一單調(diào)性．對(duì)加強(qiáng)可導(dǎo)函數(shù)分析其導(dǎo)數(shù)基本性質(zhì)得到，其導(dǎo)數(shù)具有唯一性，第一單調(diào)性;導(dǎo)數(shù)符號(hào)不變則原函數(shù)單調(diào)，導(dǎo)數(shù)相等的原函數(shù)之間僅差一常數(shù)．

(2)微積分基本定理推導(dǎo)驗(yàn)證

微積分基本定理是我們學(xué)習(xí)微積分所必須掌握的一個(gè)重要定理，掌握該定理是我們解決微積分相關(guān)問題的必要條件之一．根據(jù)上文分析所了解到的導(dǎo)數(shù)基本性質(zhì)，從初等角度對(duì)微積分基本定理進(jìn)行推導(dǎo)驗(yàn)證，一方面降低微積分基本定理的理解與學(xué)習(xí)難度，一方面幫助我們對(duì)其較為容易的理解和掌握，并為微積分的初等化研究提供資料與參考．假設(shè)A是區(qū)間［a，b］上包含常數(shù)函數(shù)的一些函數(shù)的集合，其內(nèi)的每個(gè)函數(shù)f與該區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)數(shù)m、n構(gòu)成集合J={f，m，n}．若J到實(shí)數(shù)集R的映射S(f，m，n)滿足一定條件(多個(gè)條件之間并不相互獨(dú)立，可能由其中幾個(gè)條件推導(dǎo)出另外的條件)，則可稱實(shí)數(shù)S是函數(shù)f在［m，n］上的定積分，幾何意義就是圍成的曲邊梯形面積．JF={S，H，J}則為該區(qū)間上的一個(gè)積分空間．假設(shè)JF ={S，H，J}，是區(qū)間［a，b］上的一個(gè)積分空間，函數(shù)f在該積分空間內(nèi)，則f為強(qiáng)連續(xù)函數(shù)，并有F(x)=S(f，a，x)=經(jīng)證明，F(xiàn)為一致可導(dǎo)函數(shù)，且其導(dǎo)數(shù)與f相等成立．

利用上述兩定義，對(duì)微積分基本定理進(jìn)行推導(dǎo)和驗(yàn)證．設(shè)JF={S，H，J}是區(qū)間［a，b］上的一個(gè)積分空間，強(qiáng)連續(xù)函數(shù)f在這一積分空間內(nèi)，在這一條件下，若區(qū)間內(nèi)有一可導(dǎo)函數(shù)F，其導(dǎo)數(shù)與強(qiáng)連續(xù)函數(shù)f相等，則有F(b)這是通常的、習(xí)慣的定積分寫法．用本文所描述定義的形式對(duì)這一式子進(jìn)行表示就是F(b)－F(a)=S(f，a，b)，該式即為微積分基本定理．根據(jù)上面假設(shè)，對(duì)微積分基本定理進(jìn)行證明．假設(shè)P(x)=S(f，a，x)，由上得P的導(dǎo)數(shù)等于f，而P與F之間相差一個(gè)常數(shù)，所以上面假設(shè)所得出的微積分基本定理是成立的．在這一推導(dǎo)證明過程中，并沒有用到極限概念，只運(yùn)用了導(dǎo)數(shù)基本性質(zhì)與強(qiáng)連續(xù)函數(shù)的定義，不僅推導(dǎo)過程得到了一定簡(jiǎn)化，而且結(jié)果可以得到較好的驗(yàn)證．由此可見，微積分的初等化具有巨大研究?jī)r(jià)值．

［1］鄭晨．大學(xué)一年級(jí)學(xué)生利用微積分解決實(shí)際問題能力的調(diào)查研究［D］．東北師范大學(xué)，2010．

［2］宋華．夏鸞翔對(duì)微積分的學(xué)習(xí)與使用——《萬象一原》內(nèi)容分析［D］．內(nèi)蒙古師范大學(xué)，2013．

［3］張景中．微積分學(xué)的初等化［J］．華中師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2006，04:475－484+487．

［4］焦彬橋．高中微積分課程內(nèi)容選擇的探索［D］．廣西師范大學(xué)，2014．

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