基于雙原子模型的原子間相互作用勢(shì)能數(shù)值分析*

王義偉,王月媛,胡建民

(哈爾濱師范大學(xué))

*黑龍江省高等學(xué)校教改工程項(xiàng)目(SJGY20170198);黑龍江省高等教育學(xué)會(huì)教育科研課題重點(diǎn)項(xiàng)目(16Z040)

0　引言

固體原子間的相互作用勢(shì)能是固體物理學(xué)晶體結(jié)合教學(xué)的重要內(nèi)容，由雙原子模型確定的相互作用勢(shì)能表示為[1]

(1)

目前，關(guān)于雙原子分子勢(shì)能函數(shù)的研究工作大體上可分為三方面.首先，為進(jìn)一步提高雙原子分子勢(shì)能函數(shù)精度，Wei H[2]、胡旭光[3]和于長(zhǎng)豐[4]等學(xué)者分別在(1)式的基礎(chǔ)上構(gòu)造了四參數(shù)和六參數(shù)雙原子勢(shì)能函數(shù).其次是關(guān)于雙原子分子勢(shì)能函數(shù)研究的分析和評(píng)述工作.羅旋等學(xué)者[5]針對(duì)金屬和半導(dǎo)體討論原子間相互作用勢(shì)函數(shù)的應(yīng)用范圍，而劉國(guó)躍[6]根據(jù)雙原子分子勢(shì)能函數(shù)發(fā)展過(guò)程中存在的主要問(wèn)題提出其未來(lái)發(fā)展趨勢(shì).再次是關(guān)于雙原子分子勢(shì)能函數(shù)基本性質(zhì)的研究.蔣亞靜[7]針對(duì)線性和非線性諧振子模型研究理想雙原子分子勢(shì)能的基本性質(zhì)；鄭瑞倫[8]研究原子相互作用勢(shì)能和原子振動(dòng)非簡(jiǎn)諧效應(yīng)對(duì)固體彈性模量的影響，結(jié)果表明第一非簡(jiǎn)諧系數(shù)的存在使體系的彈性模量增大.綜上所述，上述研究成果為固體物理教學(xué)和科學(xué)研究提供了很好的理論依據(jù)和參考.在雙原子模型的基礎(chǔ)上深刻理解勢(shì)能函數(shù)的基本性質(zhì)是固體物理教學(xué)的重要內(nèi)容， 勢(shì)能函數(shù)展開(kāi)項(xiàng)產(chǎn)生的簡(jiǎn)諧效應(yīng)和非簡(jiǎn)諧效應(yīng)直接影響固體的諸多物理化學(xué)性質(zhì)，所以分析相互作用勢(shì)能參數(shù)及其展開(kāi)項(xiàng)對(duì)勢(shì)能函數(shù)的影響進(jìn)而揭示固體基本性質(zhì)的變化規(guī)律對(duì)于固體物理教學(xué)和科技工作者進(jìn)行材料設(shè)計(jì)和性能分析都具有重要的理論指導(dǎo)意義.然而，關(guān)于雙原子模型勢(shì)能參數(shù)和勢(shì)能函數(shù)展開(kāi)項(xiàng)對(duì)勢(shì)能函數(shù)基本性質(zhì)的影響規(guī)律均未見(jiàn)報(bào)導(dǎo).在材料的研究和制造的工作當(dāng)中，如果觀察隨勢(shì)能函數(shù)中各參數(shù)變化，影響材料性的變化，可以更好的控制材料的性能.

該文通過(guò)分析原子間相互作用勢(shì)能研究勢(shì)能參數(shù)和勢(shì)能展開(kāi)項(xiàng)對(duì)勢(shì)能函數(shù)的影響，揭示原子平衡間距、抗張強(qiáng)度和彈性模量等基本性質(zhì)變化的基本規(guī)律，旨在為固體物理教學(xué)和相關(guān)科技工作者提供直觀的物理圖像和基本的理論分析依據(jù).

1　原間相互作用勢(shì)能函數(shù)基本參數(shù)

圖1 　原子間相互作用力與原子間相互作用勢(shì)能對(duì)比圖

為直觀分析勢(shì)函數(shù)中的吸引能指數(shù)m和排斥能指數(shù)n對(duì)相互作用勢(shì)能和相互作用力的影響，該文分別取吸引能系數(shù)和排斥能系數(shù)為定值a=3和b=1.圖2和圖3分別為吸引能指數(shù)和排斥能指數(shù)取不同值時(shí)相互作用勢(shì)能和相互作用力隨原子間距離變化的關(guān)系曲線.

