對離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)的探索與思考

張軍好+胡軍浩

[摘 要]離散數(shù)學(xué)是研究離散量的結(jié)構(gòu)和相互關(guān)系的一門重要的基礎(chǔ)課程。它可以為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、編譯原理、操作系統(tǒng)、可計算性理論、人工智能、形式語言與自動機(jī)、信息管理與檢索以及開關(guān)理論等專業(yè)課程作必要的數(shù)學(xué)知識準(zhǔn)備。同時離散數(shù)學(xué)也是研究自動控制、管理科學(xué)、電子工程等重要的數(shù)學(xué)工具。在離散數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師可根據(jù)不同專業(yè)的不同要求，合理地選擇教學(xué)內(nèi)容的側(cè)重點，同時再結(jié)合一些有效的教學(xué)方法，可以解決課時少與教學(xué)內(nèi)容繁多的矛盾。

[關(guān)鍵詞]離散數(shù)學(xué)；教學(xué)內(nèi)容；教學(xué)方法

[中圖分類號] G642.3 [文獻(xiàn)標(biāo)識碼] A [文章編號] 2095-3437（2017）04-0009-02

一、離散數(shù)學(xué)的重要性

離散數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個重要分支。它是以研究離散量的結(jié)構(gòu)和相互關(guān)系為主要目的的一門計算機(jī)專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程。它不僅為計算機(jī)有關(guān)專業(yè)課如數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、編譯原理、操作系統(tǒng)、可計算性理論、人工智能、形式語言與自動機(jī)、信息管理與檢索以及開關(guān)理論作必要的數(shù)學(xué)知識準(zhǔn)備，而且為學(xué)生今后從事計算機(jī)科學(xué)各方面的工作提供重要的理論工具。此外離散數(shù)學(xué)也是研究自動控制、管理科學(xué)、電子工程等重要的數(shù)學(xué)工具。因此通過對離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，學(xué)生不但可以為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，同時還可以進(jìn)一步培養(yǎng)抽象思維和邏輯推理能力，使自己具有較強(qiáng)的獨立學(xué)習(xí)與工作的能力。

二、教學(xué)內(nèi)容

離散數(shù)學(xué)課程具有概念多、內(nèi)容廣泛、知識點分、理論性強(qiáng)而不系統(tǒng)、高度抽象等特點。

從著眼于為計算機(jī)與自動化等專業(yè)的學(xué)生的后續(xù)課程的學(xué)習(xí)提供必要的數(shù)學(xué)工具，同時遵循有利于教學(xué)、有利于學(xué)生學(xué)習(xí)、有利于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力的原則，離散數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容從大體系上可以分為四部分：集合論、代數(shù)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)論）、圖論、數(shù)理邏輯論。

（一）集合論

集合論主要包含集合的概念、運算、成員表、分劃、關(guān)系及其性質(zhì)、幾種重要的二元關(guān)系、函數(shù)等。集合論在計算機(jī)科學(xué)、開關(guān)理論、有限自動機(jī)、形式語言、人工智能等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用。

（二）代數(shù)結(jié)構(gòu)（系統(tǒng)論）

系統(tǒng)論主要包含代數(shù)系統(tǒng)、群環(huán)域、格與布爾代數(shù)。代數(shù)系統(tǒng)是研究元素的運算規(guī)律和與這些運算相關(guān)的理論及定義的各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，其中群論在代碼的差錯、糾錯及自動機(jī)理論等方面有著重要的應(yīng)用。格與布爾代數(shù)在有限自動機(jī)、開關(guān)理論等方面有著重要的應(yīng)用。

（三）圖論

圖論主要包含圖的基本概念、圖的矩陣表示。有向圖、樹、有向樹、最小生成樹、最優(yōu)樹、關(guān)鍵路徑、平面圖、歐拉圖與哈密而頓圖等方面的內(nèi)容。圖論在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、形式語言、管理科學(xué)、信息論、操作系統(tǒng)、編譯程序等方面有著重要的應(yīng)用。

（四）數(shù)理邏輯論

邏輯論主要包含命題、謂詞、公式與范式及邏輯推理理論。通過對數(shù)理邏輯的學(xué)習(xí)不但可以培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力，而且這些理論在機(jī)器證明、自動程序設(shè)計、計算機(jī)輔助設(shè)計等方面有著重要的理論應(yīng)用。

對以上的知識框架體系應(yīng)本著“精簡、實用、夠用”的原則，同時根據(jù)不同專業(yè)要求組織教學(xué)內(nèi)容，并對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行必要的優(yōu)化整合。既要考慮到相關(guān)內(nèi)容的層次銜接，又要考慮到與后續(xù)課程的聯(lián)系，同時還要突出重點內(nèi)容。簡而言之，就是既要注意課程內(nèi)容的縱向與橫向聯(lián)系，又要注意培養(yǎng)學(xué)生的分析問題、解決問題的能力。

三、教學(xué)方法

（一）推行相互聯(lián)系式教學(xué)

在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，教師不但要傳授基本知識及講授各個知識點的來龍去脈，還要將離散數(shù)學(xué)最基本的方法及與其他學(xué)科的聯(lián)系講授給學(xué)生。通過典型問題、典型方法的講解，引導(dǎo)學(xué)生對解決問題方法與其他學(xué)科進(jìn)行廣泛式聯(lián)系，提出自己的想法。例如在講解函數(shù)復(fù)合時，引導(dǎo)學(xué)生注意其與高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)復(fù)合的區(qū)別與聯(lián)系。

