利“刃”在手 化“折”成“直”
——例析坐標(biāo)系中三角形周長最小值問題

浙江省紹興市上虞區(qū)竺可楨中學(xué)(312352) 徐 駿 ●

利“刃”在手 化“折”成“直”
——例析坐標(biāo)系中三角形周長最小值問題

浙江省紹興市上虞區(qū)竺可楨中學(xué)(312352) 徐 駿 ●

在近幾年的各地中考中，與線段相關(guān)的最值問題頻頻出現(xiàn)，已然成為一道亮麗的風(fēng)景線．而其中以平面直角坐標(biāo)系為載體來設(shè)計(jì)三角形周長最小值問題，更是中考命題所關(guān)注的熱點(diǎn)之一．本文以近幾年中考題為例，歸納其類型與解法，供參考．

1．三角形的三個(gè)頂點(diǎn)中僅有一個(gè)頂點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)

例1 (2015年河南省，有改動(dòng))如圖1，邊長為8的正方形OABC的兩邊在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)C為頂點(diǎn)的拋物線經(jīng)過點(diǎn)A，點(diǎn)P是拋物線上點(diǎn)A、C間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(含端點(diǎn))，過點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F．點(diǎn)D、E的坐標(biāo)分別為(0，6)，(－4，0)，連接PD，PE，DE．是否存在點(diǎn)P，使△PDE的周長最小?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在，請(qǐng)說明理由．

如圖2，過E點(diǎn)作EG⊥BC于點(diǎn)G．當(dāng)E，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，即點(diǎn)P為EG與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，EP+PF的值最小，此時(shí)，所以△PDE周長最小時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－4，6)．

點(diǎn)評(píng) 本例三角形的三個(gè)頂點(diǎn)中，點(diǎn)P為動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D、E均為定點(diǎn)．由于DE的長為定值，欲使△PDE的周長最小，只需滿足PD+PE的值最小即可．進(jìn)而利用“點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過程中，PD與PF的差為定值”這一有力武器，將問題轉(zhuǎn)化為“求定直線BC上一動(dòng)點(diǎn)F與直線外一定點(diǎn)E的距離的最小值”，最終借助“連結(jié)直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”確定點(diǎn)P的位置．

例2 (2012年山西省，有改動(dòng))如圖3，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=－x2+2x+3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是該拋物線的頂點(diǎn)．請(qǐng)?jiān)谥本€AC上找一點(diǎn)M，使△BDM的周長最小，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．

分析 易知A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，D(1，4)，故直線AC的解析式為y= 3x+3．

如圖4，作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接B'D，交AC于點(diǎn)M，則△BDM即為符合題意的周長最小的三角形．(證明如下:不妨在直線AC上取異于點(diǎn)M的任一點(diǎn)M'，連接B'M'，DM'，BM'．由對(duì)稱性可知:BM=B'M，BM' =B'M'，于是△BDM的周長=B'M+DM+BD，△BDM'的周長=B'M'+DM'+BD．而在△B'DM'中，B'M'+DM'＞B'D，即B'M'+DM'＞B'M+DM，所以△BDM'的周長大于△BDM的周長．)

若BB'交AC于點(diǎn) E，則∠ABE=90°－∠CAO=∠ACO，BB'=2BE=2AB·cos∠ABE=2AB·cos∠ACO=2

過B'點(diǎn)作B'F⊥x軸于點(diǎn)F，則xB'=3－BF=3－BB'故，易求直線B'D的解析式為

點(diǎn)評(píng) 本例三角形的三個(gè)頂點(diǎn)中，點(diǎn)M為動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)B、D均為定點(diǎn)，且均位于動(dòng)點(diǎn)M所在直線AC的同一側(cè)．通過尋找定點(diǎn)B關(guān)于動(dòng)點(diǎn)M所在直線AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，將問題轉(zhuǎn)化為“求定直線AC上一動(dòng)點(diǎn)M與直線異側(cè)兩定點(diǎn)B'，B的距離和的最小值”，從而可利用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”加以解決(當(dāng)B'、M、D三點(diǎn)共線，即點(diǎn)M為直線B'D與直線AC的交點(diǎn)時(shí)，DM+BM的值最小，此時(shí)△BDM的周長最小)．

2．三角形的三個(gè)頂點(diǎn)中有兩個(gè)頂點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)

例3 (2013年湖南張家界，有改動(dòng))如圖5，拋物線y =ax2+bx+c(a≠0)過點(diǎn)C(0，1)，頂點(diǎn)為Q(2，3)，點(diǎn)D在x軸正半軸上，且OD=OC．將直線CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn)E，若點(diǎn)P是線段QE上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段OD上的動(dòng)點(diǎn)，問:在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動(dòng)過程中，△PCF的周長是否存在最小值?若存在，求出這個(gè)最小值;若不存在，請(qǐng)說明理由．

分析 存在．理由:如圖6，分別作點(diǎn) C關(guān)于直線QE，x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'，C″，連接C'C″，交OD于點(diǎn)F，交QE于點(diǎn)P，則△PCF即為符合題意的周長最小的三角形，此時(shí)△PCF的周長等于線段C'C″的長．(證明如下:不妨在線段OD上取異于點(diǎn)F的任一點(diǎn)F'，在線段QE上取異于點(diǎn)P的任一點(diǎn)P'，連接CF'，CP'，F(xiàn)'P'，F(xiàn)'C″，P'C'．由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知△P'CF'的周長=F'C″+F'P'+P'C'，而F'C″+F'P'+P'C'的值為折線段C'－P'－F'－C″的長，由兩點(diǎn)之間線段最短可知 F'C″+F'P'+P'C'＞C'C″，即△P'CF'的周長大于△PCF的周長．)