圖2 　吸引能指數(shù) m對(duì)相互作用勢(shì)能和力的影響

圖3　排斥能指數(shù)n對(duì)相互作用勢(shì)能和力的影響

抗張強(qiáng)度和彈性模量是反映晶體性質(zhì)的兩個(gè)重要力學(xué)參量.其中，抗張強(qiáng)度為晶體所能負(fù)荷的最大張力，如果負(fù)荷超過(guò)抗張強(qiáng)度晶體就會(huì)發(fā)生斷裂.在一維情況下抗張強(qiáng)度表示為

(2)

由(2)式可知，抗張強(qiáng)度就是理論斷裂點(diǎn)處對(duì)應(yīng)的最大相互作用力.彈性模量等于壓縮系數(shù)的倒數(shù)，在一維情況下表示為

(3)

由(3)式可見(jiàn)，彈性模量與相互作用力曲線在平衡位置處的斜率成正比.

首先，由圖2可見(jiàn)，原子間相互作用勢(shì)能和作用力曲線均隨吸引能指數(shù)m的增加發(fā)生較明顯的變化.原子平衡間距隨吸引能指數(shù)m的增加而縮短，其根本原因是隨吸引能指數(shù)的增加，在原子間距一定的情況下相互作用力表現(xiàn)為引力，從而在達(dá)到新的平衡狀態(tài)后原子平衡間距縮短.其次，隨著吸引能指數(shù)m的增大，原子間相互作用力的極值點(diǎn)下降說(shuō)明體系的抗張強(qiáng)度增大；此外，原子間相互作用力曲線在平衡間距處的斜率增大.由于曲線斜率變化明顯大于平衡間距的變化從而導(dǎo)致體系的彈性模量增大.

由圖3可見(jiàn)，相互作用勢(shì)能和作用力曲線均隨著排斥能指數(shù)n的增大發(fā)生明顯變化.隨著排斥能指數(shù)n的增加，原子平衡間距增長(zhǎng)，相互作用力極值點(diǎn)下降，原子間相互作用力曲線斜率增大，同樣說(shuō)明體系的抗張強(qiáng)度和彈性模量增大.此外，原子平衡間距隨排斥能指數(shù)n的增加而變長(zhǎng)的原因是在原子間距一定的情況下相互作用力表現(xiàn)為斥力，從而在達(dá)到新的平衡狀態(tài)后導(dǎo)致原子平衡間距變長(zhǎng).

為直觀分析勢(shì)函數(shù)中的吸引能系數(shù)a和排斥能系數(shù)b對(duì)相互作用勢(shì)能和相互作用力的影響，該文分別取吸引能指數(shù)和排斥能指數(shù)為定值m=1和n=3.圖4和圖5分別是吸引能系數(shù)a和排斥能系數(shù)b取不同值時(shí)相互作用勢(shì)能和相互作用力隨原子間距離變化的關(guān)系曲線.首先由圖4可見(jiàn)，相互作用勢(shì)能和相互作用力曲線均隨吸引能系數(shù)a的增加而下降，原子平衡間距縮短，原子間相互作用力曲線在平衡間距處的斜率增大.上述變化說(shuō)明體系的抗張強(qiáng)度和彈性模量均隨吸引能系數(shù)a的增加而變大.原子平衡間距隨吸引能系數(shù)a的增加而縮短的原因類同圖2的相應(yīng)解釋.其次由圖5可見(jiàn)，相互作用勢(shì)能和相互作用力曲線均隨排斥能系數(shù)b的增加而上升，原子平衡間距變長(zhǎng)，原子間相互作用力曲線在平衡間距處的斜率減小.上述變化說(shuō)明體系的抗張強(qiáng)度和彈性模量隨排斥能系數(shù)b的增加而減小.原子平衡間距隨排斥能系數(shù)a的增加而變長(zhǎng)的原因類同圖3的相應(yīng)解釋.

圖4　吸引能系數(shù)對(duì)相互作用勢(shì)能和力和的影響

圖5　排斥能系數(shù)對(duì)相互作用勢(shì)能和力的影響

2　原子間相互作用勢(shì)能展開(kāi)項(xiàng)

針對(duì)雙原子模型取兩原子間的相對(duì)位移為x.平衡狀態(tài)下以其中一個(gè)原子為坐標(biāo)原點(diǎn)，另一個(gè)原子位置在r0處，原子發(fā)生振動(dòng)產(chǎn)生位移后的位置為r=r0+x.為揭示原子間相互作用勢(shì)能的內(nèi)在物理意義通常將原子相互作用勢(shì)能在平衡位置處按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)為[9]

(4)

展開(kāi)式(4)中第一項(xiàng)為常數(shù)，第二項(xiàng)為零，第三項(xiàng)為偶次項(xiàng)也稱為簡(jiǎn)諧項(xiàng)，第四項(xiàng)為奇次項(xiàng)也稱為非簡(jiǎn)諧項(xiàng).在只考慮簡(jiǎn)諧項(xiàng)而忽略非簡(jiǎn)諧項(xiàng)的情況下，可通過(guò)牛頓運(yùn)動(dòng)方程求解晶格振動(dòng)的基本規(guī)律進(jìn)而解釋固體的熱熔問(wèn)題，而只有在考慮非簡(jiǎn)諧項(xiàng)的情況下才能解釋固體的熱膨脹現(xiàn)象.