（二）注意培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

我們知道，“興趣是最好的老師”，因而在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中要始終貫徹以培養(yǎng)學(xué)生的興趣來增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)動力的方針，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效果，從而保證教師的教學(xué)質(zhì)量。例如對離散數(shù)學(xué)中的蘇格拉底三段論、哥尼斯堡城七橋問題、周游世界問題、四著色問題等這些典型問題進(jìn)行透徹的講解能喚起學(xué)生對離散數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)欲望，讓學(xué)生感受到離散數(shù)學(xué)在現(xiàn)實生活中有著重要而廣泛的應(yīng)用，而不是空洞的理論，同時也讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的美之所在，力量之所在。

（三）注意理論聯(lián)系實際

在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中要始終貫徹理論聯(lián)系實際的教學(xué)理念。例如在集合論部分可以對集合等式與不等式的證明注意集合成員表的應(yīng)用。在講解幾種特殊的二元關(guān)系時要注意與現(xiàn)實生活的事實相聯(lián)系。例如鄰居關(guān)系是相容關(guān)系，三角形的相似關(guān)系是等價關(guān)系等。再例如圖論中郵路問題是歐拉圖問題，通信線路的架設(shè)、水渠的布置是最小生成樹問題，以及張三、李四、王五說真話問題是邏輯推理問題等。通過對這些現(xiàn)實問題的講解，學(xué)生清楚地認(rèn)識到離散數(shù)學(xué)知識與方法可以很好地解決某些現(xiàn)實生活問題，從而體現(xiàn)出離散數(shù)學(xué)廣泛而現(xiàn)實的應(yīng)用；學(xué)生也感受到可以學(xué)以致用，進(jìn)而產(chǎn)生學(xué)習(xí)的動力，故而學(xué)好也就不難了。

（四）注意圖示法的應(yīng)用

在離散數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中要注重圖形法在某些章節(jié)的應(yīng)用。例如在集合論的部分，表示集合的關(guān)系與運算可以利用文氏圖來解決；在求關(guān)系的冪、關(guān)系的傳遞閉包時可以利用關(guān)系圖的復(fù)合規(guī)則來解決。當(dāng)然在圖論部分圖形的應(yīng)用的重要性是不言而喻的。圖形法形象直觀，圖文并茂，在某些情況下可以解決復(fù)雜而繁瑣的理論問題。

（五）注意生動形象語言的應(yīng)用

在課堂教學(xué)過程中，對于某些知識點的講解利用生動形象的語言可以使問題簡單明了，達(dá)到事半功倍的效果。例如在講解關(guān)系復(fù)合時可用尾首對應(yīng)劃去法即“過河拆橋”方法來講解；在畫偏序關(guān)系的次序圖（哈斯圖）時可用傳遞的結(jié)點間不連線的語言來講解；在求最小生成樹時可以利用加邊法（蓋房子）或去邊法（拆房子）的語言來講述；在判斷一個偏序集是否是格時，對次序圖可以利用只判斷平行結(jié)點（兄弟結(jié)點）的語言來講解。通過一些生動形象的語言來講解某些難點問題，可以使問題深入淺出，讓學(xué)生形成深刻的記憶，從而不容易忘記。

（六）注意反例法與類比法的應(yīng)用

在離散數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，正面掌握和理解知識點當(dāng)然重要，但在某些情況下，適當(dāng)引入一些反例可以指出某些知識點的此正彼非，以反輔正。利用反例可幫助學(xué)生辨別復(fù)雜概念，深化知識理解，建立起主動思考和學(xué)習(xí)的模式，從而提高學(xué)習(xí)效果。另一方面，在教學(xué)過程中還要注意類比法的應(yīng)用。例如將集合論中的集合運算的十條定律與布爾代數(shù)以及邏輯論中的運算定律、命題公式的運算定律做類比可以發(fā)現(xiàn)它們基本是相同的。這樣通過類比教學(xué)，可以有效簡化知識的學(xué)習(xí)和證明，從而使學(xué)生學(xué)起來更輕松、更有效。

（七）注意現(xiàn)代化教學(xué)手段的應(yīng)用

一方面，有效利用多媒體教學(xué)，可以使一些知識點在教授過程中更加形象、直觀、有效。例如在某些算法編程演算時，教師可以充分利用多媒體進(jìn)行演示、演算，使學(xué)生理解起來更輕松，學(xué)習(xí)起來更有效。另一方面，要充分利用網(wǎng)絡(luò)資源建立網(wǎng)絡(luò)課堂。將離散數(shù)學(xué)的教學(xué)資料上傳網(wǎng)絡(luò)，包含教學(xué)大綱、考試大綱、教學(xué)計劃、教學(xué)重點難點、課件習(xí)題以及主要的算法演示。將這些內(nèi)容上傳網(wǎng)絡(luò)，建立起教師與學(xué)生的課下交流平臺，以最大限度地滿足學(xué)生的課外學(xué)習(xí)要求，從而達(dá)到及時交流問題、及時發(fā)現(xiàn)問題、及時解決問題的目的。

四、結(jié)語

經(jīng)過以上闡述，我們可以看出，在離散數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師可根據(jù)不同專業(yè)的不同要求，合理地選擇教學(xué)內(nèi)容的側(cè)重點，同時再結(jié)合一些有效的教學(xué)方法，可以解決課時少與教學(xué)內(nèi)容繁多的矛盾?？偠灾ㄟ^對教學(xué)內(nèi)容的合理選擇以及教學(xué)方法的有效實施，可以培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，進(jìn)而提高教師的教學(xué)效果，保證課程的教學(xué)質(zhì)量。

[ 參 考 文 獻(xiàn) ]

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[責(zé)任編輯：劉鳳華]