如圖6，過點(diǎn)Q作QG⊥y軸于點(diǎn)G，過點(diǎn)C'作C'H⊥y軸于點(diǎn)H，則△CGQ∽△CHC'，可得即，所以CH=C'H=4，C″H=CH+CC″=6．

所以，在P點(diǎn)和F點(diǎn)移動(dòng)過程中，△PCF的周長存在最小值，最小值為

點(diǎn)評(píng) 本例三角形的三個(gè)頂點(diǎn)中，點(diǎn)C為定點(diǎn)，點(diǎn)P、F均為動(dòng)點(diǎn)，且分別在定直線QE、OD上，通過尋找定點(diǎn)C關(guān)于兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)所在直線的對(duì)稱點(diǎn)C'、C″，就得到由三條與△PCF三邊分別相等的線段組成的折線，然后借助“兩點(diǎn)之間線段最短”化“折”成“直”(當(dāng)C'、P、F、C″四點(diǎn)共線，即點(diǎn)P、F分別為直線QE、OD與直線C'C″的交點(diǎn)時(shí)，△PCF的周長最小)．

3．三角形的三個(gè)頂點(diǎn)都是動(dòng)點(diǎn)

例4 (2015年遼寧沈陽，有改動(dòng))如圖7，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于B、C兩點(diǎn)(點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)A．若點(diǎn)P是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合)，點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)Q不與點(diǎn)A、B重合)，點(diǎn)R是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)R不與點(diǎn)A、C重合)，請(qǐng)直接寫出△PQR周長的最小值．

分析 易求A(0，2)，B(－3，0)，C(1，0)，故AB=

如圖9，分別作點(diǎn)P關(guān)于直線AB，AC的對(duì)稱點(diǎn)P'， P″，連接P'P″，交AB于點(diǎn)Q，交AC于點(diǎn)R，則△PQR是過點(diǎn)P的△ABC的內(nèi)接三角形中周長最小的三角形，且△PQR的周長等于線段P'P″的長．

若PP'交AB于點(diǎn)D，PP″交AC于點(diǎn)E，連接DE，則∠ADP=∠AEP=90°，DP=DP'，EP=EP″，故P'P″=2DE．

延長DF交⊙F于點(diǎn)G，連接GE，則∠DEG=90°，∠BAC=∠DGE，所以△PQR的周長=P'P″=2DE=2DG ·sin∠DGE=2AP·sin∠BAC≥2AO·sin∠BAC=2×2×

如圖10，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，△PQR的周長最小，最小值

點(diǎn)評(píng) 本例三角形的三個(gè)頂點(diǎn)均為動(dòng)點(diǎn)，應(yīng)采取“以退為進(jìn)”的策略，即:先假設(shè)P點(diǎn)的位置已經(jīng)確定(即視點(diǎn)P為一定點(diǎn))，容易得出結(jié)論:待求三角形周長最小時(shí)，其周長等于線段P'P″的長，然后繼續(xù)探究點(diǎn)P的位置后，發(fā)現(xiàn)線段P'P″長度的最小值即為點(diǎn)A到x軸的距離．因?yàn)锳P'=AP=AP″，∠P'AP″=2∠BAC，所以△AP'P″為等腰三角形，且其頂角∠P'AP″為定值．由于本例對(duì)解答過程不作要求，也可以根據(jù)“頂角為定值的等腰三角形底邊長的最小值由腰長的最小值來確定”這一經(jīng)驗(yàn)來判定點(diǎn)P的位置．然而，對(duì)該例的思考卻不止于此，我們還可以再進(jìn)一步探索BR和AC，CQ和AB的位置關(guān)系．參考本例分析問題的方法，我們可以得出這樣的結(jié)論:AP，BR，CQ為銳角三角形ABC的三條高，以P，Q，R三個(gè)垂足為頂點(diǎn)的三角形即為周長最小的內(nèi)接三角形．證明留待讀者自行完成．

通過上述問題的探究，我們可以發(fā)現(xiàn)，解決此類問題通常可以采取的策略是:把已知問題轉(zhuǎn)化成容易解決的問題，即關(guān)聯(lián)我們熟知的幾何基本模型，構(gòu)造一條以動(dòng)點(diǎn)為轉(zhuǎn)折點(diǎn)的折線，從而為性質(zhì)的運(yùn)用創(chuàng)造條件．如:解答例1時(shí)，需分析點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)的過程中保持不變的關(guān)系，將問題轉(zhuǎn)化為“求定直線上一動(dòng)點(diǎn)與直線外一定點(diǎn)的距離的最小值”問題，然后利用“垂線段最短”把折線化“折”成“直”．解答例2，例3時(shí)，則需牢牢抓住圖形的幾何特征，將問題轉(zhuǎn)化為“求定直線上一動(dòng)點(diǎn)與直線外兩定點(diǎn)的距離之和的最小值”問題，借助軸對(duì)稱變換使兩定點(diǎn)與定直線的位置關(guān)系發(fā)生改變，即化“同”為“異”，最后利用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”或“兩點(diǎn)之間線段最短”把折線化“折”成“直”．例4題目的背景看似復(fù)雜，但圖形上似乎可以捕捉到上述兩個(gè)幾何基本模型的“影子”，認(rèn)清了這一點(diǎn)，便能使復(fù)雜問題簡單化，迅速找到問題的突破口．在平面幾何的教學(xué)中，教師要重視幾何基本模型的提煉，幫助學(xué)生深刻領(lǐng)悟模型的本質(zhì)特征，鼓勵(lì)學(xué)生嘗試從不同角度拓展模型，并在應(yīng)用中彰顯其魅力，從而促進(jìn)學(xué)生解題經(jīng)驗(yàn)的積累和思維水平的提升，真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和解決問題的能力．

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