“用兩條腿走路”學(xué)好勾股定理

湖北省鄂州市第五中學(xué)(436000) 孫孝娥 ●

“用兩條腿走路”學(xué)好勾股定理

湖北省鄂州市第五中學(xué)(436000) 孫孝娥 ●

數(shù)學(xué)中的定理是數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的高度抽象總結(jié)，對(duì)于同學(xué)來(lái)說(shuō)晦澀難懂，同樣對(duì)于老師來(lái)說(shuō)教學(xué)難度大．勾股定理作為初中數(shù)學(xué)幾何中的重點(diǎn)內(nèi)容，是歷來(lái)考試的重點(diǎn)和難點(diǎn)．我們發(fā)現(xiàn)單純的理解定理的內(nèi)容只能應(yīng)用相對(duì)簡(jiǎn)單的題型，基于勾股定理考查變式多，與其他內(nèi)容結(jié)合方式廣的特點(diǎn)，要求同學(xué)們?cè)诶斫舛ɡ淼耐瑫r(shí)，更應(yīng)掌握定理的變式，培養(yǎng)觀察和識(shí)別定理應(yīng)用要件的能力，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)換和構(gòu)建符合定理應(yīng)用的邏輯思維．要做到以上這幾點(diǎn)，就要求同學(xué)們學(xué)會(huì)“用倆條腿走路”，即從正反倆方面理解勾股定理，切實(shí)的掌握勾股定理及其逆定理的相關(guān)內(nèi)容．

一、邁出第一步，理解勾股定理

勾股定理的總結(jié)源于對(duì)生活現(xiàn)象的好奇與理解，它科學(xué)地歸納了直角三角形三條邊的數(shù)學(xué)關(guān)系——兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方．這就為求解與直角三角形相關(guān)的數(shù)學(xué)模型中的角度和邊長(zhǎng)提供了一種具體可行的方法．

例1 估算大樓的高度．張同學(xué)放飛一支風(fēng)箏，當(dāng)風(fēng)箏飛到大樓的高度時(shí)，他發(fā)現(xiàn)自己恰好距離大樓約40米，收線后經(jīng)過(guò)測(cè)量風(fēng)箏線已經(jīng)被放出了為50米．請(qǐng)估算大樓的高度．

分析 根據(jù)題目的內(nèi)容可以將以上情形構(gòu)建為一個(gè)簡(jiǎn)單的直角三角形模型，如圖1所示，則AB=50米，AC= 40米，求的大樓的高度為BC．根據(jù)勾股定理可得:AB2= AC2+BC2所以BC2=AB2－AC2=502－402=900，BC即大樓的高度約為30米．

在直角三角形這個(gè)模型框架中，由于勾股定理是對(duì)直角三角形特性的進(jìn)一步剖析和總結(jié)，所以可以直接利用勾股定理來(lái)解決問(wèn)題．掌握勾股定理的實(shí)質(zhì)是學(xué)習(xí)這個(gè)定理的基礎(chǔ)，有助于接下來(lái)應(yīng)對(duì)直角三角形的證明、求解邊的長(zhǎng)度等系列問(wèn)題．

二、踏下第二步，掌握勾股定理逆定理

勾股定理的逆定理．它的意義是如果三角形中兩條邊的平方和等于另一邊的平方，那么可證這個(gè)三角形為直角三角形．它是利用一個(gè)三角形中三條邊的數(shù)學(xué)關(guān)系來(lái)證明這個(gè)圖形的屬性．這就為一個(gè)圖形是否為直角三角形的證明問(wèn)題提供了一種新的解題思路．

例2 已知△ABC的三個(gè)邊分別為AB，BC，AC，三個(gè)邊滿足以下的數(shù)量關(guān)系:AB+BC=7，AB·BC=12，AC= 5，判斷三角形的形狀．

分析 由(AB+BC)2=AB2+BC2+2AB·BC=72，解得AB2+BC2=25．又因?yàn)锳C2=25，所以AB2+BC2=AC2，滿足勾股定理的逆定理，說(shuō)明△ABC為直角三角形．

在任意三角形的模型框架中，勾股定理的逆命題可以準(zhǔn)確地用于識(shí)別三角形的形狀．同時(shí)將數(shù)學(xué)關(guān)系與幾何圖形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，為解題提供了新的思路．例2中利用代數(shù)關(guān)系的運(yùn)算，結(jié)合勾股定理的逆定理的證明，判斷出了三角形的形狀，將逆定理學(xué)以致用．對(duì)逆命題的充分掌握同時(shí)也有利于對(duì)原命題的理解，更重要的是逆命題在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，有著與原命題不分伯仲的作用．

三、“用兩條腿走路”，應(yīng)對(duì)幾何難題

實(shí)際教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)在考試對(duì)題目的考查更加注重對(duì)知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，所以勾股定理及其逆定理在解題時(shí)往往同時(shí)被使用，正所謂缺一不可．正是由于勾股定理及其逆定理構(gòu)建起的代數(shù)和幾何的有機(jī)關(guān)系，在解題的過(guò)程中可以綜合地運(yùn)用代數(shù)中的相關(guān)運(yùn)算法則，為解題提供了新的思路．可見(jiàn)勾股定理及其逆定理在應(yīng)用中是相輔相成的關(guān)系．

例3 在四邊形 ABCD中，AB=3，AD=4，∠DAB= 90°，BC=12，CD=13，求四邊形的面積．

分析 如圖所示，連接DB，在Rt△ABD中，AB=3，AD=4，∠DAB=90°，根據(jù)勾股定理可得:BD2=AD2+AB2=32+42=25，DB=5．在△CBD中，DB=5，BC=12，CD=13．具有數(shù)學(xué)關(guān)系:132= 122+52，滿足勾股定理的逆定理，則△CBD為直角三角形．所以Rt△ABD的面積S1為的面積S2為，四邊形ABCD的面積為S+S12=36．

如上題所示的不規(guī)則圖形的面積計(jì)算問(wèn)題，計(jì)算的思路是將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為可以利用公式計(jì)算的規(guī)則圖形．在輔助線的幫助下，實(shí)現(xiàn)了圖形的轉(zhuǎn)化．利用勾股定理及其逆定理將多邊圖形面積的計(jì)算轉(zhuǎn)化為兩個(gè)直角三角形的面積計(jì)算，簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程．可見(jiàn)在一些題目中勾股定理及其逆定理在運(yùn)用中是相互促進(jìn)的．

綜上所述，勾股定理是一條形式簡(jiǎn)單，但內(nèi)涵豐富的定理，要想充分地理解定理的實(shí)質(zhì)，需要老師引導(dǎo)學(xué)生從定理的“正反”倆面來(lái)對(duì)定理進(jìn)行透徹地理解，學(xué)會(huì)“用兩條腿走路”，哪一面理解的不透徹，都會(huì)導(dǎo)致學(xué)習(xí)中“坡腳”現(xiàn)象的發(fā)生．當(dāng)然在充分理解定理的基礎(chǔ)上，更應(yīng)該學(xué)會(huì)運(yùn)用勾股定理及其逆定理，這需要老師引導(dǎo)學(xué)生增強(qiáng)圖形轉(zhuǎn)化、運(yùn)算轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的綜合思考能力，做到以應(yīng)用促理解，以理解化難題．可見(jiàn)只有“兩條腿”協(xié)同作用，我們才能在應(yīng)對(duì)難題中步步為營(yíng)．

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