為直觀反映各展開(kāi)項(xiàng)對(duì)相互作用勢(shì)能的影響，該文分別給出(4)式中考慮不同展開(kāi)項(xiàng)時(shí)相互作用勢(shì)能曲線的變化規(guī)律，如圖6所示.圖6中曲線1表示由(1)式進(jìn)行泰勒展開(kāi)前的相互作用勢(shì)能曲線，曲線2為(4)式中考慮二次項(xiàng)而忽略更高次項(xiàng)情況下的相互作用勢(shì)能函數(shù)曲線，曲線3為(4)式中考慮三次項(xiàng)而忽略更高次項(xiàng)情況下的相互作用勢(shì)能函數(shù)曲線，以此類推得到曲線4～曲線8.由圖6可見(jiàn)，隨著展開(kāi)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)的增加，相互作用勢(shì)能的極值和原子平衡間距不變，平衡間距左側(cè)的勢(shì)能曲線斜率增大并逐漸接近展開(kāi)前的勢(shì)能曲線.首先，相互作用勢(shì)能的極值和原子平衡間距不隨展開(kāi)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)變化，說(shuō)明展開(kāi)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)的增加不改變體系的平衡狀態(tài).此外，平衡間距左側(cè)的勢(shì)能曲線斜率增大意味著體系的彈性模量增大并逐漸逼近真實(shí)值，這說(shuō)明利用勢(shì)能展開(kāi)式討論固體性質(zhì)是要依據(jù)所討論問(wèn)題的需要對(duì)展開(kāi)項(xiàng)進(jìn)行合理取舍.最后，由圖6可見(jiàn)，雖然平衡間距右側(cè)的勢(shì)能曲線隨展開(kāi)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)的增加變化懸殊，但最終趨勢(shì)還是逐漸逼近展開(kāi)前的勢(shì)能曲線.

圖6　不同展開(kāi)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)情況下的雙原子相互作用勢(shì)能曲線

3　結(jié)論

該文通過(guò)研究雙原子模型原子間相互作用勢(shì)能參數(shù)和勢(shì)能展開(kāi)項(xiàng)對(duì)相互作用勢(shì)能及相互作用力的影響，揭示原子平衡間距、抗張強(qiáng)度和彈性模量等基本性質(zhì)變化的基本規(guī)律.研究結(jié)果表明，隨相互作用勢(shì)能參數(shù)即吸引能指數(shù)、排斥能指數(shù)、吸引能系數(shù)和排斥能系數(shù)的增大以及勢(shì)能展開(kāi)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)的增加，相互作用勢(shì)能和相互作用力曲線均發(fā)生明顯變化.首先，原子平衡間距隨吸引能指數(shù)和吸引能系數(shù)的增大而縮短，隨著排斥能指數(shù)和排斥能系數(shù)的增大而加長(zhǎng).其次，抗張強(qiáng)度隨吸引能指數(shù)、排斥能指數(shù)和吸引能系數(shù)的增大而增大，隨排斥能系數(shù)的增大而減??；彈性模量隨吸引能指數(shù)、吸引能系數(shù)和排斥能系數(shù)的增大而增大，隨著排斥能指數(shù)的增大而減小.最后，隨相互作用勢(shì)能展開(kāi)項(xiàng)項(xiàng)數(shù)的增加原子平衡間距不變，而彈性模量增大.上述研究結(jié)果既可為深刻地認(rèn)識(shí)固體物理模型的內(nèi)在機(jī)制提供有效途徑，同時(shí)也可為材料分析和設(shè)計(jì)提供必要的理論指導(dǎo).

[1]方俊鑫，陸棟．固體物理學(xué)[M]．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1983.

[2]Wei H. Four-parameter exactly solvable potential for diatomic molecules. Phys Rev A, 1990, 42(5): 2524.

[3]胡旭光．四參數(shù)雙原子分子勢(shì)能函數(shù)[J]．西安石油學(xué)院學(xué)報(bào)，1993，8(1)：90-94.

[4]于長(zhǎng)豐，王志偉. 六參數(shù)高精度雙原子分子解析勢(shì)能函數(shù)[J].計(jì)算物理，2012，29(4)：656-664.

[5]羅旋，費(fèi)維棟，王煜明.固體中的原子間相互作用勢(shì)[J].物理，1997，26(1)：14-17.

[6]劉國(guó)躍．雙原子分子勢(shì)能函數(shù)的研究進(jìn)展[J].綿陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，24(5)：46-51.

[7]蔣亞靜．雙原子分子勢(shì)能函數(shù)諧振子模型[J].新鄉(xiāng)學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，31(4)：10-11.

[8]鄭瑞倫，田德祥，龍曉霞．原子相互作用勢(shì)對(duì)固體彈性模量的影響[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2003，28(6)：892-896.

[9]胡建民，周勝，信江波，等．固體物理學(xué)教程[M]．哈爾濱：東北林業(yè)大學(xué)出版社，2010.